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3.4.2 基本不等式的應用
學習目標 1.熟練掌握基本不等式及變形的應用.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.3.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題．
知識點 用基本不等式求最值
思考 因為x2＋1≥2x，當且僅當x＝1時取等號．所以當x＝1時，(x2＋1)min＝2.
以上說法對嗎？為什么？
答案 錯．顯然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，當且僅當x＝1時取等號．僅說明曲線y＝x2＋1恒在直線y＝2x上方，僅在x＝1時有公共點．
使用基本不等式求最值，不等式兩端必須有一端是定值．如果都不是定值，可能出錯．
梳理 基本不等式求最值的條件：
(1)x，y必須是非負數(shù)；
(2)求積xy的最大值時，應看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時，應看積xy是否為定值；
(3)等號成立的條件是否滿足．
1．當a>0，b>0時，有≤.(√)
2．由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值為4.()
類型一 基本不等式與最值
例1 (1)若x>0，求函數(shù)y＝x＋的最小值，并求此時x的值；
(2)設0
2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
解 (1)當x>0時，x＋≥2＝4，
當且僅當x＝，即x2＝4，x＝2時，取等號．
∴函數(shù)y＝x＋(x>0)在x＝2處取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
當且僅當2x＝3－2x，即x＝時，等號成立．
∵∈，
∴函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
當且僅當x－2＝，
即x＝4時，等號成立．∴x＋的最小值為6.
(4)方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥2＋10＝6＋10＝16，
當且僅當＝，＋＝1，
即x＝4，y＝12時，上式取等號．
故當x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16.
方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，
當且僅當x－1＝y(tǒng)－9＝3，即x＝4，y＝12時，上式取等號，
故當x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16.
反思與感悟 在利用基本不等式求最值時要注意三點：一是各項均為非負數(shù)；二是尋求定值，求和式最小值時應使積為定值，求積式最大值時應使和為定值(恰當變形，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備．
跟蹤訓練1 (1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)設x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
解 (1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
當且僅當3x＝，即x＝2時，取等號，
∴f(x)的最小值為12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
＝－＋3≤－2＋3
＝－1，
當且僅當＝3－x，即x＝1時，取等號．
∴f(x)的最大值為－1.
(3)方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
當且僅當x－8＝，即x＝12時，等號成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18.
當且僅當＝，即x＝2y＝12時，等號成立．
∴x＋y的最小值是18.
類型二 基本不等式在實際問題中的應用
命題角度1 幾何問題的最值
例2 (1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
解 (1)設矩形菜園的長為xm，寬為ym，
則xy＝100，籬笆的長為2(x＋y) m.
由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.
當且僅當x＝y(tǒng)＝10時，等號成立．
所以這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短籬笆為40m.
(2)設矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜園的面積為xym2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，等號成立．
所以這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積為81m2.
反思與感悟 利用基本不等式解決實際問題時，一般是先建立關于目標量的函數(shù)關系，再利用基本不等式求解目標函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件．
跟蹤訓練2 以斜邊為2的直角三角形的斜邊所在的直線為軸旋轉一周得一幾何體，求該幾何體體積的最大值，并求此時幾何體的表面積．
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
解 如圖，設Rt△ABC的斜邊AB＝2，AC＝b，BC＝a，CD為斜邊上的高，則CD＝＝，且a2＋b2＝4.
則以AB所在的直線為軸旋轉一周所得的幾何體的體積為V＝πCD2AD＋πCD2DB
＝πCD2AB＝π22＝(ab)2.
由a2＋b2＝4與a2＋b2≥2ab得
ab≤2，當且僅當a＝b＝時，取“＝”．
所以V＝(ab)2≤22＝.
即當a＝b＝時，Vmax＝.此時該幾何體的表面積為
S＝πCDAC＋πCDBC＝πCD(AC＋BC)
＝π(＋)＝2π.
即幾何體的表面積為2π.
命題角度2 生活中的最優(yōu)化問題
例3 某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元．求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
解 設該廠每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸．
由題意可知，面粉的保管及其他費用為
3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋61]＝9x(x＋1)．
設平均每天所支付的總費用為y元，
則y＝[9x(x＋1)＋900]＋61800
＝9x＋＋10809≥2＋10809＝10989(元)，
當且僅當9x＝，即x＝10時，等號成立．
所以該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少．
引申探究
若受車輛限制，該廠至少15天才能去購買一次面粉，則該廠應多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的費用最少？
解 設x1，x2∈[15，＋∞)，且x12得，f(x)＝＝
＝≥1.
當且僅當x－2＝，即x＝3時等號成立，
∴f(x)min＝1.
3．將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，則直角三角形周長的最小值為______m.
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
答案 4＋2
解析 設兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋
＝4＋2
當且僅當a＝b且ab＝4，即a＝b＝2時，取等號，
∴周長最小值為4＋2.
4．設a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 由題意知3a3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
因為a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
當且僅當a＝b＝時，等號成立．
1．用基本不等式求最值：
(1)利用基本不等式，通過恒等變形，以及配湊，使得“和”或“積”為定值，從而求得函數(shù)最大值或最小值．這種方法在應用的過程中要把握下列三個條件：
①“一正”——各項為正數(shù)；②“二定”——“和”或“積”為定值；③“三相等”——等號一定能取到．這三個條件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件，解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)建應用基本不等式的條件．
(3)在求最值的一些問題中，有時看起來可以運用基本不等式求最值，但由于其中的等號取不到，所以運用基本不等式得到的結果往往是錯誤的，這時通?？梢越柚瘮?shù)y＝x＋(p>0)的單調性求得函數(shù)的最值．
2．求解應用題的方法與步驟：
(1)審題；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
一、填空題
1．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，則lgxlgy的最大值是________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ∵x>1，y>1，
∴l(xiāng)gx>0，lgy>0，lgxlgy≤2＝4，
當且僅當lgx＝lgy＝2，即x＝y(tǒng)＝100時取等號．
2．已知點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，則2x＋4y的最小值為________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ∵點P(x，y)在直線AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2＝4.
當且僅當2x＝4y，即x＝，y＝時，等號成立．
3．函數(shù)y＝log2(x>1)的最小值為______．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 3
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8，
當且僅當x－1＝，即x＝2時，等號成立．
∴l(xiāng)og2≥3，∴ymin＝3.
4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是______．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案
解析 ∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋＋≥＋2＝
，
故y＝＋的最小值為.
5．若xy是正數(shù)，則2＋2的最小值是____．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
當且僅當x＝y(tǒng)＝或x＝y(tǒng)＝－時，取等號．
6．已知直線ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)經(jīng)過圓C：x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則＋的最小值是________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 9
解析 將圓C：x2＋y2－2y－5＝0化成標準方程，
得x2＋(y－1)2＝6，所以圓心為C(0,1)．
因為直線ax＋by＋c－1＝0經(jīng)過圓心C，
所以a0＋b1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.
因為b>0，c>0，所以＋≥2＝4，
當且僅當＝時，等號成立．
由此可得b＝2c且b＋c＝1，
即b＝，c＝時，＋取得最小值9.
7．周長為＋1的直角三角形面積的最大值為______．
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
答案
解析 設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為a，b，
則＋1＝a＋b＋≥2＋，
解得ab≤，當且僅當a＝b＝時，取等號，
所以直角三角形的面積S＝ab≤，
即S的最大值為.
8．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________.
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
答案 20
解析 總運費與總存儲費用之和
f(x)＝4x＋4＝4x＋≥2＝160，
當且僅當4x＝，即x＝20時取等號．
9．設02>0，
∴y＝≤＝＝4，
當且僅當3x＝8－3x，即x＝時，取等號．
∴當x＝時，y＝有最大值4.
10．設x>－1，則函數(shù)y＝的最小值是________．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
設x＋1＝t>0，則x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
當且僅當t＝，即t＝2時取等號，此時x＝1.
∴當x＝1時，函數(shù)y＝取得最小值9.
二、解答題
11．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集為{x|x>4或x<1}．
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)若00，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝時，等號成立，
∴f(x)的最小值為9.
12．某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層，每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？每平方米的平均綜合費用最小值是多少？
(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
解 設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，
依題意得f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3000(x≥12，x∈N*)，
f(x)＝50x＋＋3000
≥2＋3000＝5000(元)．
當且僅當50x＝，即x＝20時，上式取等號，
所以當x＝20時，f(x)取得最小值5000元．
所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費用的最小值為5000元．
13．為保護環(huán)境，綠色出行，某高校今年年初成立自行車租賃公司，初期投入36萬元，建成后每年收入25萬元，該公司第n年需要付出的維修費用記作an萬元，已知{an}為等差數(shù)列，相關信息如圖所示．
(1)設該公司前n年總盈利為y萬元，試把y表示成n的函數(shù)，并求出y的最大值；(總盈利即n年總收入減去成本及總維修費用)
(2)該公司經(jīng)過幾年經(jīng)營后，年平均盈利最大，并求出最大值．
考點 基本不等式的實際應用
題點 基本不等式的實際應用
解 (1)由題意知，每年的維修費用是以6為首項，2為公差的等差數(shù)列，則an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N*)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36
＝－(n－10)2＋64，
當n＝10時，y的最大值為64萬元．
(2)年平均盈利為＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2＋20＝8(當且僅當n＝，即n＝6時，取“＝”)．
故該公司經(jīng)過6年經(jīng)營后，年平均盈利最大，為8萬元．
三、探究與拓展
14．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是______．
考點 基本不等式求最值
題點 利用基本不等式求最值
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，當且僅當a＝b＝1時，等號同時成立．
15．若關于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，則對任意實常數(shù)k,2________M．(填∈，?)
考點 基本不等式中的參數(shù)問題
題點 基本不等式中的參數(shù)問題
答案 ∈
解析 M＝.
當k∈R時，＝
＝＝(k2＋1)＋－2
≥2－2＝2－2>2(當且僅當k2＝－1時，取等號)．∴2∈M.
2018-2019高中數(shù)學 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的應用學案 蘇教版必修5.docx
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