2020高考數(shù)學大一輪復習 第五章 數(shù)列 課下層級訓練27 數(shù)列的概念與簡單表示法（含解析）文 新人教A版.doc

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課下層級訓練(二十七)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [A級　基礎強化訓練] 1．數(shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個通項公式是an等于(　　) A．　　　　　　　 B．cos C．π D．cos π D　[令n＝1,2,3，…，逐一驗證四個選項，易得D正確．] 2．現(xiàn)有這么一列數(shù)：2，，，，(　　)，，，…，按照規(guī)律，(　　)中的數(shù)應為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D． B　[分母為2n，n∈N，分子為連續(xù)的質數(shù)，所以(　　)中的數(shù)應為.] 3．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝(　　) A．10 B．15 C．－5 D．20 D　[當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，當n＝1時，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.] 4．(2019福建福州質檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2 019＝(　　) A．1 B．0 C．2 019 D．－2 019 A　[∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2 019＝a1＝1.] 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，則a13＝(　　) A．143 B．156 C．168 D．195 C　[由an＋1＝an＋2＋1得an＋1＋1＝(＋1)2，所以－＝1，又a1＝0，則＝n，an＝n2－1，則a13＝132－1＝168.] 6．若數(shù)列{an}滿足關系an＋1＝1＋，a8＝，則a5＝__________. 　[借助遞推關系，由a8遞推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.] 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3－32n，n∈N*，則an＝__________. －32n－1　[分情況討論： ①當n＝1時，a1＝S1＝3－321＝－3； ②當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3－32n)－(3－32n－1)＝－32n－1. 綜合①②，得an＝－32n－1.] 8．(2019黑龍江大慶模擬)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋2)n，則數(shù)列{an}的項取最大值時，n＝__________. 4或5　[假設第n項為最大項，則 即解得 即4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5， 故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項，且a4＝a5＝.] 9．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值； (2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1an，知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4， 所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，整理得：k＞－2n－1， 又∵對于n∈N*，都有an＋1＞an， ∴k大于－2n－1的最大值， 所以實數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)． 10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝an＋an＋1，求數(shù)列{bn}的通項公式． 解　(1)當n＝1時，a1＝S1＝22－2＝2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n. 因為a1也適合此等式， 所以an＝2n(n∈N*)． (2)因為bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1， 所以bn＝2n＋2n＋1＝32n. [B級　能力提升訓練] 11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則a10＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 B　[由an＋1an＝2n，所以an＋2an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.] 12．定義：稱為n個正數(shù)P1，P2，…，Pn的“均倒數(shù)”．若數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝4n－1 C．a(chǎn)n＝4n－3 D．a(chǎn)n＝4n－5 C　[∵＝，∴＝2n－1， ∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)， 當n≥2時，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3； a1＝1也適合此等式，∴an＝4n－3.] 13．在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝__________. 28　[依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4(1＋2＋4)＝28.] 14．(2019山西太原模擬)設{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式an＝________. (n∈N*)　[因為數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列， 所以anan＋1≠0，所以－＋1＝0. 令＝t(t>0)，則(n＋1)t2＋t－n＝0， 分解因式，得[(n＋1)t－n](t＋1)＝0， 所以t＝或t＝－1(舍去)，即＝. 方法一(累乘法)　因為… ＝…，所以an＝(n∈N*)． 方法二(迭代法) 因為an＋1＝an， 所以an＝an－1＝an－2 ＝an－3＝…＝…a1，所以an＝(n∈N*)． 方法三(特殊數(shù)列法) 因為＝，所以＝1. 所以數(shù)列{nan}是以a1為首項，1為公比的等比數(shù)列． 所以nan＝11n－1＝1.所以an＝(n∈N*)．] 15．已知數(shù)列{an}滿足前n項和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝且前n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性． 解　 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 所以bn＝ (2)因為cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0， 所以cn＋1＜cn， 所以數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列． 16．已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值； (2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍． 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)， 又a＝－7， ∴an＝1＋(n∈N*)． 結合函數(shù)f(x)＝1＋的單調性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4， a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)． ∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋， 已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 結合函數(shù)f(x)＝1＋的單調性， 可知5＜＜6， 即－10＜a＜－8. 即a的取值范圍是(－10，－8)．