（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第12練 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系試題 理.docx

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第12練　空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 [明晰考情]　1.命題角度：空間線面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系.2.題目難度：低檔難度. 考點(diǎn)一　空間線面位置關(guān)系的判斷 方法技巧　(1)判定兩直線異面的方法 ①反證法； ②利用結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線. (2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長(zhǎng)方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進(jìn)行判斷. (3)空間圖形中平行與垂直的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論： ①平面圖形的平行關(guān)系：平行線分線段成比例、平行四邊形的對(duì)邊互相平行；②平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對(duì)角線互相垂直、圓的直徑所對(duì)圓周角為直角、勾股定理. 1.下列說法正確的是________.(填序號(hào)) ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α； ②若直線a在平面α外，則a∥α； ③若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥α； ④若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. 答案?、? 解析?、馘e(cuò)誤，直線l還可以在平面α內(nèi)；②錯(cuò)誤，直線a在平面α外，包括平行和相交；③錯(cuò)誤，a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi).④說法正確. 2.(2018無錫期末)已知α，β，γ是三個(gè)互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個(gè)命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α； ②若l⊥α，l⊥β，則α∥β； ③若α⊥γ，β∥γ，則α⊥β； ④若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β. 其中所有正確命題的序號(hào)是________. 答案?、冖? 解析　若α⊥β，l⊥β，則l∥α或l?α； 若l⊥α，l⊥β，則α∥β； 若α⊥γ，β∥γ，則α⊥β； 若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則a∥β或α，β相交，所以正確命題的序號(hào)是②③. 3.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是________.(填序號(hào)) 答案?、? 解析　作如圖(1)所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交； 作如圖(2)所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； 作如圖(3)所示的輔助線， 則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ； 作如圖(4)所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ， 又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ. 故①中直線AB與平面MNQ不平行. 4.已知α，β表示平面，m，n表示直線，m⊥β，α⊥β，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①?n?α，n⊥β；②?n?β，m⊥n； ③?n?α，m∥n；④?n?α，m⊥n. 則上述結(jié)論中正確的序號(hào)為________. 答案　②④ 解析　由于m⊥β，α⊥β，所以m?α或m∥α.?n?α，n⊥β或n與β斜交或n∥β，所以①不正確；?n?β，m⊥n，所以②正確；?n?α，m與n可能平行、相交或異面，所以③不正確；當(dāng)m?α或m∥α?xí)r，?n?α，m⊥n，所以④正確. 考點(diǎn)二　空間中的平行、垂直關(guān)系 方法技巧　(1)利用平面圖形中的線的平行判斷平行關(guān)系： ①比例線求證平行，特別是三角形中位線定理；②平行四邊形的對(duì)邊互相平行；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線互相平行. (2)熟練把握平面圖形中的垂直關(guān)系 ①等腰三角形的底邊上的中線和高重合； ②菱形的對(duì)角線互相垂直； ③圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角； ④勾股定理得垂直. (3)空間中平行與垂直的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸思想在空間中的體現(xiàn). 5.如圖，已知三棱錐P—ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是________.(填序號(hào)) ①BC∥平面PDF； ②DF⊥平面PAE； ③平面PDF⊥平面ABC； ④平面PAE⊥平面ABC. 答案?、佗冖? 解析　∵BC∥DF， ∴BC∥平面PDF.∴①正確； ∵BC⊥PE，BC⊥AE， PE∩AE＝E，PE，AE?平面PAE， ∴BC⊥平面PAE. ∴DF⊥平面PAE， ∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE). ∴②④正確. 6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點(diǎn)，AB＝4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長(zhǎng)為________. 答案　6＋4 解析　∵正方體ABCD－A1B1C1D1中， E，F(xiàn)分別是棱AD，DD1的中點(diǎn)， ∴EF∥AD1∥BC1. ∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1， ∴EF∥平面BCC1B1. 由正方體的棱長(zhǎng)為4，可得截面是以BE＝C1F＝2為腰，EF＝2為上底，BC1＝2EF＝4為下底的等腰梯形，故周長(zhǎng)為6＋4. 7.已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D兩點(diǎn)，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長(zhǎng)為________. 答案　或24 解析　分兩種情況，如圖所示，設(shè)BD＝x，根據(jù)平行線分線段成比例，有＝或＝，解得x＝或x＝24. 8.等腰直角三角形BCD的腰長(zhǎng)為2，將平面BCD沿斜邊BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如圖所示，O為BD的中點(diǎn)，若AC＝2，則三棱錐A－BCD的體積為________. 答案　 解析　由題意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，從而根據(jù)等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO＝CO＝，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因?yàn)锳O是等腰直角三角形ABD斜邊上的中線，所以AO⊥BD.因?yàn)镃O∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，則其體積為22＝. 1.下列說法： ①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0<θ<90； ②直線與平面所成的角的取值范圍是0<θ≤90； ③若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行； ④若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等. 其中正確的是________.(填序號(hào)) 答案?、佗? 解析?、趹?yīng)為0≤θ≤90；③中這兩條直線可能平行，也可能相交或異面. 2.(2018江蘇蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下面四個(gè)命題： ①m∥n，m⊥α?n⊥α； ②α∥β，m?α，n?β?m∥n； ③m∥n，m∥α?n∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β. 其中正確命題的序號(hào)是________. 答案?、佗? 解析　m∥n，m⊥α?n⊥α，故①正確； α∥β，m?α，n?β?m∥n或m，n異面，故②不正確； m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故③不正確； α∥β，m∥n，m⊥α可以先得到n⊥α，進(jìn)而得到n⊥β，故④正確.綜上可知①④正確. 3.如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起，連結(jié)AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法正確的是________.(填序號(hào)) ①AC∥平面BEF； ②B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)不可能共面； ③若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD； ④平面BCE與平面BEF可能垂直. 答案　①②③ 解析　說法①，連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)M，連結(jié)OM，F(xiàn)M，則四邊形AOMF是平行四邊形，所以AO∥FM，因?yàn)镕M?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；說法②，若B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；說法③，連結(jié)FD，在平面ADEF內(nèi)，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，F(xiàn)D∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF與AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；說法④，延長(zhǎng)AF至G，使AF＝FG，連結(jié)BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，過F作FN⊥BG于點(diǎn)N，則FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.綜上①②③正確. 解題秘籍　線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型(如長(zhǎng)方體、正四面體等)或?qū)嵗?，以定理的結(jié)論為依據(jù)進(jìn)行推理，而不能主觀猜想. 1.已知直線a∥平面α，則“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的____________條件. 答案　充分不必要 解析　若直線a⊥平面β，直線a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直線a∥平面α，那么直線a⊥平面β不一定成立.如正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直線AD∥平面BCC1B1，但直線AD?平面ABCD；直線AD1∥平面BCC1B1，但直線AD1與平面ABCD不垂直.綜上，“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件. 2.在下列四個(gè)正方體中，能得出異面直線AB⊥CD的是________.(填序號(hào)) 答案　① 解析　對(duì)于①，作出過AB的平面ABE，如圖(1)，可得直線CD與平面ABE垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知，AB⊥CD成立，故①正確；對(duì)于②，作出過AB的等邊三角形ABE，如圖(2)，將CD平移至AE，可得CD與AB所成的角等于60，故②不成立；對(duì)于③④，將CD平移至經(jīng)過點(diǎn)B的側(cè)棱處，可得AB，CD所成的角都是銳角，故③和④均不成立.綜上得出AB⊥CD的是①. 3.下列命題中正確的是________.(填序號(hào)) ①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面； ②兩兩相交的三個(gè)平面所形成的三條交線必共點(diǎn)； ③空間兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； ④平面α和平面β可以只有一個(gè)交點(diǎn). 答案?、? 解析　借助三棱柱，可知②錯(cuò)誤； 借助正四面體，可知③錯(cuò)誤； 由公理2，可知④錯(cuò)誤； 由推論1，可知①正確. 4.在如圖所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點(diǎn)，直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是________.(填“平行”“垂直”) 答案　平行 解析　取AD1的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，OF，則OF∥BE，且OFBE， ∴四邊形BFOE是平行四邊形， ∴BF∥EO. ∵BF?平面AD1E， OE?平面AD1E， ∴BF∥平面AD1E. 5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是DD1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是________.(填序號(hào)) ①直線A1M與直線B1C為異面直線； ②直線BD1⊥平面AB1C； ③平面AMC⊥平面AB1C； ④直線A1M∥平面AB1C. 答案?、佗冖? 解析　由異面直線的定義，知①正確；易證明BD1⊥AB1，BD1⊥AC，所以BD1⊥平面AB1C，所以②正確；連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OM，可以證明OM∥BD1，所以O(shè)M⊥平面AB1C，可得平面AMC⊥平面AB1C，所以③正確；由題意，得直線A1M與平面AB1C相交，所以④不正確. 6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面.其中正確的結(jié)論是________.(填序號(hào)) 答案?、佗邰? 解析　作出過M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論②不正確.其余均正確. 7.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)， 在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論： ①直線BE與直線CF異面； ②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確的有________個(gè). 答案　2 解析　將展開圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯(cuò)；因?yàn)锽?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因?yàn)镋F∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯(cuò). 8.如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分別為AE，AB的中點(diǎn).則直線DP與平面ABC的位置關(guān)系是________. 答案　平行 解析　連結(jié)CQ，在△ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點(diǎn)， 所以PQ∥BE，PQ＝BE. 又DC∥EB，DC＝EB， 所以PQ∥DC，PQ＝DC， 所以四邊形DPQC為平行四邊形， 所以DP∥CQ. 又DP?平面ABC，CQ?平面ABC， 所以DP∥平面ABC. 9.如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取線段AB＝4，AC，BD分別在α，β內(nèi)，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，則CD＝________. 答案　 解析　作AE∥BD，使得AE＝BD，連結(jié)DE，CE，則四邊形ABDE為矩形且AE⊥DE， 所以DE⊥CE，在Rt△ACE中， CE＝＝＝3， 在Rt△CED中，CD＝＝. 10.過兩平行平面α，β外的點(diǎn)P的兩條直線AB與CD，它們分別交α于A，C兩點(diǎn)，交β于B，D兩點(diǎn)，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，則BD的長(zhǎng)為________. 答案　12 解析　兩條直線AB與CD相交于P點(diǎn)，所以可以確定一個(gè)平面，此平面與兩平行平面α，β的交線AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12. 11.如圖，在四面體P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90，AC＝8，BC＝6，則PC＝________. 答案　7 解析　取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，PA＝PB，∴PE⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABC，PE?平面PAB， ∴PE⊥平面ABC，連結(jié)CE，∴PE⊥CE. 又∠ABC＝90，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝2，PE＝＝， CE＝＝，PC＝＝7. 12.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH＝________. 答案　 解析　由ABCD是平行四邊形， 得AB∥CD，且AB＝CD， 又E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AE＝FD， 又∠EAH＝∠DFH， ∠AEH＝∠FDH， ∴△AEH≌△FDH，∴EH＝DH. ∵平面AGF∥平面PEC， 又平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE， ∴GH∥PE，則G是PD的中點(diǎn). ∵PA＝PB＝AB＝2，∴PE＝2sin60＝， ∴GH＝PE＝.