陜西省周至縣高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1.3 反證法教案 北師大版選修2-2.doc

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1.3“反證法” 1．教材內容及地位 本節(jié)課是北師大版《數(shù)學》（選修2-2）第一章“推理與證明”的第3節(jié)內容《反證法》的第一課時，學生主要學習間接證明的一種基本方法——反證法，學生通過學習，了解反證法的思考過程、方法特點、及應用范圍. 它是在學完直接證明的兩種方法綜合法和分析法后，出現(xiàn)的一種間接證明的方法，這種方法的學習有助于培養(yǎng)學生逆向思考的思維能力，從而完善解題過程中正反面結合的思維習慣. 2.教學目標 1.知識與技能 （1）學生通過具體的例子了解反證法的思考過程、特點. （2）學生通過已經學過的數(shù)學實例的證明體會反證法的證明過程，并能用反證法證明一些簡單的數(shù)學命題. 2.過程與方法 （1）學生借助實例分析體會反證法的證明原理. （2）學生通過實際演練體會在解決數(shù)學問題時，通過增加條件，增加了一種間接證明的方法——反證法. 3.情感、態(tài)度與價值觀 （1）學生通過反證法的運用，在解決問題時有了“正難則反”的思維方向，發(fā)展了自己的思維能力，滲透了運用辯證觀點解決問題的意識. （2）學生認識到例題背后的數(shù)學文化，了解了數(shù)學發(fā)展的源遠流長，激發(fā)了自己學習數(shù)學的興趣. 5、教學過程 （一）創(chuàng)設情境，引入課題（以下內容部分通過課件展示） 問題1：將9個球分別染成紅色或白色，那么無論怎樣染，至少有5個球是同色的.你能證明這個結論嗎？ 假設有某種染法使紅色球和白色球的個數(shù)都不超過4，則球的總數(shù)應該不超過8個，這與球的總數(shù)是9矛盾.因此，不論怎樣染，至少有5個球是同色的. 設計意圖：學生能夠從具體的例子中，感受到反證法的存在。 問題2：上面的證明方法和我們上節(jié)課學習的綜合法和分析法相同嗎？ 不同. 設計意圖：學生了解反證法是與直接證明不同的一種方法. 問題3：上面這種證明方法在數(shù)學中叫做什么呢？ 反證法. 設計意圖：學生知道在數(shù)學證明方法中，還有這樣一種證明方法. （二）引導探索，生成概念 問題4：你能總結一下什么叫做反證法嗎？ 一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法. 設計意圖：學生試著總結反證法的定義. 問題5：有了反證法的定義，你能總結出用反證法證明題目的步驟嗎？ 反證法證明題的步驟： 假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立. 從假設出發(fā)，經過推理，得出矛盾. 由矛盾假設不正確，從而肯定命題的結論正確. 設計意圖：學生試著總結反證法證明題目的步驟. 問題6：反證法中到底蘊含著什么樣的數(shù)學邏輯？ 反證法是將證明轉化為，而與假設矛盾，或與某個真命題矛盾，而一般與不等價。因此反證法與證明逆否命題不是一回事. （三）學以致用，理解感悟 例1.已知是整數(shù)，能整除.求證：能整除. 學生活動：引導學生從正面出發(fā)試著證明，不妨設，那么，2能否整除不容易確定.這樣我們想到了反證法. 證明：假設命題的結論不成立，即“不能整除”. 因為是整數(shù)，故是奇數(shù)，可表示為，則 ， 即是奇數(shù). 所以，不能整除.這與已知 “能整除”相矛盾. 于是，“不能整除”這個假設錯誤，故能整除. 設計意圖：學生體會從假設出發(fā)，如何推導出與已知矛盾. 探究一：已知是整數(shù)，能整除.求證：能整除. 學生活動：仿照例1的證明過程，學生思考，能整除的否定有哪些情況，然后試著證明. 證明：假設命題的結論不成立，即“不能整除”. 因為是整數(shù)，可表示為，則 當時 ， 當時 ， 綜上所述，不能整除，這與已知“能整除”相矛盾， 于是，“不能整除”這個假設錯誤，故能整除. 設計意圖：一方面進一步熟悉反證法的證明過程，另一方面對例1的結論進行推廣，最后，為課后練習“求證：是無理數(shù)”做知識的鋪墊. 探究二：已知是整數(shù)，能整除.求證：能整除. 學生活動：這個問題可以讓學生仿照“探究一”課后訓練. 設計意圖：為課后作業(yè)“求證：是無理數(shù)”做知識的鋪墊. 例2.求證：是無理數(shù). 數(shù)學文化：關于“是無理數(shù)”的證明有其深厚的文化背景.兩千多年前，古希臘人用反證法證明了不是有理數(shù)（因為當時還沒有發(fā)現(xiàn)無理數(shù)呢），這是用反證法證明命題的真實性的最經典的實例.對這些感興趣的同學課后可以查閱相關資料進行學習. 證明：假設不是無理數(shù)，即是有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個整數(shù)之比， 設，且互素，則. 所以，.① 故是偶數(shù)，也必然為偶數(shù). 不妨設，帶入①式，則有， 即， 所以，也為偶數(shù). 和都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)，這與互素相矛盾. 這樣，不是有理數(shù)，而是無理數(shù). 設計意圖：一方面，這個問題是例1知識的延續(xù)，另一方面，為課后的練習和習題做準備，學生通過此題的證明，能在課后的訓練中舉一反三，靈活運用. 例3.在同一平面內，兩條直線都和直線垂直.求證：與平行. 學生活動：引導學生從正面出發(fā)，根據(jù)兩條平行線的定義能否直接證明，由于不容易確定兩條直線沒有公共點，進而退而求其次，考慮用反證法. 證明：假設命題的結論不正確，即“直線與相交”. 不妨設直線的交點為，的交點為，的交點為， 如右圖所示，則. 這樣，的內角和 . 這與定理“三角形的內角和等于”相矛盾. 這說明假設是錯誤的. 所以，直線與不相交，即與平行. 設計意圖：一是正面很難入手幾何問題可以用反證法證明，同時這個問題從假設出發(fā)推出與定理矛盾，學生體會原來矛盾得點很多. 課堂練習： 求證：是無理數(shù). 求證：在一個三角形中，至少有一個內角大于或等于. 學生活動：找兩名同學板書演練，其他同學自己練習. 設計意圖：針對例1和例2進行訓練. 回顧反思，深化認識 課堂小結：通過本節(jié)課的學習，你的主要收獲有哪些？ （關鍵詞：證明方法，數(shù)學思想，情感體驗等．） 證明方法：反證法 一般步驟： （1）假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立. （2）從假設出發(fā)，經過推理，得出矛盾. （3）由矛盾假設不正確，從而肯定命題的結論正確. 矛盾情況： 可以與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、 事實等矛盾. 適用范圍： （1）當已知條件與結論之間的關系不夠明顯，直接由條件推的 結論的線索不夠清晰； （2）如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而面 進行，只要研究一種或很少的幾種情形； （3）結論是否定形式的命題； （4）關于“存在性”和“唯一性”命題及其他直接證明有困的 命題. 數(shù)學思想：學會逆向思維. 情感體驗：滲透了運用辯證觀點解決問題的意識. 設計意圖：給出問題，要求學生自主小結，再推出引導性關鍵詞，使得總結簡明、到位、拔高． 布置作業(yè) 課本第15頁習題1-3：（3），（4）題. 設計意圖：課堂與課后訓練有機結合，學生通過作業(yè)的訓練，能用反證法解決一些基本的數(shù)學問題. 板書設計 教后反思 我覺得這節(jié)課的設計亮點有：一是通過增加探究問題的訓練，學生能從例1很好的過度到例2的學習中去，二是將課堂和課后的訓練有機的結合，真正讓學生不再出現(xiàn)“課堂上一聽就懂，課后一做就錯”的數(shù)學學習怪圈.