第三章 3.1 第1課時(shí) 不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)
A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1.(2018-2019學(xué)年度山東菏澤一中高二月考)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小關(guān)系是( B )
A.a(chǎn)2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a(chǎn)2>-a>a>-a2
[解析] ∵a2+a<0,∴-1<a<0,取a=-,可知-a>a2>-a2>a,排除A,C,D,故選B.
2.如果a、b、c滿足c
ac B.bc>ac
C.cb20,c<0.
∴ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,∴A、B、D均正確.
∵b可能等于0,也可能不等于0.
∴cb2b,c>b,則a>c B.若a>-b,則c-ab,c D.若a2>b2,則-a<-b
[解析] 選項(xiàng)A,若a=4,b=2,c=5,顯然不成立;選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件,如a>b>0,c<0b>0時(shí)才可以.否則如a=-1,b=0時(shí)不成立,故選B.
4.已知a=2-,b=-2,c=5-2,那么下列各式正確的是( A )
A.a(chǎn)0,∴a0,∴c>b,∴a0 B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0 D.b2-4ac的正負(fù)不確定
[解析] ∵a0,∴b2-4ac>0.
6.已知P=,Q=a2-a+1,則P、Q的大小關(guān)系為( C )
A.P>Q B.P0,-a2(a2+1)≤0,
∴≤0,∴P≤Q.
二、填空題
7.若a>b,則a3與b3的大小關(guān)系是__a3>b3__.
[解析] a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a+)2+],
∵a>b,∴a-b>0,(a+)2+>0,∴(a-b)[(a+)2+]>0,∴a3>b3.
8.若x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),則x與y的大小關(guān)系是__x<y__.
[解析] x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,∴x<y.
三、解答題
9.有糧食和石油兩種物質(zhì),可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸,每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果如下表:
方式
效果
種類
輪船運(yùn)輸量(t)
飛機(jī)運(yùn)輸量(t)
糧食
300
150
石油
250
100
現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸2 000 t糧食和1 500 t石油.寫出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式.
[解析] 設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機(jī),則
,∴.
10.(2018-2019學(xué)年度山東日照青山中學(xué)高二月考)比較x6+1與x4+x2的大小,其中x∈R.
[解析] x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1
=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)
=(x2-1)2(x2+1)≥0,
∴當(dāng)x=1時(shí),x6+1=x4+x2,
當(dāng)x≠1時(shí),x6+1>x4+x2.
綜上可知,x6+1≥x4+x2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.
B級(jí) 素養(yǎng)提升
一、選擇題
1.設(shè)a=sin15+cos15,b=sin16+cos16,則下列各式正確的是( B )
A.a(chǎn)<0,∴>ab=sin60sin61=sin61>sin61=b,故a0,
A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0得A>B,
C-A=-(1+a2)
=-
=->0,得C>A,
∴B200,即1.12x>?x>===3.8,所以該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年.
二、填空題
4.若a<0,b<0,則p=+與q=a+b的大小關(guān)系為_(kāi)_p≤q__.
[解析] p-q=+-a-b
=+=(b2-a2)(-)
==,
因?yàn)閍<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.
綜上,p≤q.
5.a(chǎn)≠2、b≠-1、M=a2+b2、N=4a-2b-5,比較M與N大小的結(jié)果為_(kāi)_M>N__.
[解析] ∵a≠2,b≠-1,∴M-N=a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2>0,∴M>N.
三、解答題
6.某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車,有9名駕駛員.此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.
[解析] 設(shè)每天派出甲型卡車x輛,乙型卡車y輛.根據(jù)題意,應(yīng)有如下的不等關(guān)系:
(1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過(guò)駕駛員人數(shù).
(2)車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石.
(3)甲型車不能超過(guò)4輛,乙型車不能超過(guò)7輛.
要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系,可以用下面的不等式組來(lái)表示:
,即.
C級(jí) 能力拔高
1.設(shè)a>0,b>0且a≠b,試比較aabb與abba的大?。?
[解析] 根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則.
=aa-bbb-a=()a-b,
當(dāng)a>b>0時(shí),>1,a-b>0,
則()a-b>1,于是aabb>abba.
當(dāng)b>a>0時(shí),0<<1,a-b<0,
則()a-b>1,于是aabb>abba.
綜上所述,對(duì)于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
2.某糧食收購(gòu)站分兩個(gè)等級(jí)收購(gòu)小麥.一級(jí)小麥價(jià)格為a(元/kg),二級(jí)小麥價(jià)格為b(元/kg)(b0,
所以當(dāng)m>n時(shí),x>y,合理;
當(dāng)m
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