新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題2 函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)含解析
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1、 1
2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題2 函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) 一、選擇題 1.(文)(20xx·新課標Ⅰ文,5)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是( ) A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D
3、.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) [答案] C [解析] 本題考查函數(shù)的奇偶性. 由f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),得 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). ∴f(x)·g(x)是奇函數(shù),|f(x)|g(x)是偶函數(shù), f(x)|g(x)|是奇函數(shù),|f(x)g(x)|是偶函數(shù),選C. [方法點撥] 函數(shù)奇偶性判定方法: 緊扣函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的定義域關(guān)于坐標原點對稱、函數(shù)圖象的對稱性等對問題進行分析轉(zhuǎn)化,特別注意“奇函數(shù)若在x=0處有定義,則一定有f(0)=0,偶函數(shù)一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應(yīng)用. (理)(20xx·安徽理,2)下列函數(shù)中,既
4、是偶函數(shù)又存在零點的是( )
A.y=cos x B.y=sin x
C.y=ln x D.y=x2+1
[答案] A
[解析] 考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點的概念.
由選項可知,B,C項均不是偶函數(shù),故排除B,C;A,D項是偶函數(shù),但D項與x軸沒有交點,即D項的函數(shù)不存在零點,故選A.
2.(文)函數(shù)f(x)=+的定義域為( )
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
[答案] A
[解析] 本題考查了定義域的求法.
由題意知即即
∴-3 5、ln(x2-x)的定義域為( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
[答案] C
[解析] 本題考查函數(shù)定義域的求法.
由題設(shè)得x2-x>0,解得x<0或x>1,選C.
[方法點撥] 1.求解函數(shù)的定義域一般應(yīng)遵循以下原則:
①f(x)是整式時,定義域是全體實數(shù);②f(x)是分式時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③f(x)為偶次根式時,定義域是使被開方數(shù)為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,且當(dāng)對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)需大于0且不等于1;⑤零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;⑥若f(x)是由有限個基本 6、初等函數(shù)運算合成的函數(shù),則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集;⑦對于求復(fù)合函數(shù)定義域的問題,一般步驟是:若已知f(x)的定義域為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式a≤g(x)≤b解出;⑧對于含字母參數(shù)的函數(shù)求其定義域,根據(jù)具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論;⑨由實際問題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問題的實際意義.
2.高考中常將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)或冪函數(shù)(例如分式函數(shù)、含偶次方根的函數(shù))等結(jié)合起來考查,這時一般應(yīng)從外到內(nèi)逐層剝離解決.
例如,y=,從總體上看是分式,故先由分母不為0得到≠0,再由偶次方根下非負得到2-log3x>0,即l 7、og3x<2,最后由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)定義域得到0 8、求值應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.
4.(20xx·湖北理,6)已知符號函數(shù)sgn x=f(x)是R上的增函數(shù),g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),則( )
A.sgn [g(x)]=sgn x
B.sgn [g(x)]=sgn [f(x)]
C.sgn [g(x)]=-sgn x
D.sgn [g(x)]=-sgn [f(x)]
[答案] C
[解析] 考查新定義問題及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.
因為f(x)是R上的增函數(shù),a>1,所以當(dāng)x>0時,ax>x,f(x)<f(ax),g(x)<0;x=0時,ax=x,f(x)=f(ax)=f(0),g(0)=0;x<0時,ax<x,f(x 9、)>f(ax),g(x)>0.
因此sgn[g(x)]=所以sgn[g(x)]=-sgn x.
故本題正確答案為C.
5.(文)函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象大致是( )
[答案] A
[解析] ∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),
∴f(x)是偶函數(shù),排除C.∵x2+1≥1,則ln(x2+1)≥0,且當(dāng)x=0時f(0)=0,所以排除B、D,選A.
(理)若函數(shù)f(x)=則當(dāng)k>0時,函數(shù)y=f[f(x)]+1的零點個數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 結(jié)合圖象分析.當(dāng)k>0時,f[f(x)]=- 10、1,則f(x)=t1∈(-∞,-)或f(x)=t2∈(0,1).對于f(x)=t1,存在兩個零點x1、x2;對于f(x)=t2,存在兩個零點x3、x4,共存在4個零點,故選D.
6.函數(shù)f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
[答案] D
[解析] 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,f(x)=log(x2-4)由y=logu及u=x2-4復(fù)合而成,y=logu在定義域內(nèi)為減函數(shù),而u=x2-4在(-∞,-2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)=log(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,- 11、2),選D.
7.(文)已知函數(shù)f(x)=g(x)=log2x,則f(x)與g(x)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[答案] C
[解析] 畫出兩函數(shù)的圖象知,當(dāng)0 12、判斷方法,由于u=cosx在區(qū)間(-,0)、(0,)上分別為增函數(shù)和減函數(shù),而y=logu為減函數(shù),故復(fù)合函數(shù)f(x)=logcosx在區(qū)間(-,0)、(0,)上分別為減函數(shù)和增函數(shù),故選C.
8.(文)如果我們定義一種運算:g?h=已知函數(shù)f(x)=2x?1,那么函數(shù)f(x-1)的大致圖象是( )
[答案] B
[解析] 由定義知,當(dāng)x≥0時,2x≥1,∴f(x)=2x,當(dāng)x<0時,2x<1,∴f(x)=1,
∴f(x)=其圖象易作,f(x-1)的圖象可由f(x)的圖象向右平移1個單位得到,故選B.
[方法點撥] 1.新定義題型要準確理解把握新定義的含義,發(fā)掘出其隱含條件.
13、
2.恒成立問題要注意恒成立的臨界點及特值法應(yīng)用.
3.分段函數(shù)的單調(diào)性和最值問題,一般是在各段上分別討論.
(理)定義兩種運算:a⊕b=,a?b=,則函數(shù)f(x)=為( )
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又為偶函數(shù) D.非奇函數(shù)且非偶函數(shù)
[答案] A
[解析] 本題考查對新運算的理解和應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷方法,難度中等.
根據(jù)所給的運算定義得函數(shù)f(x)==,求出函數(shù)的定義域為[-2,0)∪(0,2],關(guān)于原點對稱,且x-2≤0,所以函數(shù)f(x)===,易知f(-x)=-f(x),所以原函數(shù)為奇函數(shù),故選A.
[易錯分析] 本題中常見錯誤是不化簡函數(shù)的解析式而 14、直接將-x代入,導(dǎo)致選擇錯誤答案D.
9.(文)已知f(x)=,則f(20xx)等于( )
A.-1 B.2
C.0 D.1
[答案] D
[解析] ∵20xx=403×5-2,∴f(20xx)=f(-2)=log22=1.
(理)(20xx·湖南理,3)已知f(x)、g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] C
[解析] 本題考查函數(shù)的奇偶性.
分別令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1?f(1)+g(1)=1,則
? 15、?f(1)+g(1)=1,故選C.
10.(20xx·浙江嘉興測試一)偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),若不等式f(ax-1) 16、意可得不等式|ax-1|<2+x2恒成立,即-(2+x2) 17、函數(shù)得a>0,∴0
18、往與不等式的解、方程的解等問題交匯,要注意這些知識的綜合運用.三是利用導(dǎo)數(shù)研究.
對于選擇、填空題若能畫出圖象一般用數(shù)形結(jié)合法;而對于由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合而成的函數(shù)常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題;對于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法;對于抽象函數(shù)一般用定義法.
12.(20xx·浙江寧波期末)設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù),若g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[2,3]上的值域為[-2,6],則函數(shù)g(x)在[-20xx,20xx]上的值域為( )
A.[-2,6] B.[-4030,4024]
C.[-4020,4034] 19、D.[-4028,4016]
[答案] C
[解析] 本題考查函數(shù)性質(zhì)與歸納推理的應(yīng)用,考查對抽象函數(shù)的理解和應(yīng)用,難度較大.
求出幾個區(qū)間的值域,再進行歸納推理.當(dāng)x∈[3,4]時,x-1∈[2,3],g(x-1)=f(x-1)-2(x-1),且g(x-1)∈[-2,6],又f(x)的周期為1,所以f(x)-2x=f(x-1)-2x=g(x-1)-2∈[-4,4],所以g(x)在[2,4]內(nèi)的值域為[-4,6].同理,當(dāng)x∈[4,5]時,g(x)的值域是[-6,2],所以g(x)在[2,5]內(nèi)的值域為[-6,6],…,g(x)在[2,20xx]內(nèi)的值域為[-4020,6].g(x)在[ 20、1,2]內(nèi)的值域為[0,8],g(x)在[1,20xx]內(nèi)的值域為[-4020,8],…,所以g(x)在[-20xx,20xx]內(nèi)的值域為[-4020,4034],故選C.
[易錯分析] 抽象函數(shù)值域的求解是一個難點,尤其是與年份相關(guān)的周期函數(shù)的值域問題,難度更大.利用函數(shù)的周期性及整體思想將函數(shù)進行變換,使函數(shù)g(x)能夠特殊化,從而歸納得出結(jié)論.
13.(文)已知f(x+1)為偶函數(shù),且f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,a=f(2)、b=f(log32)、c=f(),則有 ( )
A.a(chǎn)
21、(x+1)為偶函數(shù),∴其圖象關(guān)于y軸對稱,
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
又∵函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,
∵f(2)=f(0),且0< 22、=時,-1≤x<,<1-x≤2,∴l(xiāng)og2 23、②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中屬于集合M的函數(shù)是________(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號).
[答案]?、冖?
[解析] 對于①,方程=+1,顯然無實數(shù)解;對于②,由方程2x+1=2x+2,解得x=1;對于③,方程lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3,也無實數(shù)解;對于④,方程cos[π(x+1)]=cosπx+cosπ,即cosπx=,顯然存在x使等式成立,故填②④.
15.如圖所示,f(x)是定義在區(qū)間[-c,c](c>0)上的奇函數(shù),令g(x)=af(x)+b,并有關(guān)于函數(shù)g(x)的四個論斷:
①若a>0,對于[- 24、1,1]內(nèi)的任意實數(shù)m、n(m 25、(-x)+f(x)=0,故g(x)為奇函數(shù)?b=0,故②正確;
③g′(x)=af ′(x),由圖知f(x)在[-c,c]上減、增、減,
∴f ′(x)在[-c,c]上取值為負、正、負,從而當(dāng)a≠0時,g′(x)=0在[-c,c]上與x軸必有兩個交點,又a=0時,g′(x)=0在[-c,c]上恒成立,∴?a∈R,g′(x)在[-c,c]上有兩個零點,故③正確;
④取a=1,b=-5,則g(x)=f(x)-5與x軸無交點,∴方程g(x)=0無實根,∴④錯誤.
三、解答題
16.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意的實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f()=0,當(dāng)x>時 26、,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)判斷f(x)的增減性并證明.
[解析] (1)令x=y(tǒng)=,得f(1)=f()+f()+=.
(2)f(x)為增函數(shù),證明:任取x1、x2∈R,且x2>x1,Δx=x2-x1>0,則:
Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)=f(Δx)+f(x1)+-f(x1)=f(Δx)+=f(Δx)+f()+=f(Δx+),
又∵Δx>0,∴Δx+>,∴f(Δx+)>0,
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函數(shù).
[方法點撥] 抽象函數(shù)的求值與性質(zhì)討論,常結(jié)合條件式通過賦值轉(zhuǎn)化解決,賦值時要緊扣目標進行.如判斷奇偶性要創(chuàng)設(shè)條件產(chǎn)生f(-x)與f(x)的關(guān)系式;判斷單調(diào)性,則要在設(shè)出x1
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