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壓軸小題搶分練(三)
壓軸小題集訓(xùn)練,練就能力和速度,筑牢高考滿分根基!
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),則 ( )
A.an≥2n+1 B.Sn≥n2
C.an≥2n-1 D.Sn≥2n-1
【解析】選B.由題得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,…,an-an-1≥2,所以a2-a1+ a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2(n-1),所以an-a1≥2(n-1),所以an≥2n-1.所以a1≥1,a2≥3,a3≥5,…,an≥2n-1,所以a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,所以Sn≥n2(1+ 2n-1)=n2.
2.如圖,三棱錐P-ABC中,△PAB,△PBC均為正三角形,△ABC為直角三角形,斜邊為AC,M為PB的中點(diǎn),則直線AM,PC所成角的余弦值為 ( )
A.-36 B.36
C.26 D.13
【解析】選B.如圖,取BC的中點(diǎn)N,連接MN,AN,易得MN∥PC,則MN,AM所成的角即為直線AM,PC所成的角.設(shè)AB=2,則AN=5,MN=1,AM=3.在△AMN中,由余弦定理,得cos∠AMN=1+3-5213=-36,所以直線AM,PC所成角的余弦值為36.
3.把函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖象向右平移一個(gè)單位,所得圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;已知偶函數(shù)h(x)滿足h(x-1)=h(-x-1),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),
h(x)=g(x)-1;若函數(shù)y=kf(x)-h(x)有五個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是 ( )
A.(log32,1) B.[log32,1)
C.log62,12 D.log62,12
【解析】選C.曲線f(x)=log2(x+1)右移一個(gè)單位,
得y=f(x-1)=log2x,
所以g(x)=2x,h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1),
則函數(shù)h(x)的周期為2.
當(dāng)x∈[0,1]時(shí),h(x)=2x-1,
y=kf(x)-h(x)有五個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)y=kf(x)與函數(shù)y=h(x)的圖象有五個(gè)公共點(diǎn).
繪制函數(shù)圖象如圖所示,
由圖象知kf(3)<1且kf(5)>1,即klog24<1klog26>1,
求解不等式組可得:log62
2a,-ex+e2a,x≤2a,
f′(x)=ex,x>2a,-ex,x≤2a,
若存在x10,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線C上一點(diǎn),Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),P,Q均位于第一象限,且2=,=0,則雙曲線C的離心率為 ( )
A.3-1 B.3+1 C.13-2 D.13+2
【解析】選C.設(shè)Q(at,bt)(t>0),P(m,n),
注意到∠F1QF2=90,從而OQ=c,
故b2t2+a2t2=c2,即t=1,
故=(m-a,n-b),=(c-m,-n).
因?yàn)?=,
所以2m-2a=c-m,2n-2b=-n,解得m=c+2a3,n=2b3,
代入雙曲線方程,則有(c+2a)29a2-4b29b2=1,
ca=13-2.
7.已知函數(shù)y=x2的圖象在點(diǎn)(x0,x02)處的切線為l,若l也與函數(shù)y=ln x,x∈(0,1)的圖象相切,則x0必滿足 ( )
A.012,y=ln x的切線為y=1x1x-1+ln x1,l為y=2x0x-x02,
故x02=1-ln 12x0,x02-1-ln 2x0=0.
令h(x)=x2-1-ln 2x,
則h(2)=1-ln 22<0,h(3)=2-ln 23>0,
由零點(diǎn)存在定理得x0∈(2,3),選D.
8.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,當(dāng)cab取最小值時(shí),a+b-c的最大值為
( )
A.2 B.34 C.38 D.14
【解析】選C.正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,
cab=a2-ab+4b2ab=ab+4ba-1≥2ab4ba-1=3.
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取得等號(hào),
則a=2b時(shí),cab取得最小值,且c=6b2,
所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6b-142+38
當(dāng)b=14時(shí),a+b-c有最大值為38.
9.設(shè)實(shí)數(shù)m>0,若對(duì)任意的x≥e,不等式x2ln x-memx≥0恒成立,則m的最大值是
( )
A.1e B.e3 C.2e D.e
【解析】選D.不等式x2ln x-memx≥0 ?x2ln x≥memx?xln x≥mxemx ?
ln xeln x≥mxemx,
設(shè)f(x)=xex(x>0),則f′(x)=(x+1)ex>0,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
因?yàn)閙x>0,ln x>0,所以mx≤ln x,
即m≤xln x對(duì)任意的x≥e恒成立,
此時(shí)只需m≤(xln x)min.
設(shè)g(x)=xln x (x≥e),g′(x)=ln x+1 >0(x≥e),
所以g(x)在[e,+∞)上為增函數(shù),
所以g(x)min=g(e)=e,
所以m≤e,即m的最大值為e.
10.已知F1,F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),延長(zhǎng)PF2交橢圓于點(diǎn)Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,則橢圓的離心率為
( )
A.2-2 B.3-2 C.2-1 D.6-3
【解析】選D.由PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|,可得△PQF1為等腰直角三角形,
設(shè)|PF1|=t,|QF1|=2t,即有2t+2t=4a,
則t=2(2-2)a,
在直角△PF1F2中,可得t2+(2a-t)2=4c2,
化為c2=(9-62)a2,可得e=ca=6-3.
11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有兩個(gè)球O1,O2相外切,球O1與面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切,球O2與面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切,則兩球表面積之和的最大值與最小值的差為 ( )
A.(2-3)π B.(2-3)π2
C.(3-3)π D.(3-3)π2
【解析】選A.設(shè)球O1,O2的半徑分別為r1,r2,
由題意得3r1+r1+3r2+r2=3,
所以r1+r2=3-32,令a=3-32.
表面積和為S,所以S=4πr12+4πr22,
所以S4π=r12+r22=r12+(a-r1)2=2r1-a22+a22,
又r1最大時(shí),球O1與正方體六個(gè)面相切,且(r1)max=12,(r1)min=3-32-12=2-32.
所以r1∈2-32,12.
又2-32-12時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在-∞,-12上單調(diào)遞減,
在-12,+∞上單調(diào)遞增,
作出g(x)與h(x)的大致圖象,如圖所示,
故h(0)>g(0),h(-1)≤g(-1),即a<1,-2a≤-3e,
所以32e≤a<1.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)
13.在平面四邊形ABCD中,AB⊥AC,AD⊥CD,AB=3,AC=8,則BD的最大值為________.
【解析】根據(jù)題意,畫出相應(yīng)的四邊形,
設(shè)∠CAD=α,則有AD=8cos α ,BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠DAB
=9+64cos2α-48cos αcosπ2+α
=24sin 2α+32cos 2α+41
=40sin(2α+φ)+41,其中cos φ=35,
所以其最大值為81,所以BD的最大值為9.
答案:9
14.已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,2Sn=an+1an(n∈N*),記數(shù)列{Sn2}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn+55n的最小值為________.
【解析】由題意結(jié)合2Sn=an+1an,
當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1+1a1,結(jié)合a1>0可得:a1=1;
當(dāng)n=2時(shí),2(a1+a2)=a2+1a2,
結(jié)合a2>0可得:a2=2-1;
當(dāng)n=3時(shí),2(a1+a2+a3)=a3+1a3,
結(jié)合a3>0可得:a3=3-2;
猜想an=1,n=1,n-n-1,n≥2,
以下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:
當(dāng)n=1,n=2時(shí),結(jié)論是成立的,
假設(shè)當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:ak=k-k-1,則Sk=k,
由題意可知:2Sk+1=ak+1+1ak+1,
結(jié)合假設(shè)有:2(k+ak+1)=ak+1+1ak+1,
解得:ak+1=k+1-k,
綜上可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是正確的.
據(jù)此可知:Sn=n,Sn2=n,
利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得:Tn=n(n+1)2,
則Tn+55n=n(n+1)2+55n=n10+1n+110,
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)n=3或n=4時(shí),Tn+55n取得最小值,
當(dāng)n=3時(shí)Tn+55n=n10+1n+110=1115,
當(dāng)n=4時(shí)Tn+55n=n10+1n+110=34,
由于1115<34,據(jù)此可知Tn+55n的最小值為1115.
答案:1115
15.如圖,在△ABC中,BC=2,∠ABC=π3,AC的垂直平分線DE與AB,AC分別交于D,E兩點(diǎn),且DE=62,則BE2=________.
【解析】由題意知DE垂直平分AC,所以∠A=∠ACD,
故∠BDC=2∠A,所以CDsin60=BCsin2A=2sin2A,
故CD=3sin2A.
又DE=CDsin∠ACD=CDsin A=32cosA=62,
所以cos A=22,而A∈(0,π),故A=π4,
因此△ADE為等腰直角三角形,所以AE=DE=62.
在△ABC中,∠ACB=5π12,所以ABsin5π12=2sinπ4,
故AB=3+1,
在△ABE中,BE2=(3+1)2+622-2(3+1)6222=52+3.
答案:52+3
16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x-1)2+y2=2,圓C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圓C2上存在點(diǎn)P滿足:過(guò)點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,△ABP的面積為1,則正數(shù)m的取值范圍是____________.
【解析】如圖,由圓C1:(x-1)2+y2=2,圓C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,
得C1(1,0),C2(m,-m),
設(shè)圓C2上點(diǎn)P,則PA2=PGPC1,
而PA2=PC12-2,
所以PC12-2=PGPC1,則PG=PC12-2PC1,
AG=PA2-PG2=PC12-2-PC12-2PC12
=2PC12-4PC1,
所以S△PAB=212PC12-2PC12PC12-4PC1
=(PC12-2)2PC12-4PC12=1.
令2PC12-4=t(t≥0),
得t3-t2-4=0,解得:t=2.
即2PC12-4=2,所以PC1=2.
圓C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上點(diǎn)P到C1距離的最小值為|C1C2|-m=(m-1)2+(-m)2-m,
最大值為|C1C2|+m=(m-1)2+(-m)2+m,
由(m-1)2+(-m)2-m≤2≤(m-1)2+(-m)2+m,
得(m-1)2+m2-m≤2①,(m-1)2+m2+m≥2②,
解①得:3-23≤m≤3+23,
解②得:m≤-3或m≥1.
取交集得:1≤m≤3+23.
所以正數(shù)m的取值范圍是[1,3+23].
答案:[1,3+23]
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