2020高考數學大一輪復習 第十一章 選考系列 課下層級訓練59 坐標系(含解析)文 新人教A版.doc
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課下層級訓練(五十九) 坐標系 [A級 基礎強化訓練] 1.在極坐標系中,求直線ρcos=1與圓ρ=4sin θ的交點的極坐標. 解 ρcos=1化為直角坐標方程為x-y=2, 即y=x-2. ρ=4sin θ可化為x2+y2=4y, 把y=x-2代入x2+y2=4y, 得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0, 所以x=,y=1. 所以直線與圓的交點坐標為(,1), 化為極坐標為. 2.(2019吉林長春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos=2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程; (2)求經過兩圓交點的直線的極坐標方程. 解 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4; 因為ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2, 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2)將兩圓的直角坐標方程相減,得經過兩圓交點的直線方程為x+y=1. 化為極坐標方程為ρcos θ+ρsin θ=1, 即ρsin=. 3.在極坐標系中,P是曲線C1:ρ=12sin θ上的動點,Q是曲線C2:ρ=12cos上的動點,求|PQ|的最大值. 解 對曲線C1的極坐標方程進行轉化: ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ,∴x2+y2-12y=0, 即x2+(y-6)2=36. 對曲線C2的極坐標方程進行轉化, ∵ρ=12cos, ∴ρ2=12ρ, ∴x2+y2-6x-6y=0, ∴(x-3)2+(y-3)2=36, ∴|PQ|max=6+6+=18. 4.(2016全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(t為參數,a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 解 (1)消去參數t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2,則C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,且在C3上.所以a=1. [B級 能力提升訓練] 5.(2019寧夏石嘴山月考)在極坐標系中,點M的坐標為,曲線C的方程為ρ=2sin ;以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,斜率為-1的直線l經過點M. (1)求直線l和曲線C的直角坐標方程; (2)若P為曲線C上任意一點,曲線l和曲線C相交于A、B兩點,求△PAB面積的最大值. 解 (1)∵在極坐標系中,點M的坐標為, ∴x=3cos =0,y=3sin =3, ∴點M的直角坐標為(0,3), ∴直線l的直角坐標方程為y=-x+3, 由ρ=2sin ,得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ, ∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2-2x-2y=0, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)圓心(1,1)到直線y=-x+3的距離d==, ∴圓上的點到直線l的距離最大值為d+R=, 而弦|AB|=2=2=, ∴△PAB面積的最大值為=. 6.已知曲線C1:x+y=和C2:(φ為參數).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且兩種坐標系中取相同的長度單位. (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程; (2)設C1與x,y軸交于M,N兩點,且線段MN的中點為P.若射線OP與C1,C2交于P,Q兩點,求P,Q兩點間的距離. 解 (1)曲線C1化為ρcos θ+ρsin θ=. ∴ρsin=. 曲線C2化為+=1.(*) 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式 得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6. ∴曲線C2的極坐標方程為ρ2=. (2)∵M(,0),N(0,1),∴P, ∴OP的極坐標方程為θ=, 把θ=代入ρsin=得 ρ1=1,P. 把θ=代入ρ2=得ρ2=2,Q. ∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q兩點間的距離為1.- 配套講稿:
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