2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題分層練7 壓軸小題巧解練 理.doc

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小題分層練(七)　壓軸小題巧解練 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．若曲線y＝ln x＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 ) A.　　 B. C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) D　[由題意得y′＝＋2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴a≥－在x∈(0，＋∞)上恒成立．令f(x)＝－，x∈(0，＋∞)，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)＝－<0，∴a≥0.] 2．(2018包頭市一模)已知函數(shù)f(x)＝2x3－4x＋2(ex－e－x)，若f(5a－2)＋f(3a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 ) A. B. C. D. D　[由函數(shù)f(x)＝2x3－4x＋2(ex－e－x)，可得f(－x)＝2(－x)3－4(－x)＋2(e－x－ex)＝－[2x3－4x＋2(ex－e－x)]＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f′(x)＝6x2－4＋2，因?yàn)閑x＋≥2＝2，所以f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閒(5a－2)＋f(3a2)≤0，即f(3a2)≤－f(5a－2)＝f(2－5a)，所以3a2≤2－5a?3a2＋5a－2≤0，解得－2≤a≤，故選D.] 3．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f′(x)>1－f(x)，f(0)＝2，則不等式f(x)>1＋e－x的解集為(　　 ) A．(－1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(e，＋∞) B　[令g(x)＝exf(x)－ex，則 g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0， 所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增． 又g(0)＝e0f(0)－e0＝1， 所以不等式f(x)>1＋e－x?exf(x)－ex>1?g(x)>g(0)?x>0， 故不等式f(x)>1＋e－x的解集為(0，＋∞)．] 4．半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是(　　) A．2πR2　　　 B.πR2 C．3πR2　　　 D.πR2 A　[設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r＝Rcos α，圓柱的高為2Rsin α，圓柱的側(cè)面積為2πR2sin 2α，當(dāng)且僅當(dāng)α＝時(shí)，sin 2α＝1，圓柱的側(cè)面積最大，圓柱的側(cè)面積為2πR2， 球的表面積為4πR2，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為2πR2，故選A.] 5．(2018孝義市一模)已知函數(shù)f(x)＝e－x－2x－a，若曲線y＝x3＋x＋1(x∈[－1,1])上存在點(diǎn)(x0，y0)使得f(y0)＝y(tǒng)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　 ) A．(－∞，e－3－9)∪[e＋3，＋∞) B．[e－3－9，e＋3] C．(e－3－9，e2＋6) D．(－∞，e－3－9)∪(e＋3，＋∞) B　[因?yàn)榍€y＝x3＋x＋1在x∈[－1,1]上遞增，由曲線y＝x3＋x＋1(x∈[－1,1])上存在點(diǎn)(x0，y0)使f(y0)＝y(tǒng)0，可知y0∈[－1,3]，由f(y0)＝y(tǒng)0，可得y0＝e－2y0－a，∴a＝e－3y0，而a＝e－3y0在[－1,3]上單調(diào)遞減，∴a∈[e－3－9，e＋3]，故選B.] 6．(2018武漢調(diào)研)已知A，B分別為橢圓＋＝1(0＜b＜3)的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為m，n，若點(diǎn)A到直線y＝x的距離為1，則該橢圓的離心率為(　　) A.　　　 B. C.　　　 D. B　[根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(0＜b＜3)知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A(－3,0)，B(3,0)，設(shè)P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，則＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直線y＝x＝x，即x－3y＝0.又點(diǎn)A到直線y＝x的距離為1， ∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝，故選B.] 7．已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) B　[在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)＝(mx－1)2＝m22與g(x)＝＋m的大致圖象． 分兩種情形： (1)當(dāng)01時(shí)，0<<1，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖象在[0,1]上只有一個(gè)交點(diǎn)，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)． 綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．故選B.] 8．已知函數(shù)f(x)＝|ln(－x)|，設(shè)a＝f(log3 0.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，則(　　 ) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[∵f(－x)＝|ln(＋x)|＝＝f(x)． ∴f(x)＝f(－x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)． ∴當(dāng)x＞0時(shí)，易得f(x)＝ln(＋x)為增函數(shù)， ∴a＝f(log3 0.2)＝f(log3 5)，c＝f(－31.1)＝f(31.1)， ∵1＜log3 5＜2,0＜3－0.2＜1,31.1＞3， ∴f(31.1)＞f(log3 5)＞f(3－0.2)，∴c＞a＞b.故選D.] 9．點(diǎn)M(3,2)到拋物線C：y＝ax2(a>0)準(zhǔn)線的距離為4，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)N(1,1)，當(dāng)點(diǎn)P在直線l：x－y＝2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為(　　 ) A. B. C. D. B　[∵點(diǎn)M(3,2)到拋物線C：y＝ax2(a>0)準(zhǔn)線的距離為4，∴2＋＝4，∴a＝，∴拋物線C：x2＝8y， 直線l：x－y＝2與x軸交于A(2,0)，則FA⊥l，且點(diǎn)N，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)|AP|＝t，則|AN|＝，|AF|＝2，|PN|＝，|PF|＝， 設(shè)－1＝m(m≥－1)，則＝＝＝， ∴m＝－1，即t＝0時(shí)，的最小值為.] 10.如圖27，在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝90，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，連接PC，得到三棱錐PBCD，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是(　　 ) 圖27 A．7π　 B．5π C．3π　　　 D．π A　[依題意可得該三棱錐的面PCD是邊長(zhǎng)為的正三角形，且BD⊥平面PCD，設(shè)三棱錐PBDC外接球的球心為O，△PCD外接圓的圓心為O1，則OO1⊥平面PCD，所以四邊形OO1DB為直角梯形，由BD＝，O1D＝1，及OB＝OD，可得OB＝，則外接球的半徑R＝.所以該球的表面積S球＝4πR2＝7π.] 11．記函數(shù)f(x)＝sin 2nx－cos nx在區(qū)間[0，π]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和是(　　 ) A．430 B．840 C．1 250 D．1 660 A　[令f(x)＝sin 2nx－cos nx＝2cos nx＝0，得cos nx＝0①或sin nx＝，② 由①得，nx＝＋kπ(k∈Z)，令0≤＋kπ≤nπ，得－≤k≤n－，故①共有n個(gè)解， 由②得nx＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)， 令0≤＋2kπ≤nπ，得－≤k≤－③， 令0≤＋2kπ≤nπ， 得－≤k≤－④， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n個(gè)解，故an＝2n； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③有個(gè)解，④有個(gè)解，故②有n＋1個(gè)解，故an＝2n＋1； 令bn＝a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＋2(2n)＝8n－1； 故a1＋a2＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝＝430，故選A.] 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交BA及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)(如圖28)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－5μ的取值范圍是(　　) 圖28 A．[－2,2] B．[－2,2] C．[－2，2] D．[－2，2] C　[分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，AB，AD方向?yàn)檎较蚪⒅苯亲鴺?biāo)系，則B(2,0)，D(0,1)，E(2,1)，F(xiàn)， 設(shè)P(cos α，sin α)(0≤α≤π)， 由AP＝λAE＋μBF，得(cos α，sin α)＝λ(2,1)＋μ，則2λ－5μ＝2cos α－2sin α＝2sinα＋，由0≤α≤π可得≤α＋≤， 則－2≤2sin≤2. 則2λ－5μ的取值范圍是[－2，2]．故選C.] 二、填空題 13. (2018長(zhǎng)春模擬)如圖29，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量＝m＋n(m，n為實(shí)數(shù))，則m＋n的取值范圍是________． 圖29 　[如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則＝(4,0)，＝(0,4)，＝m＋n＝(4m,4n)，設(shè)Q(4，t)，t∈[0,4]，則P在圓(x－4)2＋(y－t)2＝1上，設(shè)P(4＋cos θ，t＋sin θ)， 則4m＋4n＝4＋t＋sin，當(dāng)t＝0，θ＝時(shí)， m＋n取得最小值1－，當(dāng)t＝4，θ＝時(shí)，m＋n取得最大值2＋，所以m＋n的取值范圍是.] 14．函數(shù)f(x)＝的圖象與函數(shù)g(x)＝2sinx(0≤x≤4)的圖象的所有交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________. 　[如圖，畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝ .] 15.如圖30，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值為________． 圖30 5　[連接A1B，沿BC1將△CBC1展開，使與△A1BC1在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，連接A1C. 則A1C的長(zhǎng)度就是所求的最小值． 易知∠A1C1B＝90，∠BC1C＝45，所以∠A1C1C＝135， 在△A1C1C中，由余弦定理可得A1C＝5.故CP＋PA1的最小值為5.] 16.具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面α和β所成的二面角αy軸β大小為45，如圖31，已知在β內(nèi)的曲線C′的方程是y2＝4x′，曲線C′在平面α內(nèi)射影的方程y2＝2px，則p的值是________． 圖31 2　[結(jié)合題中所給的示意圖可知，曲線C′的方程是y2＝4x′，則OF′＝，作F′⊥平面α于點(diǎn)F″，由于平面α和β所成的二面角αy軸β大小為45，故OF″＝cos 45＝1，即曲線C′在平面α內(nèi)射影所形成的拋物線的焦距為1，故p＝21＝2.]