2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5.1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第1課時(shí)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 課后篇鞏固探究 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組 1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S10等于(　　) A.10 B.210 C.a10-2 D.211-2 解析∵an+1an=2n+12n=2,∴數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,且a1=2. ∴S10=2(1-210)1-2=211-2. 答案D 2.在等比數(shù)列{an}中,a2=9,a5=243,則{an}的前4項(xiàng)和為 (　　) A.81 B.120 C.168 D.192 解析因?yàn)閍5a2=27=q3,所以q=3,a1=a2q=3,S4=3(1-34)1-3=120. 答案B 3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則Snan=(　　) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 解析設(shè)公比為q,則q=a2+a4a1+a3=12, 于是a1+a1=,因此a1=2,于是Sn=21-12n1-12=41-12n,而an=212n-1=12n-2,于是Snan=41-12n12n-2=2n-1. 答案D 4.在14與之間插入n個(gè)數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列,若各項(xiàng)總和為778,則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析設(shè)a1=14,an+2=, 則Sn+2=14-78q1-q=778, 解得q=-.所以an+2=14-12n+1=78, 解得n=3.故該數(shù)列共5項(xiàng). 答案B 5.已知首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(　　) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 解析在等比數(shù)列{an}中,Sn=a1-anq1-q=1-an231-23=3-2an. 答案D 6.對于等比數(shù)列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,則an=　　　　　. 解析由Sn=a1-anq1-q,得an=a1-(1-q)Snq=5+352=20. 答案20 7.在等比數(shù)列{an}中,設(shè)前n項(xiàng)和為Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=　　　　. 解析因?yàn)閍3=2S2+1,a4=2S3+1,兩式相減,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q=a4a3=3. 答案3 8.數(shù)列12,24,38,…,n2n的前n項(xiàng)和Sn=　　　　　. 解析∵Sn=12+222+323+…+n2n, ① Sn=122+223+…+n-12n+n2n+1, ② 由①-②,得Sn=12+122+123+…+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1, ∴Sn=2-12n-1-n2n. 答案2-12n-1-n2n 9.已知等比數(shù)列{an}滿足a3=12,a8=,記其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;( 2)若Sn=93,求n. 解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則a3=a1q2=12,a8=a1q7=38,解得a1=48,q=12, 所以an=a1qn-1=4812n-1. (2)Sn=a1(1-qn)1-q=481-12n1-12=961-12n. 由Sn=93,得961-12n=93,解得n=5. 10.導(dǎo)學(xué)號04994046已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a,公差為b,方程ax2-3x+2=0的解為1和b(b≠1). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{an}滿足bn=an2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解(1)因?yàn)榉匠蘟x2-3x+2=0的兩根為x1=1,x2=b, 可得a-3+2=0,ab2-3b+2=0,解得a=1,b=2.所以an=2n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)2n, 所以Tn=b1+b2+…+bn=12+322+…+(2n-1)2n, ① 2Tn=122+323+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, ② 由①-②,得-Tn=12+222+223+…+22n-(2n-1)2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)2n+1-2=22(1-2n)1-2-(2n-1)2n+1-2=(3-2n)2n+1-6. 所以Tn=(2n-3)2n+1+6. B組 1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,則Sn=(　　) A.2n-1 B.2n-1-1 C.2n+1-1 D.2n+1 解析顯然q≠1,由已知,得a1(1-q2n)1-q=3a1(1-q2n)1-q2, 整理,得q=2. 因?yàn)閍1a2a3=8,所以a23=8, 所以a2=2,從而a1=1. 于是Sn=1-2n1-2=2n-1. 答案A 2.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且9S3=S6,則數(shù)列1an的前5項(xiàng)和為(　　) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158 解析由題意易知公比q≠1. 由9S3=S6,得9a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q,解得q=2. 所以1an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. 所以其前5項(xiàng)和為S5=11-1251-12=3116. 答案C 3.在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+…+a5=27,1a1+1a2+…+1a5=3,則a3=(　　) A.9 B.9 C.3 D.3 解析設(shè)公比為q,則由已知可得a1(1-q5)1-q=27,1a11-1q51-1q=3, 兩式相除,得a12q4=9,即a32=9,所以a3=3. 答案C 4.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S3,S2成等差數(shù)列,則{an}的公比q=　　　　. 解析由題意,得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),又a1≠0,q≠0,故q=-. 答案- 5.1+322+423+…+n2n-1+n+12n=　　　　. 解析設(shè)Sn=1+322+423+…+n2n-1+n+12n,則Sn=222+323+424+…+n2n+n+12n+1,兩式相減,得Sn=1+122+123+…+12n-n+12n+1=12+121-12n1-12-n+12n+1=32-12n-n+12n+1. 所以Sn=3-n+32n. 答案3-n+32n 6.若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3+S6=2S9,則公比q等于　　　　　. 解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9. ∴q≠1,∴a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q, 即 2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0. ∵q≠0,∴2q6-q3-1=0, ∴(q3-1)(2q3+1)=0, ∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-342. 答案-342 7.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a52=9a4a8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=an-an-1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解(1)設(shè){an}的公比為q,則由a52=9a4a8,得(a1q4)2=9a1q3a1q7, 即a12q8=9a12q10,因此q2=. 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以q>0,所以q=. 又因?yàn)?a1+3a2=1,所以2a1+3a1=1,解得a1=, 故an=1313n-1,即an=13n. (2)由(1)得bn=an-an-1=13n-13n-1=-2313n-1, 所以{bn}是首項(xiàng)為-,公比為的等比數(shù)列, 因此其前n項(xiàng)和Sn=-231-13n1-13=13n-1. 8.導(dǎo)學(xué)號04994047已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+n2-1,數(shù)列{bn}滿足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3. (1)求an,bn; (2)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn. 解(1)當(dāng)n≥2時(shí),Sn=an+n2-1, Sn-1=an-1+(n-1)2-1, 兩式相減,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1. ∴an=2n+1. ∴3nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3. ∴bn+1=4n+33n, ∴當(dāng)n≥2時(shí),bn=4n-13n-1.又b1=3適合上式, ∴bn=4n-13n-1. (2)由(1)知bn=4n-13n-1, ∴Tn=31+73+1132+…+4n-53n-2+4n-13n-1,① Tn=33+732+1133+…+4n-53n-1+4n-13n,② ①-②,得Tn=3+43+432+…+43n-1-4n-13n =3+4131-13n-11-13-4n-13n =5-5+4n3n. ∴Tn=152-4n+523n-1.