陜西省藍田縣高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 4.2.2 最大值最小值問題教案 北師大版選修1 -1.doc

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4.2.2 最大值最小值問題 教學目標 1．能夠區(qū)分極值與最值兩個不同的概念． 2．會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)． 3.會利用導數(shù)解決某些實際問題. 教學重點 1. 考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題． 2. 結合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點，難點。 學時難點 1. 考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題． 2. 結合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點， 教學活動 活動1【講授】導數(shù)的應用 知識梳理：（1）如果函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值．函數(shù)的最值是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì). 函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值______________． 最大值或者____________取得，或者____________取得． 問題探究一　函數(shù)的最值 問題1　如圖，觀察區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖像，它的極大值、極小值嗎？ 問題2　觀察問題1的函數(shù)y＝f(x)，你能找出函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值嗎？ 問題3　函數(shù)的極值和最值有什么區(qū)別和聯(lián)系？ (1)函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值． (2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 問題4　怎樣求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值？ 只要求出函數(shù)的各個極值和端點處的函數(shù)值，進行比較即可． 例1． (2014鎮(zhèn)海中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； [解題指導](1)已知：曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行． (2)分析：①由曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行可知f′(1)＝0即可求出k的值；②由函數(shù)解析式，求導進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．③構造函數(shù)證明不等式． 訓練1　求函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值． 解　f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3 ∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0， ∴f (x)在[－1,1]上為增函數(shù) 故x＝－1時，f(x)最小值＝－12； 即f(x)的最小值為－12，最大值為2. 問題探究二　含參數(shù)的最值問題 問題1　若函數(shù)f(x)已知最值，且函數(shù)關系式中含有參數(shù)，怎樣根據(jù)函數(shù)最值確定參數(shù)？ 答案　根據(jù)函數(shù)在哪一點處取得最值，采用待定系數(shù)法，利用導數(shù)列方程可以解出參數(shù)值．問題的關鍵在于確定函數(shù)的極值或端點處的函數(shù)值以及它們的大小． 問題2　含參數(shù)的函數(shù)，怎樣求函數(shù)的最值？ 答案　由于參數(shù)的取值范圍不同會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導致最值的變化，因此解決這類問題往往需要分類討論，參數(shù)分界標準是根據(jù)導函數(shù)為零時自變量的大小或通過函數(shù)值的大小等方面確定的． 例2若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當x＝2時，函數(shù)f(x)有極值－ . (1)求函數(shù)的解析式； (2)若關于x的方程f(x)＝k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍． 解　(1)由題意可知f′(x)＝3ax2－b. 故所求的函數(shù)解析式為f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2 因此，當x＝－2時，f(x)有極大值，當x＝2時，f(x)有極小值－， 所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，故實數(shù)k的取值范圍是. 小結　含參數(shù)的函數(shù)，已知最值可考慮使用待定系數(shù)法確定參數(shù)；求含參數(shù)的最值要分類討論，注意導數(shù)為0的點的大小及是否在函數(shù)定義域內(nèi)． 訓練2　設f(x)＝－x3＋x2＋2ax. (1)若f(x)在(，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍． (2)當00.由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a，f′(x)在區(qū)間[，＋∞)上單調(diào)遞減，則只需f′()>0即可．由f′()＝＋2a>0解得a>－，所以，當a>－時，f(x)在(，＋∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間． (2)令f′(x)＝0，得兩根x1＝ ，x2＝. 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增，又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．對含參不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題，可先分離參數(shù)． 例3　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，當x∈[－1,2]時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)； 當x∈(－，1)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)； 當x∈(1,2)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)． ∴當x＝－時，f(x)取得極大值f(－)＝5＋ ； 當x＝1時，f(x)取得極小值f(1)＝ . 又f(－1)＝，f(2)＝7， ∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值為f(2)＝7. ∴要使f(x)7. ∴所求實數(shù)m的取值范圍是(7，＋∞)． 小結　“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可． 訓練3　設函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若對任意的x∈[0,3]，都有f(x)0；當x∈(1,2)時，f′(x)<0； 當x∈(2,3)時，f′(x)>0. ∴當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c. 又f(3)＝9＋8c>f(1)， ∴x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c. ∵對任意的x∈[0,3]，有f(x)9. ∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞). 練習 1．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在閉區(qū)間[－3,0]上的最大值，最小值分別是 (　　) A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 2．函數(shù)f(x)＝x－2在[0,4]上的最大值為 (　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 3．函數(shù)f(x)＝xex的最小值為________． 課堂小結 (1)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點處函數(shù)值即可；函數(shù)在一個開區(qū)間內(nèi)只有一個極值，這個極值就是最值；(2)含參數(shù)的函數(shù)最值，可確定參數(shù)或分類討論；(3)“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.