2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 單科標(biāo)準(zhǔn)練2 理.doc

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單科標(biāo)準(zhǔn)練(二) (滿分：150分　時(shí)間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．設(shè)集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2－x＜0}，則下列關(guān)系中正確的是(　　 ) A．M∪N＝R B．M∪(?RN)＝R C．N∪(?RM)＝R D．M∩N＝M B　[N＝{x|0＜x＜1}，∴M∪N＝{x|x＜2}，?RN＝{x|x≤0，或x≥1}，M∪(?RN)＝R.故選B.] 2．已知i為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)x，y滿足(x＋2i)i＝y(tǒng)－i，則|x－yi|＝(　　 ) A．1 B. C. D. D　[∵(x＋2i)i＝y(tǒng)－i，∴－2＋xi＝y(tǒng)－i，∴，則|x－yi|＝|－1＋2i|＝.故選D.] 3．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E滿足＝2，則的值為(　　 ) A．1 B．3 C. D. A　[由四邊形ABCD為矩形，由數(shù)量積幾何意義知： ＝()2＝1.故選A.] 4．函數(shù)f(x)＝x2－xsin x的大致圖象可能是(　　) A　　　　　　 　B C　　　　　　　　 D C　[由f(－x)＝f(x)，x∈R，得函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．又f＝－＝＜0，因此結(jié)合各選項(xiàng)知C正確，故選C.] 5．甲、乙、丙三人各買(mǎi)了一輛不同品牌的新汽車，汽車的品牌為奇瑞、傳祺、吉利．甲、乙、丙讓丁猜他們?nèi)烁髻I(mǎi)的什么品牌的車，丁說(shuō)：“甲買(mǎi)的是奇瑞，乙買(mǎi)的不是奇瑞，丙買(mǎi)的不是吉利．”若丁的猜測(cè)只對(duì)了一個(gè)，則甲、乙所買(mǎi)汽車的品牌分別是(　　 ) A．吉利，奇瑞 B．吉利，傳祺 C．奇瑞，吉利 D．奇瑞，傳祺 A　[因?yàn)槎〉牟聹y(cè)只對(duì)了一個(gè)，所以“甲買(mǎi)的是奇瑞，乙買(mǎi)的不是奇瑞”這兩個(gè)都是錯(cuò)誤的．否則“甲買(mǎi)的不是奇瑞，乙買(mǎi)的不是奇瑞”或“甲買(mǎi)的是奇瑞，乙買(mǎi)的是奇瑞”是正確的，這與三人各買(mǎi)了一輛不同的品牌矛盾，“丙買(mǎi)的不是吉利”是正確的，所以乙買(mǎi)的是奇瑞，甲買(mǎi)的是吉利，選A.] 6．如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線或虛線畫(huà)出某幾何體的三視圖，該幾何體的體積為(　　 ) 圖1 A．8 B．12 C．18 D．24 B　[由題意得，根據(jù)給定的三視圖可知，該幾何體為如圖所示的幾何體，是一個(gè)三棱錐與三棱柱的組合體，其中三棱錐的體積為V1＝432＝4，三棱柱的體積為V2＝2V1＝24＝8，所以該幾何體的體積為V＝12，故選B.] 7．甲、乙等4人參加4100米接力賽，在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是(　　 ) A. B. C. D. D　[由題得甲不跑第一棒的總的基本事件有CA＝18個(gè)，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有CA－AA＝14.由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是P＝＝.故選D.] 8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝的取值范圍為(　　) A. B. C.∪ D.∪ C　[作出的可行域?yàn)槿切?圖略)，把z＝改寫(xiě)為＝，所以可看作點(diǎn)(x，y)和(5,0)之間的斜率，記為k，則－≤k≤， 所以z∈－∞，－∪，＋∞.] 9．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī)：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)四處，沒(méi)了壺中酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖2所示，即最終輸出的x＝0，則一開(kāi)始輸入x的值為(　　) 圖2 A. B. C. D. C　[i＝1， (1)x＝2x－1，i＝2， (2)x＝2(2x－1)－1＝4x－3，i＝3， (3)x＝2(4x－3)－1＝8x－7，i＝4， (4)x＝2(8x－7)－1＝16x－15，i＝5， 所以輸出16x－15＝0，得x＝，故選C.] 10．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被拋物線y＝4x2所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為(　　 ) A. B．1 C．2 D．4 C　[雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程不妨設(shè)為bx＋ay＝0，與拋物線方程聯(lián)立，，消去y，得4ax2＋bx＝0，所以，所以所截得的弦長(zhǎng)為＝，化簡(jiǎn)可得＝，bc＝2a2，(c2－a2)c2＝12a4，e4－e2－12＝0，得e2＝4或－3(舍)，所以雙曲線C的離心率e＝2.] 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的最小正周期為π，且f(x)≤f，則下列說(shuō)法不正確的是(　　 ) A．f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為－ B．f(x)的一條對(duì)稱軸為x＝ C．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．f是偶函數(shù) C　[由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π， 得＝π，則ω＝2.又f(x)≤f， ∴f(x)max＝f，即2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 得φ＝＋2kπ，k∈Z. 故f(x)＝sin＝sin. ∵f＝0，∴f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為－，故A項(xiàng)正確； ∵f＝1，∴f(x)的一個(gè)對(duì)稱軸為x＝，故B項(xiàng)正確； 當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈， ∴f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤； ∵f＝sin＝sin＝cos 2x， ∴f是偶函數(shù)，故D項(xiàng)正確．故選C.] 12．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑的圓E上存在點(diǎn)P，Q，使得以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D(－2，t)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．[－1,3] C．(－∞，2－]∪[2＋，＋∞) D．[2－，2＋] D　[由題意可得直線AB的方程為x＝y(tǒng)＋1，與y2＝4x聯(lián)立消去x，可得y2－4y－4＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4，y1y2＝－4，設(shè)E(xE，yE)，則yE＝＝2，xE＝y(tǒng)E＋1＝3，又|AB|＝x1＋x2＋2＝y(tǒng)1＋1＋y2＋1＋2＝8，所以圓E是以(3,2)為圓心，4為半徑的圓，所以點(diǎn)D恒在圓E外．圓E上存在點(diǎn)P，Q，使得以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)D(－2，t)，即圓E上存在點(diǎn)P，Q，使得DP⊥DQ，設(shè)過(guò)D點(diǎn)的兩直線分別切圓E于P′，Q′點(diǎn)，要滿足題意，則∠P′DQ′≥， 所以＝≥，整理得t2－4t－3≤0，解得2－≤t≤2＋，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2－，2＋]，故選D.] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．(2－x)(x－1)4的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)是__________． 16　[(x－1)4的展開(kāi)式中，T3＝Cx2(－1)2，T2＝Cx1(－1)3，故x，x2的系數(shù)分別為－4,6，從而(2－x)(x－1)4的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為26＋(－1)(－4)＝16.] 14．奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，f(3)＝2，則f(1)＝__________. 2　[由題設(shè)得f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＋f(x)＝0， 從而有f(2－x)＝f(x)，f(x)為周期函數(shù)且周期為2，所以f(1)＝f(3)＝2.] 15．已知圓錐的高為3，側(cè)面積為20π，若此圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為_(kāi)_______． 　[設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)l，底面的半徑為r，則πrl＝20π，即rl＝20，又l2－r2＝9，解得l＝5，r＝4. 當(dāng)球的體積最大時(shí)，該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則(5＋5＋8)R＝38，故R＝，所以Vmax＝π3＝π.] 16．已知a，b，c是銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b＝，且滿足cos B＝cos A，則a＋c的取值范圍是________． 　[∵cos B＝cos A，∴由正弦定理得 (2sin C－sin A)cos B－sinBcos A＝0， 即sin C(2cos B－1)＝0， ∵sin C≠0，∴cos B＝. ∵B為△ABC的內(nèi)角，∴B＝. ∵b＝，∴＝＝＝2， ∴a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin＋2sin C ＝2sin， ∵△ABC是銳角三角形，∴＜C＜，∴＜C＋＜， ∴a＋c的取值范圍為.] 三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a＝3a＋2anan＋1，且a2＋a4＝3(a3＋3)，其中n∈N*. (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)由a＝3a＋2anan＋1， 得a－2anan＋1－3a＝0， 即(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， 由已知an＞0，得an＋1＋an≠0， 所以an＋1＝3an. 所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列． 由a2＋a4＝3(a3＋3)，得3a1＋27a1＝3(9a1＋3)， 解得a1＝3， 所以an＝3n. (2)由(1)知，bn＝nan＝n3n， 則Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn ＝3＋232＋333＋…＋(n－1)3n－1＋n3n，① 3Sn＝32＋233＋334＋…＋(n－1)3n＋n3n＋1，② ①－②得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n3n＋1 ＝－n3n＋1＝3n＋1－. 所以Sn＝3n＋1＋. 18．(本小題滿分12分)如圖3(1)，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90，AB＝2，BC＝4，AD＝6，E是AD上的點(diǎn)，AE＝AD，P為BE的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得A1C＝4，如圖3(2)． (1)　　　　　　　　(2) 圖3 (1)求證：平面A1CP⊥平面A1BE； (2)求二面角BA1PD的余弦值． [解]　(1)證明：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90， AB＝2，BC＝4，AD＝6，E是AD上的點(diǎn)，AE＝AD， ∴BE＝4，∠ABE＝30，∠EBC＝60，BP＝2， ∴BP2＋PC2＝BC2，∴BP⊥PC， ∵A1P＝AP＝2，A1C＝4， ∴A1P2＋PC2＝A1C2，∴PC⊥A1P， ∵BP∩A1P＝P，∴PC⊥平面A1BE， ∵PC?平面A1CP，∴平面A1CP⊥平面A1BE， (2)以P為原點(diǎn)，PB為x軸，PC為y軸，過(guò)P作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(2,0,0)，A1(－1,0，)，P(0,0,0)，D(－4，2，0)，所以＝(2,0,0)，＝(－1,0，)，＝(－4，2，0)． 設(shè)平面A1PD的法向量為n＝(x，y，z)， 則取x＝2，得n＝(2，4,2)， 平面A1PB的法向量n＝(0,1,0)， 設(shè)二面角BA1PD的平面角為θ， 則cos θ＝－＝－＝－. ∴二面角BA1PD的余弦值為－. 19．(本小題滿分12分)某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝cxb(b、c為大于0的常數(shù))．按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品．現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： 尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 質(zhì)量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 質(zhì)量與尺 寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望； (2)根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表： (ln xiln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)2 75.3 24.6 18.3 101.4 (ⅰ)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程； (ⅱ)已知優(yōu)等品的收益z(單位：千元)與x，y的關(guān)系為z＝2y－0.32x，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸x為何值時(shí)，收益z的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于樣本(vi，ui)(i＝1,2，…，n)，其回歸直線u＝bv＋a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝＝，＝－， e≈2.7182. [解]　(1)由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)，即∈(0.302,0.388)． 則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品． 現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)ξ＝0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. (2)對(duì)y＝cxb(b，c＞0)兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln y＝ln c＋bln x. 令vi＝ln xi，ui＝ln yi，得u＝bv＋a，且a＝ln c. (ⅰ)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有： ＝＝＝＝， ＝－＝6＝1， 得＝ln ＝1，＝e， 所求y關(guān)于x的回歸方程為y＝ex. (ⅱ)由(ⅰ)可知y＝ex，則＝2e－0.32x. 令t＝，則(t)＝－0.32t2＋2et＝－0.32＋. 由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比＝＝∈?∈(7,9)，即x∈(49,81)． 當(dāng)t＝＝≈8.5∈(7,9)時(shí)，取最大值． 即優(yōu)等品的尺寸x≈72.3(mm)，收益的預(yù)報(bào)值最大． 20．(本小題滿分12分)如圖4，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0 )的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，MF2⊥x軸，直線MF1交y軸于H點(diǎn)，OH＝，Q為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，△F1F2Q的面積的最大值為1. 圖4 (1)求橢圓E的方程； (2)過(guò)點(diǎn)S(4,0)作兩條直線與橢圓E分別交于A，B，C，D，且使AD⊥x軸，如圖，問(wèn)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解]　(1)設(shè)F(c,0)，由題意可得＋＝1，即yM＝. ∵OH是△F1F2M的中位線，且OH＝， ∴|MF2|＝，即＝，整理得a2＝2b4.?、? 又由題知，當(dāng)Q在橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，△F1F2M的面積最大，∴2cb＝1， 整理得bc＝1，即b2(a2－b2)＝1，② 聯(lián)立①②可得2b6－b4＝1，變形得 (b2－1)(2b4＋b2＋1)＝0，解得b2＝1，進(jìn)而a2＝2. ∴橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則由對(duì)稱性可知D(x1，－y1)，B(x2，－y2)． 設(shè)直線AC與x軸交于點(diǎn)(t,0)，直線AC的方程為x＝my＋t(m≠0)， 聯(lián)立，消去x， 得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， 由A，B，S三點(diǎn)共線kAS＝kBS，即＝， 將x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入整理得 y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0， 即2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，從而 ＝0，化簡(jiǎn)得2m(4t－2)＝0， 解得t＝，于是直線AC的方程為x＝my＋， 故直線AC過(guò)定點(diǎn).同理可得BD過(guò)定點(diǎn)， ∴直線AC與BD的交點(diǎn)是定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax－－4ln x的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x1＜x2，且e＜x2＜3，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)求f(x2)－f(x1)的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝a＋－＝， 由題意知x1，x2即為方程ax2－4x＋a＝0的兩個(gè)根． 由根與系數(shù)的關(guān)系得整理得a＝＝＝. 又y＝x2＋在(e,3)上單調(diào)遞增，∴a∈. (2)f(x2)－f(x1)＝ax2－－4ln x2－ax2＋＋4ln x1， ∵x1＝，∴f(x2)－f(x1)＝ax2－－4ln x2－＋ax2＋4ln ＝2a－8ln x2，由(1)知a＝，代入得 f(x2)－f(x1)＝－8ln x2＝－8ln x2， 令t＝x∈(e2,9)，于是可得h(t)＝－4ln t， 故h′(t)＝－＝＝＜0， ∴h(t)在(e2,9)上單調(diào)遞減， ∴f(x2)－f(x1)∈. 請(qǐng)考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－3)2＝4.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程； (2)若射線θ＝(ρ＞0)與l的交點(diǎn)為M，與圓C的交點(diǎn)為A，B，且點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求a的值． [解]　(1)在直線l的參數(shù)方程中消去t可得， x－y－＋a＝0， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入以上方程中， 所以，直線l的極坐標(biāo)方程為 ρcos θ－ρsin θ－＋a＝0. 同理，圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0. (2)在極坐標(biāo)系中，由已知可設(shè)M，A，B. 聯(lián)立 可得ρ2－(3＋3)ρ＋14＝0， 所以ρ2＋ρ3＝3＋3. 因?yàn)辄c(diǎn)M恰好為AB的中點(diǎn)，所以ρ1＝，M. 把M代入ρcos θ－ρsin θ－＋a＝0， 得－＋a＝0， 所以a＝. 23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知f(x)＝|mx＋3|－|2x＋n|. (1)當(dāng)m＝2，n＝－1時(shí)，求不等式f(x)＜2的解集； (2)當(dāng)m＝1，n＜0時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于24，求n的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)m＝2，n＝－1時(shí)， f(x)＝|2x＋3|－|2x－1|. 不等式f(x)＜2等價(jià)于 或 或 解得x＜－或－≤x＜0，即x＜0. 所以不等式f(x)＜2的解集是(－∞，0)． (2)由題設(shè)可得， f(x)＝|x＋3|－|2x＋n|＝ 所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(3－n,0)，C. 所以三角形ABC的面積為 ＝. 由題設(shè)知，＞24， 解得n＜－6.