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2 平拋運動
[學習目標] 1.知道什么是拋體運動，知道拋體運動是勻變速曲線運動.2.理解平拋運動及其運動規(guī)律，會用平拋運動的規(guī)律解決有關問題.3.了解斜上拋運動及其運動規(guī)律.4.掌握分析拋體運動的方法——運動的合成與分解.
一、拋體運動
1.定義：以一定的速度將物體拋出，物體只受重力作用的運動.
2.平拋運動：初速度沿水平方向的拋體運動.
3.平拋運動的特點
(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力作用.
4.平拋運動的性質：加速度為g的勻變速曲線運動.
二、平拋運動的速度和位移
1.平拋運動的速度
(1)水平方向：不受力，為勻速直線運動，vx＝v0.
(2)豎直方向：只受重力，為自由落體運動，vy＝gt.
(3)合速度：大小：v＝＝；方向：tanθ＝＝(θ是v與水平方向的夾角).
2.平拋運動的位移
(1)水平位移：x＝v0t.
(2)豎直位移：y＝gt2.
(3)軌跡：平拋運動的軌跡是一條拋物線.
三、一般的拋體運動
物體被拋出時的速度v0沿斜上方或斜下方時，物體做斜拋運動(設v0與水平方向夾角為θ).
(1)水平方向：物體做勻速直線運動，初速度vx0＝v0cosθ.
(2)豎直方向：物體做豎直上拋或豎直下拋運動，初速度vy0＝v0sinθ.如圖1所示.
圖1
1.判斷下列說法的正誤.
(1)拋體運動一定是曲線運動.( )
(2)拋體運動一定是勻變速運動.( √ )
(3)平拋運動的物體初速度越大，下落得越快.( )
(4)平拋運動物體的速度方向與水平方向的夾角越來越大，若足夠高，速度方向最終可能豎直向下.( )
(5)平拋運動的合位移的方向與合速度的方向一致.( )
(6)斜上拋運動的物體到達最高點時，速度為零.( )
2.在距地面高80m的低空有一小型飛機以30 m/s的速度水平飛行，假定從飛機上釋放一物體，g取10 m/s2，不計空氣阻力，那么物體落地時間是 s，它在下落過程中發(fā)生的水平位移是m；落地時的速度大小為m/s.
答案 4 120 50
解析 由h＝gt2，得：t＝，代入數(shù)據(jù)得：t＝4s
水平位移x＝v0t，代入數(shù)據(jù)得：
x＝304m＝120m
v0＝30m/s，vy＝＝40m/s
故v＝
代入數(shù)據(jù)得v＝50m/s.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的速度和位移的分解
一、平拋運動的理解
如圖2所示，一人正練習水平投擲飛鏢，請思考：(不計空氣阻力)
圖2
(1)飛鏢投出后，其加速度的大小和方向是否變化？
(2)飛鏢的運動是勻變速運動，還是變加速運動？
答案 (1)加速度為重力加速度g，大小和方向均不變.
(2)勻變速運動.
1.平拋運動的特點
(1)速度特點：平拋運動的速度大小和方向都不斷變化，故它是變速運動.
(2)軌跡特點：平拋運動的運動軌跡是曲線，故它是曲線運動.
(3)加速度特點：平拋運動的加速度為自由落體加速度.
2.平拋運動的速度變化
如圖3所示，由Δv＝gΔt知，任意兩個相等的時間間隔內速度的變化量相同，方向豎直向下.
圖3
3.平拋運動的軌跡：由x＝v0t，y＝gt2得y＝x2，為拋物線方程，其運動軌跡為拋物線.
例1 關于平拋運動，下列說法中正確的是( )
A.平拋運動是一種變加速運動
B.做平拋運動的物體加速度隨時間逐漸增大
C.做平拋運動的物體每秒內速度增量相等
D.做平拋運動的物體每秒內位移增量相等
答案 C
解析 平拋運動是勻變速曲線運動，其加速度為重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt時間內速度的改變量為Δv＝gΔt，因此可知每秒內速度增量大小相等、方向相同，選項A、B錯誤，C正確；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒內水平位移增量相等，而豎直方向的位移h＝gt2，每秒內豎直位移增量不相等，選項D錯誤.
【考點】對平拋(和一般拋體)運動的理解
【題點】平拋運動的性質
二、平拋運動規(guī)律的應用
如圖4所示為小球水平拋出后，在空中做平拋運動的運動軌跡.(自由落體加速度為g，初速度為v0)
圖4
(1)小球做平拋運動，運動軌跡是曲線，為了便于研究，我們應如何建立坐標系？
(2)以拋出時刻為計時起點，求t時刻小球的速度大小和方向.
(3)以拋出時刻為計時起點，求t時刻小球的位移大小和方向.
答案 (1)一般以初速度v0的方向為x軸的正方向，豎直向下的方向為y軸的正方向，以小球被拋出的位置為坐標原點建立平面直角坐標系.
(2)如圖，初速度為v0的平拋運動，經過時間t后，其水平分速度vx＝v0，豎直分速度vy＝gt.根據(jù)運動的合成規(guī)律可知，小球在這個時刻的速度(即合速度)大小v＝＝，設這個時刻小球的速度與水平方向的夾角為θ，則有tanθ＝＝.
(3)如圖，水平方向：x＝v0t
豎直方向：y＝gt2
合位移：
l＝＝
合位移方向：tanα＝＝(α表示合位移方向與水平方向之間的夾角).
1.平拋運動的研究方法
(1)把平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動.
(2)分別運用兩個分運動的運動規(guī)律去求分速度、分位移等，再合成得到平拋運動的速度、位移等.
2.平拋運動的規(guī)律
(1)平拋運動的時間：t＝，只由高度決定，與初速度無關.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同決定.
(3)落地速度：v＝＝，與水平方向的夾角為θ，tanθ＝＝，落地速度由初速度和高度共同決定.
3.平拋運動的推論
(1)如圖5所示，平拋運動的速度偏向角為θ，則tanθ＝＝.平拋運動的位移偏向角為α，則tanα＝＝＝＝tanθ.
圖5
可見位移偏向角與速度偏向角的正切值的比值為1∶2.
(2)如圖6所示，從O點拋出的物體經時間t到達P點，速度的反向延長線交OB于A點.
圖6
則OB＝v0t，AB＝＝gt2＝gt2＝v0t.
可見AB＝OB，所以A為OB的中點.
例2 某卡車在公路上與路旁障礙物相撞.處理事故的警察在泥地中發(fā)現(xiàn)了一個小的金屬物體，經判斷，它是相撞瞬間車頂上一個松脫的零件被拋出而陷在泥里的.為了判斷卡車是否超速，需要測量的量是(空氣阻力不計)( )
A.車的長度，車的重量
B.車的高度，車的重量
C.車的長度，零件脫落點與陷落點的水平距離
D.車的高度，零件脫落點與陷落點的水平距離
答案 D
解析 根據(jù)平拋運動知識可知h＝gt2，x＝vt，車頂上的零件平拋出去，因此只要知道車頂?shù)降孛娴母叨?，即可求出時間.測量零件脫落點與陷落點的水平距離即可求出相撞時的瞬時速度，答案為D.
例3 用30 m/s的初速度水平拋出一個物體，經過一段時間后，物體的速度方向與水平方向成30角，不計空氣阻力，g取10 m/s2.求：
(1)此時物體相對于拋出點的水平位移大小和豎直位移大??；
(2)再經過多長時間，物體的速度方向與水平方向的夾角為60？(物體的拋出點足夠高)
答案 (1)30m 15m (2)2s
解析 (1)設物體在A點時速度方向與水平方向成30角，如圖所示，tan30＝＝，tA＝＝s
所以在此過程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30m
豎直方向的位移yA＝gtA2＝15m.
(2)設物體在B點時速度方向與水平方向成60角，總運動時間為tB，則tB＝＝3s
所以物體從A點運動到B點所經歷的時間Δt＝tB－tA＝2s.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的速度和位移的分解
三、平拋運動的臨界問題
例4 如圖7所示，排球場的長度為18m，其網(wǎng)的高度為2m.運動員站在離網(wǎng)3m遠的線上，正對網(wǎng)前豎直跳起把球垂直于網(wǎng)水平擊出.設擊球點的高度為2.5m，問：球被水平擊出時的速度v在什么范圍內才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？(不計空氣阻力，g取10m/s2)
圖7
答案 見解析
解析 如圖所示，排球恰不觸網(wǎng)時其運動軌跡為Ⅰ，排球恰不出界時其軌跡為Ⅱ，根據(jù)平拋運動規(guī)律x＝v0t和y＝gt2可得，當排球恰不觸網(wǎng)時有
x1＝3m，x1＝v1t1①
h1＝2.5m－2m＝0.5m，h1＝gt12②
由①②可得v1≈9.5m/s.
當排球恰不出界時有：
x2＝3m＋9m＝12m，x2＝v2t2③
h2＝2.5m，h2＝gt22④
由③④可得v2≈17m/s.
所以球既不觸網(wǎng)也不出界的水平擊出速度范圍是：
9.5m/s
a乙
C.v甲>v乙，t甲v乙，t甲＝t乙
答案 D
解析 兩球均做平拋運動，則加速度均為g；拋出的高度相同，根據(jù)t＝可知，飛行的時間相同；因甲出界，乙落在界內，可知甲的水平位移較大，根據(jù)v＝可知，甲的初速度比乙大，故選D.
【考點】平拋運動的時間、速度和加速度
【題點】平拋運動的時間、速度和加速度
4.(平拋運動規(guī)律的應用)如圖11所示是網(wǎng)球發(fā)球機，某次室內訓練時將發(fā)球機放在距地面一定的高度，然后向豎直墻面發(fā)射網(wǎng)球.假定網(wǎng)球均水平射出，某兩次射出的網(wǎng)球碰到墻面時速度與水平方向夾角分別為30和60，若不考慮網(wǎng)球在空中受到的阻力，則( )
圖11
A.兩次發(fā)射的初速度大小之比為3∶1
B.碰到墻面前在空中運動時間之比為1∶
C.下落高度之比為1∶
D.碰到墻面時速度大小之比為3∶1
答案 B
解析 設網(wǎng)球碰到墻面時速度與水平方向的夾角為θ，tanθ＝＝①
x＝v0t②
由①②得：tanθ＝，故＝，＝，B正確.＝＝，A錯誤.＝＝＝，C錯誤.v＝，故＝＝＝，D錯誤.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的速度和位移的分解
5.(平拋運動的臨界問題)如圖12所示，M、N是兩塊擋板，擋板M高h′＝10m，其上邊緣與擋板N的下邊緣在同一水平面.從高h＝15m的A點以速度v0水平拋出一小球(可視為質點)，A點與兩擋板的水平距離分別為d1＝10m，d2＝20m.N板的上邊緣高于A點，若能使小球直接進入擋板M的右邊區(qū)域，則小球水平拋出的初速度v0的大小是下列給出數(shù)據(jù)中的哪個(g取10m/s2，空氣阻力不計)( )
圖12
A.v0＝8 m/s B.v0＝4 m/s
C.v0＝15 m/s D.v0＝21 m/s
答案 C
解析 要讓小球落到擋板M的右邊區(qū)域，下落的高度為兩高度之差，由t＝得t＝1s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范圍為10m/s≤v0≤20 m/s，故選C.
【考點】平拋運動中的臨界問題
【題點】平拋運動雙邊界臨界位移問題
一、選擇題
考點一 平拋運動的理解
1.在平坦的壘球運動場上，擊球手揮動球棒將壘球水平擊出，壘球飛行一段時間后落地.若不計空氣阻力，則( )
A.壘球落地時瞬時速度的大小僅由初速度決定
B.壘球落地時瞬時速度的方向僅由擊球點離地面的高度決定
C.壘球在空中運動的水平位移僅由初速度決定
D.壘球在空中運動的時間僅由擊球點離地面的高度決定
答案 D
解析 壘球擊出后做平拋運動，設壘球在空中運動時間為t，由h＝gt2得t＝，故t僅由高度h決定，選項D正確；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同決定，選項C錯誤；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同決定，選項A錯誤；設落地速度v與水平方向的夾角為θ，則tanθ＝，故選項B錯誤.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的時間、速度和位移
2.斜拋運動與平拋運動相比較，下列說法正確的是( )
A.斜拋運動是曲線運動，它的速度方向不斷改變，不可能是勻變速運動
B.都是加速度逐漸增大的曲線運動
C.平拋運動是速度一直增大的運動，而斜拋運動是速度一直減小的運動
D.都是任意兩段相等時間內的速度變化量相等的運動
答案 D
解析 斜拋運動和平拋運動都是只受重力的作用，加速度恒為g，是勻變速曲線運動，A、B錯；斜拋運動的速度是增大還是減小，要看速度與重力的夾角，成銳角，速度增大，成鈍角，速度減小，C錯；由Δv＝gΔt知，D對.
【考點】對拋體運動的理解和規(guī)律應用
【題點】對拋體運動的理解
3.某彈射管兩次彈出的小球速度相等.該彈射器在沿光滑豎直軌道自由下落過程中始終保持水平，先后彈出兩只小球.忽略空氣阻力，兩只小球落到水平地面的( )
A.時刻相同，地點相同 B.時刻相同，地點不同
C.時刻不同，地點相同 D.時刻不同，地點不同
答案 B
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的時間、位移
考點二 平拋運動規(guī)律的應用
4.羽毛球運動員林丹曾在某綜藝節(jié)目中表演羽毛球定點擊鼓，如圖1是他表演時的羽毛球場地示意圖.圖中甲、乙兩鼓等高，丙、丁兩鼓較低但也等高.若林丹各次發(fā)球時羽毛球飛出位置不變且均做平拋運動，則( )
圖1
A.擊中甲、乙的兩球初速度v甲＝v乙
B.擊中甲、乙的兩球初速度v甲>v乙
C.假設某次發(fā)球能夠擊中甲鼓，用相同速度發(fā)球可能擊中丁鼓
D.擊中四鼓的羽毛球中，擊中丙鼓的初速度最大
答案 B
解析 甲、乙距飛出點的高度相同，擊中甲、乙的羽毛球的運動時間相同，由于水平位移x甲>x乙，所以v甲>v乙，B正確.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的速度、時間和位移
5.某同學玩飛鏢游戲，先后將兩只飛鏢a、b由同一位置水平投出，已知飛鏢投出的初速度va＞vb，不計空氣阻力，則兩支飛鏢插在豎直靶上的狀態(tài)(側視圖)可能是( )
答案 A
解析 由平拋運動的規(guī)律x＝v0t，h＝gt2，速度大的運動時間少，h較小，又tan θ＝＝＝，x相同，運動時間少的θ小，即插在豎直靶上飛鏢與水平方向夾角小，A正確.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的時間、速度和位移
6.在抗震救災中，一架飛機水平勻速飛行.從飛機上每隔1s釋放1包物品，先后共釋放4包(都未落地)，若不計空氣阻力，從地面上觀察4包物品( )
A.在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是等間距的
B.在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是不等間距的
C.在空中任何時刻總在飛機正下方，排成豎直的直線，它們的落地點是等間距的
D.在空中任何時刻總在飛機正下方，排成豎直的直線，它們的落地點是不等間距的
答案 C
解析 因為不計空氣阻力，物品在水平方向將保持和飛機一致的勻速運動，因而4包物品在空中任何時刻總在飛機正下方，排成豎直的直線；因為飛機高度一致，物品做平拋運動的時間一致，水平速度一致，間隔時間一致，所以它們的落地點是等間距的.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的速度、時間和位移
7.將一小球從距地面h高處，以初速度v0水平拋出，小球落地時速度為v，它的豎直分量為vy，重力加速度為g，不計空氣阻力，則下列各式中不能表示小球在空中飛行時間的是( )
A. B.
C. D.
答案 B
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的時間
8.(多選)物體以初速度v0水平拋出，若不計空氣阻力，重力加速度為g，則當其豎直分位移與水平分位移相等時，以下說法中正確的是( )
A.豎直分速度等于水平分速度
B.瞬時速度大小為v0
C.運動的時間為
D.運動的位移為
答案 BCD
解析 因為平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，由豎直分位移和水平分位移相等可知gt2＝v0t，解得t＝，又由于vy＝gt＝2v0，所以v＝＝v0，s＝＝v0t＝，故正確選項為B、C、D.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的速度和位移的分解
9.如圖2所示，從同一條豎直線上兩個不同點分別向右平拋兩個小球P和Q，初速度分別為v1、v2，結果它們同時落到水平面上的M點處(不考慮空氣阻力).下列說法中正確的是( )
圖2
A.一定是P先拋出的，并且v1＝v2
B.一定是P先拋出的，并且v1＜v2
C.一定是Q先拋出的，并且v1＝v2
D.一定是Q先拋出的，并且v1＞v2
答案 B
解析 兩小球被拋出后均做平拋運動，根據(jù)平拋運動規(guī)律可知，在豎直方向上有：h＝gt2，解得小球運動的時間為：t＝，由題圖可知小球P的下落高度h1大于小球Q的下落高度h2，因此兩球的運動時間有：t1＞t2，因兩球同時落地，所以小球P先拋出，故選項C、D錯誤；在水平方向上有：x＝vt，由題圖可知：x1＝x2，所以v1＜v2，故選項A錯誤，選項B正確.
【考點】平拋運動的時間、速度和位移
【題點】平拋運動的時間和速度
考點三 平拋運動的臨界問題
10.(多選)如圖3所示，一個電影替身演員準備跑過一個屋頂，然后水平地跳躍并離開屋頂，在下一棟建筑物的屋頂上著地.如果他在屋頂跑動的最大速度是4.5m/s，那么下列關于他能否安全跳過去的說法正確的是(g取 10 m/s2，不計空氣阻力)( )
圖3
A.他安全跳過去是可能的
B.他安全跳過去是不可能的
C.如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應不小于6.2m/s
D.如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應小于4.5m/s
答案 BC
解析 由h＝gt2，x＝v0t
將h＝5m，x＝6.2m代入解得：
安全跳過去的最小水平速度v0＝6.2m/s，
選項B、C正確.
【考點】平拋運動的臨界問題
【題點】平拋運動的臨界問題
11.一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖4所示.水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h.發(fā)射機安裝于臺面左側邊緣的中點，能以不同速率向右側不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g.若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側臺面上，則v的最大取值范圍是( )
圖4
A.
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