2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專(zhuān)題46 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.doc

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專(zhuān)題46 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 高考對(duì)圓的方程的考查，一般是以小題的形式出現(xiàn)，也有與向量、圓錐曲線(xiàn)等相結(jié)合的問(wèn)題．縱觀(guān)近幾年的高考試題，主要考查以下幾個(gè)方面：一是考查圓的方程，要求利用待定系數(shù)法求出圓的方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題；二是考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，高考要求能熟練地解決圓的切線(xiàn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題是高考熱點(diǎn)，其中利用由圓心距、半徑與半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，是求弦長(zhǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵．三是判斷圓與圓的位置關(guān)系，確定公共弦所在的直線(xiàn)方程.近幾年多與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題綜合考查.本專(zhuān)題通過(guò)例題說(shuō)明關(guān)于直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的解法與技巧. 1、定義：在平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓 2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 3、圓的一般方程：圓方程為 （1）的系數(shù)相同 （2）方程中無(wú)項(xiàng) （3）對(duì)于的取值要求： 4、直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的判定：相切，相交，相離，位置關(guān)系的判定有兩種方式： （1）幾何性質(zhì)：通過(guò)判斷圓心到直線(xiàn)距離與半徑的大小得到直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，設(shè)圓的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則： ① 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相交 ② 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相切 ③ 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與圓相離 （2）代數(shù)性質(zhì)：可通過(guò)判斷直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到直線(xiàn)與圓位置關(guān)系，即聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，再判斷解的個(gè)數(shù).設(shè)直線(xiàn)：，圓：，則： 消去可得關(guān)于的一元二次方程，考慮其判別式的符號(hào) ① ，方程組有兩組解，所以直線(xiàn)與圓相交 ② ，方程組有一組解，所以直線(xiàn)與圓相切 ③ ，方程組無(wú)解，所以直線(xiàn)與圓相離 5、直線(xiàn)與圓相交： 弦長(zhǎng)計(jì)算公式： 6、直線(xiàn)與圓相切： （1）如何求得切線(xiàn)方程：主要依據(jù)兩條性質(zhì)：一是切點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)與切線(xiàn)垂直；二是圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑 （2）圓上點(diǎn)的切線(xiàn)結(jié)論： ① 圓上點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 ② 圓上點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 （3）過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)方程（兩條切線(xiàn)）：可采取上例方法二的做法，先設(shè)出直線(xiàn)方程，再利用圓心到切線(xiàn)距離等于半徑求得斜率，從而得到方程.（要注意判斷斜率不存在的直線(xiàn)是否為切線(xiàn)） 7、與圓相關(guān)的最值問(wèn)題 （1）已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為（即連結(jié)并延長(zhǎng)，為與圓的交點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn). （2）已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的所有弦中最長(zhǎng)的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦. （3）已知圓和圓外的一條直線(xiàn)，則圓上點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為，距離的最大值為（過(guò)圓心作的垂線(xiàn)，垂足為，與圓交于，其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交圓于 （4）已知圓和圓外的一條直線(xiàn)，則過(guò)直線(xiàn)上的點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為. 8、圓與圓的位置關(guān)系：外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含 （1）可通過(guò)圓心距離與半徑的關(guān)系判定：設(shè)圓的半徑為， ① 外離 ② 外切 ③ 相交 ④ 內(nèi)切 ⑤ 內(nèi)含 （2）可通過(guò)聯(lián)立圓的方程組，從而由方程組解的個(gè)數(shù)判定兩圓位置關(guān)系.但只能判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù).例如方程組的解只有一組時(shí)，只能說(shuō)明兩圓有一個(gè)公共點(diǎn)，但是外切還是內(nèi)切無(wú)法直接判定 【經(jīng)典例題】 例1.【2016高考山東】已知圓M：截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是（ ） （A）內(nèi)切（B）相交（C）外切（D）相離 【答案】B 【解析】 試題分析： 由（）得（），所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是，所以，解得，圓的圓心為，半徑為，所以，，，因?yàn)椋詧A與圓相交，故選B． 例2.【2018屆湖北省華師一附中調(diào)研】已知圓C： （）及直線(xiàn)： ，當(dāng)直線(xiàn)被C截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，則= （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，得，解得，又因?yàn)?，所以；故選C. 例3.【2018屆黑龍江省海林市朝鮮中學(xué)高考綜合卷（一）】已知兩點(diǎn)， （），若曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 例4.已知直線(xiàn)上總存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)作的圓： 的兩條切線(xiàn)互相垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B．連接AC，BC，MC，由及知，四邊形MACB為正方形，故若直線(xiàn)l上總存在點(diǎn)M使得過(guò)點(diǎn)M的兩條切線(xiàn)互相垂直，只需圓心到直線(xiàn)的距離，即∴，故選C． 例5.過(guò)點(diǎn)作圓的弦，其中最短的弦長(zhǎng)為 . 【答案】. 點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是解析幾何的重要特征，解題過(guò)程中要通過(guò)分析題目的條件和結(jié)論，靈活的加以轉(zhuǎn)化. 例6．【2016高考新課標(biāo)3】已知直線(xiàn)：與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別做的垂線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，若，則__________________. 【答案】4 【解析】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，則由，解得，代入直線(xiàn)的方程，得，所以直線(xiàn)的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，． 例7．已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程及公共弦長(zhǎng)． 【答案】,. 【解析】將兩圓方程相減得相交弦的方程為：. 將配方得： ，圓心到公共弦的距離為.所以弦長(zhǎng)為. 例8. 求過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程 【答案】，. 點(diǎn)睛：求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線(xiàn)方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條，此時(shí)應(yīng)注意斜率不存在的切線(xiàn)． 例9. 已知點(diǎn)及圓：. ①若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線(xiàn)的方程； ②設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以線(xiàn)段為直徑的圓的方程； ③設(shè)直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】①或；②；③不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦. 【解析】①設(shè)直線(xiàn)的斜率為（存在）， 則方程為. 即 又圓C的圓心為，半徑， 由 ， 解得. 所以直線(xiàn)方程為， 即 . 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿(mǎn)足條件 ②由于，而弦心距， 所以. 即，解得． 則實(shí)數(shù)的取值范圍是. 設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于垂直平分弦，故圓心必在上． 所以的斜率，而，所以． 由于，故不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦． 例10. 已知半徑為2，圓心在直線(xiàn)上的圓C. （Ⅰ）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,2）且與軸相切時(shí)，求圓C的方程； （Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圓C上存在點(diǎn)Q，使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）因?yàn)樵脑谥本€(xiàn)上故可設(shè)原心為，則可根據(jù)圓心和圓上的點(diǎn)的距離為半徑列出方程。又因?yàn)榇藞A與軸相切則，解方程組可得。（Ⅱ）設(shè)，根據(jù)可得，即點(diǎn)在直線(xiàn)上。又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以直線(xiàn)與圓必有交點(diǎn)。所以圓心到直線(xiàn)的距離小于等于半徑。 試題解析：解: （Ⅰ）∵圓心在直線(xiàn)上， ∴可設(shè)圓的方程為， 其圓心坐標(biāo)為（； 2分 ∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,2）且與軸相切， ∴有 解得， 所以圓的橫坐標(biāo)的取值范圍是 【精選精練】 1.已知條件：，條件：直線(xiàn)與圓相切，則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【答案】C 【解析】由，可得直線(xiàn)為.所以圓心（0,0）到該直線(xiàn)的距離等于半徑，所以直線(xiàn)與圓相切.所充分性成立.當(dāng)直線(xiàn)與圓相切，可解得.所以必要性成立.綜上是的充要條件. 2.已知圓與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值可以為（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即，由題意，圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)合選項(xiàng)，可得D正確，故選D. 3.已知圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 4.若直線(xiàn)與圓相切，且為銳角，則這條直線(xiàn)的斜率是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意：，所以， 因?yàn)榍覟殇J角，所以， 所以直線(xiàn)的斜率是，故選A． 5.已知圓與直線(xiàn)相切于第三象限，則的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知有圓心 到直線(xiàn)的距離為1,所以有 ,當(dāng) 時(shí),圓心為 在第一象限,這時(shí)切點(diǎn)在第一象限,不符合;當(dāng)時(shí), 圓心為 在第三象限,這時(shí)切點(diǎn)也在第三象限,符合,所以.選B. 6.【2018屆安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校聯(lián)考】設(shè)直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作軸的垂線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn).若線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，則（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 7.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可，所以，故選B. 8.已知點(diǎn)， ， 在圓上運(yùn)動(dòng)，且.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意知AC是圓的直徑，所以O(shè)是AC中點(diǎn)，故，PO的長(zhǎng)為5，所以,顯然當(dāng)B在PO上時(shí)， 有最小值，當(dāng)B在PO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， 有最大值，故選C． 9.過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)： 與圓： 相切于點(diǎn)，則_ _． 【答案】4 【解析】直線(xiàn)： 過(guò)定點(diǎn)， 的圓心，半徑為：3；定點(diǎn)與圓心的距離為： ．過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)： 與圓： 相切于點(diǎn)，則． 10.【2018屆江蘇省泰州中學(xué)月考】知?jiǎng)訄A與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，圓被軸所截得的弦長(zhǎng)為，則滿(mǎn)足條件的所有圓的半徑之積是__________． 【答案】 11. 已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓為. （1）求圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線(xiàn)，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）（2）存在直線(xiàn)和 【解析】試題分析：（1）將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，進(jìn)而求出圓的方程；（2）先由條件判定四邊形為矩形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定兩直線(xiàn)垂直，利用平面向量是數(shù)量積為0進(jìn)行求解. 解得： ， 所以圓的方程為. （2）由，所以四邊形為矩形，所以. 要使，必須使，即： . ①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可得直線(xiàn)的方程為，與圓 交于兩點(diǎn)， . 因?yàn)?，所以，所以?dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)滿(mǎn)足條件. ②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為. 設(shè) 由得： .由于點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以恒成立， ， ， ， 要使，必須使，即， 也就是： 整理得： 解得： ，所以直線(xiàn)的方程為 存在直線(xiàn)和，它們與圓交兩點(diǎn)，且四邊形對(duì)角線(xiàn)相等. 12. 已知定點(diǎn)，圓C： ， （1）過(guò)點(diǎn)向圓C引切線(xiàn)l，求切線(xiàn)l的方程； （2）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn) 交圓C于P,Q，且，求直線(xiàn)的斜率k； （3）定點(diǎn)M,N在直線(xiàn) 上，對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)R都滿(mǎn)足，試求M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】（1）x＝2或（2）（3）． 【解析】解：(1)①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，易知x＝2符合題意； ②當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x－2)． 即kx－y－2k＝0. 若直線(xiàn)l與圓C相切，則有，解得k＝， ∴直線(xiàn)l： 故直線(xiàn)l的方程為x＝2或 （2）設(shè)，由 知點(diǎn)P是AQ的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 . 又 得 ， ⑤ 由④、⑤得 ，⑥ 由于關(guān)于 的方程⑥有無(wú)數(shù)組解，所以， 解得 所以滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)有兩組