2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 專題2.5 等比數(shù)列的前n項和試題 新人教A版必修5.doc

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2.5 等比數(shù)列的前n項和 1．等比數(shù)列的前n項和公式 若等比數(shù)列的首項為，公比為，則等比數(shù)列的前項和的公式為 2．等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特性 （1）當公比時，因為，所以是關(guān)于n的正比例函數(shù)， 則數(shù)列的圖象是正比例函數(shù)圖象上的一群孤立的點． （2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，即， 設(shè)，則上式可寫成的形式， 則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點． 由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和是一個關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)． 3．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，則利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式可推得等比數(shù)列的前n項和具有以下性質(zhì)： （1）當時，；當時，． （2）． （3）若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則． （4）當時，連續(xù)項的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）．注意：這里連續(xù)m項的和均非零． K知識參考答案： 1． 2． 3． K—重點 等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用、基本量的計算 K—難點 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用、與等差數(shù)列的綜合問題、數(shù)列求和問題 K—易錯 運用前n項和公式時忽略對公比的討論 等比數(shù)列的前n項和的相關(guān)計算問題 在等比數(shù)列問題中共涉及五個量：及，利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式即可“知三求二”．注意方程思想、整體思想及分類討論等思想的應(yīng)用． （1）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前n項和，若，是方程的兩個根，則______________； （2）在等比數(shù)列中，公比為，前n項和為，若，，則______________，______________． 【答案】（1）364；（2），． 【解析】（1）因為，是方程的兩個根，且是遞增數(shù)列， 所以，，則公比，所以． （2）方法1：由于，所以，由，，可得， 可得，解得，代入得， 所以，． 方法2：因為，且，，所以，解得，由，解得， 所以，． 【名師點睛】本題中，第（2）問中的方法1使用了求和公式，因此要對公比q是否為1作出判斷，而方法2避開了使用求和公式，則避免了這一判斷．在使用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要先確定公比q是否等于1，當無法確定時，要對q是否為1作分類討論． 等比數(shù)列的前n項和性質(zhì)的應(yīng)用 已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則______________． 【答案】140 【解析】方法1：設(shè)的公比為，由于，所以． 由，列方程組即可求解，此處不再贅述． 方法2：由，，易得公比， 根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1），可得，即，解得， 又，所以，． 方法3：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（2），可得，即，解得，所以． 方法4：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（4），可知，，成等比數(shù)列， 則，即，解得． 【名師點睛】恰當?shù)厥褂玫缺葦?shù)列前n項和的相關(guān)性質(zhì)，可以避繁就簡，不僅可以減少解題步驟，而且可以使運算簡便，同時還可以避免對公比q的討論．解題時把握好等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的使用條件，并結(jié)合題設(shè)條件尋找使用性質(zhì)的切入點． 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 已知等比數(shù)列的公比． （1）若，求數(shù)列的前項和； （2）證明：對任意的，，，成等差數(shù)列． 【答案】（1）；（2）證明見解析． 【解析】（1）由及，得， 所以數(shù)列的前項和． （2）對任意的，， 由，得=0，故=0． 所以，對任意的，，，成等差數(shù)列． 【名師點睛】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題（即雙數(shù)列問題）的關(guān)鍵在于用好它們的有關(guān)知識，理順兩個數(shù)列間的關(guān)系，還應(yīng)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化． 與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和問題 1．錯位相減法的應(yīng)用 錯位相減法是一種重要的數(shù)列求和方法，等比數(shù)列前n項和公式的推導用的就是錯位相減法． 當一個數(shù)列由等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成時，可使用此法求數(shù)列的前n項和． 已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為， 令得，所以； 令得，所以． 由及，解得，所以 （2）由（1）知所以 所以 兩式相減，得 所以． 【名師點睛】在運用錯位相減法求數(shù)列前n項和時要注意以下四點： （1）乘數(shù)（式）的選擇； （2）對q的討論； （3）兩式相減后的未消項及相消項呈現(xiàn)的規(guī)律； （4）相消項中構(gòu)成數(shù)列的項數(shù)． 2．分組求和法的應(yīng)用 分組求和法適用于解決數(shù)列通項公式可以寫成的形式的數(shù)列求和問題，其中數(shù)列與是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可以直接求和的數(shù)列． 已知是等差數(shù)列，且，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列． （1）求數(shù)列和的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得， 所以， 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得． 所以，從而． （2）由（1）知，， 因為數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為， 所以數(shù)列的前n項和為． 【名師點睛】（1）本題采用了分組求和法，其實質(zhì)是利用加法結(jié)合律對一個求和式子進行重新組合，合并“同類項”后，再分別求和． （2）利用分組求和法解題的步驟： ①根據(jù)通項公式的特征準確拆分，將其分解為可以直接求和的一些數(shù)列的和； ②分組求和，分別求出各個數(shù)列的和； ③得出結(jié)論，對拆分后每個數(shù)列的和進行組合，解決原數(shù)列的求和問題． 利用等比數(shù)列的前n項和公式時忽略對公比的討論從而導致錯誤 在數(shù)列中，若，求的前n項和． 【錯解】由題易得， ． 【錯因分析】錯解在求時忽略了對公比是否等于1的討論，且默認是等比數(shù)列． 【正解】當時，，所以； 當時，，所以； 當時，． 綜上，． 【名師點睛】無論是求等比數(shù)列的前n項和，還是已知等比數(shù)列的前n項和求其他量，只要使用等比數(shù)列前n項和公式，就要對公比q是否為1作分類討論． 1．在等比數(shù)列中，，，則的前4項和為 A．81 B．120 C．168 D．192 2．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項和 A． B． C． D． 3．已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和 A． B． C． D． 4．已知數(shù)列滿足，，則的前10項和等于 A． B． C． D． 5．設(shè)是等比數(shù)列的前項和，，，則公比 A． B． C．或 D．或 6．已知等比數(shù)列的前項和為，，且，則 A． B． C． D． 7．已知等比數(shù)列中，，，則的前項和______________． 8．在等比數(shù)列中，，則______________． 9．已知為等比數(shù)列，，，則______________． 10．已知數(shù)列，若新數(shù)列，，，…，，…是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則______________． 11．已知數(shù)列的前項和為，． （1）求，； （2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列．  12．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d≠0，且成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和． 13．在等比數(shù)列中，，則 A．28 B．32 C．35 D．49 14．等比數(shù)列的前項和記為，若，則 A．7:9 B．1:3 C．5:7 D．3:5 15．在等比數(shù)列中，，前項和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于 A． B． C． D． 16．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則____________． 17．已知表示正項等比數(shù)列的前項和．若，，則的值是____________． 18．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)． （1）證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列； （2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為，求； 19．已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，滿足，，，． （1）求數(shù)列，的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．  20．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若，，對任意的正整數(shù)，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍． 21．（2017新課標全國Ⅱ理）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈 A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 22．（2018新課標全國Ⅰ理）記為數(shù)列的前項和，若，則_____________． 23．（2017江蘇）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項和為，已知，，則_____________． 24．（2018新課標全國Ⅲ文）等比數(shù)列中，，． （1）求的通項公式； （2）記為的前項和．若，求． 25．（2018北京文）設(shè)是等差數(shù)列，且，． （1）求的通項公式； （2）求．  26．（2017新課標全國Ⅰ文）記Sn為等比數(shù)列的前n項和，已知S2=2，S3=?6． （1）求的通項公式； （2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列． 27．（2017北京文）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，． （1）求的通項公式； （2）求和：．  28．（2017新課標全國Ⅱ文）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，． （1）若，求的通項公式； （2）若，求． 29．（2018天津文）設(shè)是等差數(shù)列，其前項和為；是等比數(shù)列，公比大于，其前項和為．已知，，，． （1）求和； （2）若，求正整數(shù)的值．  30．（2017山東文）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和Sn，已知，求數(shù)列的前n項和． 31．（2017天津理）已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，． （1）求和的通項公式； （2）求數(shù)列的前n項和．  32．（2018浙江）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項．數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為． （1）求的值； （2）求數(shù)列的通項公式．  1．【答案】B 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得． 又，所以等比數(shù)列的前4項和，故選B． 3．【答案】B 【解析】由于為等比數(shù)列，所以，又，所以，在等差數(shù)列中，，所以，數(shù)列的前項和，故選B． 4．【答案】C 【解析】，，是等比數(shù)列，公比為，首項為，．故選C． 5．【答案】C 【解析】，又解得或，故選C． 6．【答案】D 【解析】因為，所以，解得，則，，所以，故選D． 7．【答案】 【解析】因為，所以，又，所以，公比，所以，所以． 8．【答案】21 【解析】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知：成等比數(shù)列，因為所以，解得． 10．【答案】 【解析】依題意可得， 即，所以． 11．【答案】（1），；（2）證明見解析． 【解析】（1）由，得，所以． 又，所以，解得． （2）當時，，即， 又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列． 12．【答案】（1）＝9?3n；（2）． 【解析】（1）由題意得，即， 解得或d＝0（舍去）． ∴，得d＝?3． ∴＝＋（n?1）d＝6?3（n?1）＝9?3n，即＝9?3n． （2）∵＝，∴＝64，． ∴是以64為首項，為公比的等比數(shù)列， ∴． 13．【答案】A 【解析】因為是等比數(shù)列，所以每相鄰兩項的和也成等比數(shù)列，所以，，成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），故選A． 15．【答案】B 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比，則，由數(shù)列也是等比數(shù)列得是等比數(shù)列，所以，，為等比數(shù)列，所以，得，即，所以．故選B． 16．【答案】33 【解析】由題意可得公比，因為， 所以解得（舍去）或， 故． 18．【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）由題意得，即， 則是“平方遞推數(shù)列”． 對兩邊取對數(shù)得， 所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列． （2）由（1）知， 則 ． 19．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q， 則，解得， 故，． （2）由（1）知，， 故 ①， ②， ②－①得： ， 所以． 20．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為． 依題意，有，代入，得， 因此，即解得或 又數(shù)列單調(diào)遞增，則故． （2）因為， 所以 ①， ②， ①－②，得 ． 因為，所以對任意正整數(shù)恒成立， 所以對任意正整數(shù)恒成立，即恒成立． 因為，所以，故實數(shù)的取值范圍是． 21．【答案】B 【解析】設(shè)塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有，解得，即塔的頂層共有燈3盞，故選B． 【名師點睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后將經(jīng)過數(shù)學推理與計算得出的結(jié)果放回到實際問題中，進行檢驗，最終得出結(jié)論． 22．【答案】 【解析】根據(jù)可得，兩式相減可得，即，當時，，解得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以． 23．【答案】32 【解析】當時，顯然不符合題意； 當時，，解得，則． 【名師點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：①利用基本量，將多元問題簡化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確；②利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形．在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法． 24．【答案】（1）或；（2）． 25．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為， 因為，所以， 又，所以．所以． （2）由（1）知， 因為，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以， 所以． 26．【答案】（1）；（2），，，成等差數(shù)列，證明見解析． 【思路分析】（1）由等比數(shù)列通項公式解得，即可求解；（2）利用等差中項即可證明，，成等差數(shù)列． 【解析】（1）設(shè)的公比為．由題設(shè)可得 解得，，故的通項公式為． （2）由（1）可得． 由于， 故，，成等差數(shù)列． 27．【答案】（1）；（2）． 【思路分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進行求解；（2）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 因為，所以，解得，所以． （2）設(shè)等比數(shù)列的公比為． 因為，所以，解得，所以． 從而． 【名師點睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：①分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；②裂項相消法求和，一般適用于，等的形式；③錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；④倒序相加法求和，一般適用于首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和． 28．【答案】（1）；（2）當時，；當時，． 【思路分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式表示條件，得關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組得公比，代入等比數(shù)列通項公式即可；（2）由等比數(shù)列前三項的和求公比，分類討論，求公差，再根據(jù)等差數(shù)列前三項求和． 【解析】設(shè)的公差為，的公比為，則，． 由得 ①． （1）由得 ②， 聯(lián)立①和②解得（舍去）或，因此的通項公式為． （2）由，得，解得或． 當時，由①得，則．當時，由①得，則． 29．【答案】（1），；（2）． （2）由（1）可得， 由可得， 整理得，解得（負值舍去），所以的值為． 30．【答案】（1）；（2）． 【思路分析】（1）列出關(guān)于的方程組，解方程組求基本量；（2）用錯位相減法求和． 【解析】（1）設(shè)的公比為，由題意知：． 又，解得，，所以． （2）由題意知：， 又所以，令，則， 因此， 又， 兩式相減得， 所以． 31．【答案】（1），；（2）． 【思路分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列的首項和公差及等比數(shù)列的公比，即可寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前n項和． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為． 由已知，得， 而，所以． 又，解得，所以． 由，可得 ①， 由，可得 ②， 聯(lián)立①②，解得，，由此可得． 所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為． （2）設(shè)數(shù)列的前項和為， 由，，有， 故， ， 上述兩式相減，得 ， 即，所以數(shù)列的前項和為． 【名師點睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和的方法有倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法和分組求和法等，本題考查的是錯位相減法求和． 32．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由是的等差中項可得， 所以，解得． 由可得，因為，所以． （2）設(shè)，數(shù)列前n項和為． 由可得． 由（1）可知，所以， 故， ． 設(shè)， 則， 上述兩式相減可得， 所以， 又，所以．