（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習精準提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第17練 直線與圓試題.docx
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第17練 直線與圓 [明晰考情] 1.命題角度：直線與圓的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的考查上，偶有單獨命題，單獨命題時主要考查求直線(圓)的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關系判斷、簡單的弦長與切線問題.2.題目難度：中低檔難度． 考點一 直線的方程 方法技巧 (1)解決直線方程問題，要充分利用數(shù)形結合思想，養(yǎng)成邊讀題邊畫圖分析的習慣．(2)求直線方程時應根據(jù)條件選擇合適的方程形式利用待定系數(shù)法求解，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意．(3)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性． 1．已知直線l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 A 解析 “l(fā)1⊥l2”的充要條件是“m(m－3)＋12＝0?m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件． 2．已知A(1,2)，B(2,11)，若直線y＝x＋1(m≠0)與線段AB相交，則實數(shù)m的取值范圍是( ) A．[－2,0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0,6] C．[－2，－1]∪[3,6] D．[－2,0)∪(0,6] 答案 C 解析 由題意得，兩點A(1,2)，B(2,11)分布在直線y＝x＋1(m≠0)的兩側(或其中一點在直線上)， ∴≤0， 解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故選C. 3．過點P(2,3)的直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則S△AOB的最小值為________． 答案 12 解析 依題意，設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)． ∵點P(2,3)在直線l上， ∴＋＝1，則ab＝3a＋2b≥2， 故ab≥24，當且僅當3a＝2b(即a＝4，b＝6)時取等號． 因此S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值為12. 4．若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為________． 答案 3 解析 依題意知AB的中點M的集合是與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距離都相等的直線， 則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離． 設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0， 根據(jù)平行線間的距離公式，得＝，即|m＋7|＝|m＋5|，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為＝3. 考點二 圓的方程 方法技巧 (1)直接法求圓的方程：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法求圓的方程：設圓的標準方程或圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出方程組，確定系數(shù)后得到圓的方程． 5．已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 答案 B 解析 設圓心坐標為(a，－a)， 則＝，即|a|＝|a－2|， 解得a＝1， 故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝＝， 故圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 6．圓心在曲線y＝(x＞0)上，且與直線2x＋y＋1＝0相切的面積最小的圓的方程為( ) A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y－1)2＝25 答案 A 解析 y＝的導數(shù)y′＝－，令－＝－2， 得x＝1(舍負)， 平行于直線2x＋y＋1＝0的曲線y＝(x＞0)的切線的切點的橫坐標為1，代入曲線方程，得切點坐標為(1,2)，以該點為圓心且與直線2x＋y＋1＝0相切的圓的面積最小，此時圓的半徑為＝. 故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5. 7．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________________． 答案 (x－2)2＋y2＝9 解析 ∵圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a，0)，且a>0. 則圓心C到直線2x－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2(舍負)． ∴圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 因此圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 8．圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為2，則圓C的標準方程為__________________． 答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4 解析 設圓心(a>0)，半徑為a. 由勾股定理得()2＋2＝a2，解得a＝2(舍負)． 所以圓心為(2,1)，半徑為2， 所以圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 考點三 點、直線、圓的位置關系 方法技巧 (1)研究點、直線、圓的位置關系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結合思想解題． (2)與弦長l有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理． 9．過點P(－3,1)，Q(a，0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為( ) A．－ B. C. D．－ 答案 A 解析 點P(－3,1)關于x軸的對稱點為P′(－3，－1)，由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切，因為直線P′Q：x－(a＋3)y－a＝0，所以由＝1，得a＝－. 10．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)，若傾斜角為45的直線l過拋物線y2＝－12x的焦點，且直線l被圓C截得的弦長為2，則a等于( ) A.＋1 B. C．2－ D.－1 答案 D 解析 ∵拋物線y2＝－12x的焦點為(－3,0)， 故直線的方程為x－y＋3＝0. ∵弦長為2，圓的半徑r＝2， ∴圓心到直線的距離d＝1，即＝1， 結合a>0，得a＝－1，故選D. 11．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為________． 答案 5－4 解析 兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，由點C1關于x軸的對稱點C1′(2，－3)，得(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4. 12．設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120，則圓的方程為______________________． 答案 (x＋1)2＋(y－)2＝1 解析 由題意知該圓的半徑為1，設圓心C(－1，a)(a>0)，則A(0，a)． 又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)． 由題意知與的夾角為120， 得cos120＝＝＝－， 解得a＝(舍負)． 所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1. 1．直線xcosθ＋y＋2＝0的傾斜角α的取值范圍是________． 答案 ∪ 解析 設直線的斜率為k，則k＝tanα＝－cosθ. 因為－1≤cosθ≤1，所以－≤－cosθ≤. 所以－≤tanα≤. ①當0≤tanα≤時，0≤α≤； ②當－≤tanα＜0時，≤α＜π. 故此直線的傾斜角α的取值范圍是∪. 2．已知過點(2,4)的直線l被圓C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦長為6，則直線l的方程為________________． 答案 x－2＝0或3x－4y＋10＝0 解析 當l斜率不存在時，符合題意； 當l斜率存在時，設l：y＝k(x－2)＋4， C：(x－1)2＋(y－2)2＝10. 由題意可得2＋2＝10， 解得k＝，此時l：3x－4y＋10＝0. 綜上，直線l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0. 3．由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________． 答案 解析 如圖所示，設直線上一點P，切點為Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長，MQ為圓M的半徑，長度為1， |PQ|＝＝， 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉化為求直線y＝x＋1上的點到圓心M的最小距離，設圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2. 所以|PM|的最小值為2. 所以|PQ|＝≥＝. 解題秘籍 (1)直線傾斜角的范圍是[0，π)，要根據(jù)圖形結合直線和傾斜角的關系確定傾斜角或斜率范圍． (2)求直線的方程時，不要忽視直線平行于坐標軸和直線過原點的情形． (3)和圓有關的最值問題，要根據(jù)圖形分析，考慮和圓心的關系． 1．已知命題p：“m＝－1”，命題q：“直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直”，則命題p是命題q的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 A 解析 “直線x－y＝0與直線x＋m2y＝0互相垂直”的充要條件是11＋(－1)m2＝0?m＝1. ∴命題p是命題q的充分不必要條件． 2．兩條平行線l1，l2分別過點P(－1,2)，Q(2，－3)，它們分別繞P，Q旋轉，但始終保持平行，則l1，l2之間距離的取值范圍是( ) A．(5，＋∞) B．(0,5] C．(，＋∞) D．(0，] 答案 D 解析 當PQ與平行線l1，l2垂直時，|PQ|為平行線l1，l2間的距離的最大值，為＝， ∴l(xiāng)1，l2之間距離的取值范圍是(0，]．故選D. 3．已知過點P(2,2)的直線與圓C：(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于( ) A．－B．1C．2D. 答案 C 解析 由切線與直線ax－y＋1＝0垂直，且P為圓C上一點，得過點P(2,2)與圓心(1,0)的直線與直線ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2. 4．若直線x－y＋m＝0被圓C：(x－1)2＋y2＝5截得的弦長為2，則m的值為( ) A．1 B．－3 C．1或－3 D．2 答案 C 解析 ∵圓C：(x－1)2＋y2＝5的圓心C(1,0)，半徑r＝， 又直線x－y＋m＝0被圓截得的弦長為2. ∴圓心C到直線的距離d＝＝， ∴＝，∴m＝1或m＝－3. 5．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 設△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴∴ ∴△ABC外接圓的圓心為， ∴圓心到原點的距離d＝＝. 6．已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過點P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是( ) A．10B．9C．10D．9 答案 C 解析 易知最長弦為圓的直徑10， 又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|＝， ∴最短弦的長為2＝2＝2， 故所求四邊形的面積S＝102＝10. 7．已知圓的方程為x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直線l：x＋y－t＝0，若圓上有且只有兩個不同的點到直線l的距離等于，則參數(shù)t的取值范圍為( ) A．(2,4)∪(6,8) B．(2.4]∪[6,8) C．(2,4) D．(6,8) 答案 A 解析 把x2＋y2－4x－6y＋11＝0變形為(x－2)2＋(y－3)2＝2，所以圓心坐標為(2,3)，半徑為，則<<＋，解得2
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