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中難提分突破特訓(六)
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且atanC＝2csinA.
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的取值范圍．
解 (1)由atanC＝2csinA，得
＝2sinA.
由正弦定理，得＝2sinA.
所以cosC＝.
因為C∈(0，π)，所以C＝.
(2)sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sinA＋cosA
＝sin.
因為C＝，所以0
x≥140.
當160≤x≤200時，y＝4800>4000恒成立，所以200≥x≥140時，利潤y不少于4000元．
所以由(1)知利潤y不少于4000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7.
3．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求證：AC⊥平面BB1C1C；
(2)在A1B1上是否存在一點P，使得DP與平面BCB1和平面ACB1都平行？證明你的結論．
解 (1)證明：∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD＝∠ADC＝90，AB＝2AD＝2CD＝2，
∴AC＝，∠CAB＝45.
∴BC＝.∵BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC.
又BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C1C，
BC?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)存在點P，P為A1B1的中點．
由P為A1B1的中點，
有PB1∥AB，且PB1＝AB.
又∵DC∥AB，DC＝AB，
∴DC∥PB1，且DC＝PB1.
∴DCB1P為平行四邊形，從而CB1∥DP.
又CB1?平面ACB1，DP?平面ACB1，
∴DP∥平面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.
4．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直線l：(t為參數(shù))．
(1)求曲線C的直角坐標方程，直線l的普通方程；
(2)設直線l與曲線C交于M，N兩點，點P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．
解 (1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得，曲線C：y2＝2ax，由直線l：(t為參數(shù))，消去t，得直線l：x－y＋2＝0.
(2)將代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，
由Δ>0得a>4，
設M，N，
則t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，
∴(2a)2－48a＝8a，∴a＝5.
5．已知函數(shù)f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|.
(1)當a＝1，b＝0時，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集；
(2)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)的最小值為2，求3a＋b的值．
解 (1)當a＝1，b＝0時，由f(x)≥3|x|＋1，得
2|x＋1|≥1，所以|x＋1|≥，
解得x≤－或x≥－，
所以所求不等式的解集為∪.
(2)解法一：因為f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|
＝
所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以當x＝時，函數(shù)f(x)取得最小值，
為f＝2＝2.
因為a>0，b>0，所以3a＋b＝3.
解法二：f(x)＝2＋≥2＋，等號在－a≤x≤時成立，
因為當x＝時，的最小值為0，
所以f(x)＝2＋≥2，
等號在x＝時成立，
所以f(x)的最小值為2，從而2＝2.
因為a>0，b>0，所以3a＋b＝3.
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