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課時作業(yè)55 直線與圓錐曲線
[基礎(chǔ)達標]
1.過橢圓+=1內(nèi)一點P(3,1),求被這點平分的弦所在直線方程.
解析:設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,
由于A、B兩點均在橢圓上,
故+=1,+=1,
兩式相減得
+=0.
又∵P是A、B的中點,∴x1+x2=6,y1+y2=2,
∴kAB==-.
∴直線AB的方程為y-1=-(x-3).
即3x+4y-13=0.
2.
[2019鄭州入學測試]已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,斜率為的直線l與橢圓C交于A,B兩點,點P(2,1)在直線l的左上方.若∠APB=90,且直線PA,PB分別與y軸交于點M,N,求線段MN的長度.
解析:(1)由題意知解得
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)直線l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立,得消去y,化簡整理,得x2+2mx+2m2-4=0.
則由Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,得-2
b>0),右焦點為F2(c,0).
因為△AB1B2是直角三角形,且|AB1|=|AB2|,
所以∠B1AB2=90,
因此|OA|=|OB2|,得b=.
由c2=a2-b2得4b2=a2-b2,
故a2=5b2,c2=4b2,所以離心率e==.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=|B1B2||OA|=|OB2||OA|=b=b2.由題設(shè)條件S△AB1B2=4得b2=4,所以a2=5b2=20.因此所求橢圓的標準方程為+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由題意知直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為x=my-2,代入橢圓方程并整理得(m2+5)y2-4my-16=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則y1+y2=,y1y2=-,
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,
由PB2⊥QB2,得=0,
即16m2-64=0,解得m=2.
所以滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為x+2y+2=0和x-2y+2=0.
5.[2019唐山五校聯(lián)考]在直角坐標系xOy中,長為+1的線段的兩端點C,D分別在x軸、y軸上滑動,= .記點P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)經(jīng)過點(0,1)作直線與曲線E相交于A,B兩點,=+,當點M在曲線E上時,求四邊形AOBM的面積.
解析:(1)設(shè)C(m,0),D(0,n),P(x,y).
由= ,得(x-m,y)=(-x,n-y),
所以得
由||=+1,得m2+n2=(+1)2,
所以(+1)2x2+y2=(+1)2,
整理,得曲線E的方程為x2+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由=+,知點M坐標為(x1+x2,y1+y2).
由題意知,直線AB的斜率存在.
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入曲線E的方程,得
(k2+2)x2+2kx-1=0,
則x1+x2=-,x1x2=-.
y1+y2=k(x1+x2)+2=.
由點M在曲線E上,知(x1+x2)2+=1,
即+=1,解得k2=2.
這時|AB|=|x1-x2|==,
原點到直線AB的距離d==,
所以平行四邊形OAMB的面積S=|AB|d=.
6.[2018天津卷]設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,點A的坐標為(b,0),且|FB||AB|=6.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P,且l與直線AB交于點Q.若=sin∠AOQ(O為原點),求k的值.
解析:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得|FB|=a,|AB|=b,
由|FB||AB|=6,可得ab=6,從而a=3,b=2.
所以,橢圓的方程為+=1.
(2)設(shè)點P的坐標為(x1,y1),點Q的坐標為(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y(tǒng)1-y2.
又因為|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y(tǒng)2.
由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程組消去x,可得y1=.
易知直線AB的方程為x+y-2=0,
由方程組消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,兩邊平方,
整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.
所以k的值為或.
[能力挑戰(zhàn)]
7.[2018江蘇卷]如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C過點,焦點為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),圓O的直徑為F1F2.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;
②直線l與橢圓C交于A,B兩點.若△OAB的面積為,求直線l的方程.
解析:解法一 (1)因為橢圓C的焦點為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),
所以可設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0).
又點,在橢圓C上,
所以解得
因此,橢圓C的方程為+y2=1.
因為圓O的直徑為F1F2,所以其方程為x2+y2=3.
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x0+y0=3.
所以直線l的方程為y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.
由消去y,得
(4x0+y0)x2-24x0x+36-4y0=0.(*)
因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點,
所以Δ=(-24x0)2-4(4x0+y0)(36-4y0)=48y0(x0-2)=0.
因為x0>0,y0>0,
所以x0=,y0=1.
因此,點P的坐標為(,1).
②因為三角形OAB的面積為,
所以ABOP=,從而AB=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得x1,2=,
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=1+.
因為x0+y0=3,
所以AB2==,
即2x0-45x0+100=0,
解得x0=(x0=20舍去),則y0=,因此P的坐標為,.
則直線l的方程為y=-x+3.
解法二 (1)由題意知c=,所以圓O的方程為x2+y2=3,因為點在橢圓上,
所以2a=+=4,
所以a=2.
因為a2=b2+c2,所以b=1,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)①由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切,且切點在第一象限,所以直線l的斜率k存在且k<0,
設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0,m>0),
將直線l的方程代入圓O的方程,得x2+(kx+m)2=3,
整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
因為直線l與圓O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,
將直線l的方程代入橢圓C的方程,
得+(kx+m)2=1,
整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
因為直線l與橢圓C相切,
所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,
整理得m2=4k2+1,
所以3k2+3=4k2+1,因為k<0,所以k=-,
則m=3,
將k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
整理得x2-2x+2=0,
解得x1=x2=,將x=代入x2+y2=3,
解得y=1(y=-1舍去),所以點P的坐標為(,1).
②設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,
因為直線l和橢圓C相交,所以結(jié)合②的過程知m2<4k2+1,解得k<-,
將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立可得(4k2+1)2+8kmx+4m2-4=0,
解得x1,2=,
所以|x1-x2|=,
因為AB==|x1-x2|=,
O到l的距離d==,
所以S△OAB===,解得k2=5,因為k<0,所以k=-,則m=3,即直線l的方程為y=-x+3.
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