2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸題增分練1 理.doc

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壓軸題增分練(一) (時間：30分鐘　滿分：24分) 1．(12分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點．若kOMkON＝，求原點O到直線l的距離的取值范圍． [規(guī)范解答及評分標(biāo)準(zhǔn)]　(1)設(shè)焦距為2c(c>0)． 由題意，得e＝＝，2b＝2. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2. ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.(4分) (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)． 聯(lián)立得方程組 消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 由題意，知Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0.化簡，得m2<4k2＋1.①(6分) 若kOMkON＝，則＝，即4y1y2＝5x1x2. ∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， ∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2， ∴(4k2－5)＋4km＋4m2＝0， 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0. 化簡，得m2＋k2＝.②(9分) 由①②，得0≤m2<，2e. [規(guī)范解答及評分標(biāo)準(zhǔn)]　(1)由題意，得f′(x)＝－(x>0)． 當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(2分) 當(dāng)a>0時，f′(x)＝， ∴當(dāng)x∈(0，)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(，＋∞)時，f′(x)>0， ∴函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增．(4分) (2)證明：由(1)知，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)有最小值，且f(x)min＝f()＝1－lna. 依題意得1－lna<0，即a>e.(6分) 由a＝e2，得f(x)＝－2lnx(x>0)，x1∈(0，e)，x2∈(e，＋∞)． 由f(2e)＝2－2ln2>0及f(x2)＝0，得x2<2e，即x2∈(e,2e)． 欲證x1＋x2>2e，只要證x1>2e－x2. ∵f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)＝0， ∴只要證明f(2e－x2)>0即可．(8分) 由f(x2)＝－2lnx2＝0，得x＝2e2lnx2. ∴f(2e－x2)＝－2ln(2e－x2)＝－2ln(2e－x2)＝－2ln(2e－x2)＝4－＋2lnx2－2ln(2e－x2)，x2∈(e,2e)．(10分) 令g(t)＝4－＋2lnt－2ln(2e－t)，t∈(e,2e)，則 g′(t)＝－＋＋＝>0， ∴g(t)在(e,2e)上單調(diào)遞增，∴g(t)>g(e)＝0，即f(2e－x2)>0. 綜上可知，x1＋x2>2e.(12分)