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課時(shí)分層作業(yè)(九) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
(建議用時(shí)：40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1．已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|－|MB|＝6，則點(diǎn)M的軌跡方程是( )
A.－＝1 B.－＝1(x≥4)
C.－＝1 D.－＝1(x≥3)
D [由題意知，軌跡應(yīng)為以A(－5,0)，B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P點(diǎn)的軌跡方程為－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792083】
A．－3
－2
D．k>－2
A [由題意知，解得－30，b>0)，
則有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.]
8．一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_(kāi)_______．
－＝1(x≤－2) [設(shè)動(dòng)圓圓心為P，由題意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，又a＝2，c＝4，則b2＝12，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為－＝1(x≤－2)．]
三、解答題
9．如圖223，在以點(diǎn)O為圓心，|AB|＝4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點(diǎn)，∠POB＝30，曲線C是滿足||MA|－|MB||為定值的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，且曲線C過(guò)點(diǎn)P.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程．
圖223
[解] 法一：以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依題意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲線C是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線．
則c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲線C的方程為－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲線C是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線．
設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則有解得a2＝b2＝2.
∴曲線C的方程為－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792085】
[解] (1)當(dāng)k＝0時(shí)，y＝2，表示兩條與x軸平行的直線；
(2)當(dāng)k＝1時(shí)，方程為x2＋y2＝4，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；
(3)當(dāng)k＜0時(shí)，方程為－＝1，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；
(4)當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程為＋＝1，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
(5)當(dāng)k＞1時(shí)，方程為＋＝1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
[能力提升練]
1．設(shè)θ∈，則關(guān)于x，y的方程＋＝1所表示的曲線是( )
A．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
D．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
B [由題意，知－＝1，因?yàn)棣取?，所以sin θ>0，－cos θ>0，則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．故選B.]
2．已知P為雙曲線－＝1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為△PF1F2的內(nèi)心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，則△MF1F2的面積為( )
A．2 B．10 C．8 D．6
B [設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為R，由題意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S△PMF1＝S△PMF2＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S△MF1F2＝2cR＝10，故選B.]
3．已知雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且PF與圓x2＋y2＝16相切于點(diǎn)N，M為線段PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|－|MO|＝______________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792086】
－1 [設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′(圖略)，因?yàn)镸，O分別是FP，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由雙曲線的定義知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝8－5＝－1.]
4．已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是________．
(－1,3) [由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2
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雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
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