陜西省藍田縣高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應(yīng)用 4.2.2 最大值最小值問題導數(shù)的應(yīng)用 北師大版選修1 -1.doc
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4.2.2 導數(shù)的綜合應(yīng)用 【考綱要求】 熟練利用導數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)。 【知識梳理】 1．利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟 (1)求導數(shù)f′(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 2．求可導函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)解方程f′ (x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值． 3．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最大值與最小值 (1)確定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)、可導；(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；(3)求函數(shù)f(x)在[a，b]端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(4)比較函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)的大小，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 4．生活中的優(yōu)化問題 解決優(yōu)化問題的基本思路： ―→ ↓ ↓ ← 5．利用導數(shù)解決實際問題中的最值問題時應(yīng)注意的問題 (1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去； (2)在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值； (3)在解決實際問題中的優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示出來，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間． 【基礎(chǔ)自測】 1.(課本改編題)函數(shù)f(x)＝ax3＋x恰有三個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是 _(－∞，0)_． 2．(課本精選題)如圖，水波的半徑以50 cm/s的速度向外 擴張，當半徑為250 cm時，水波面的圓面積的膨脹率是 _25 000π_ cm2/s. 3．若函數(shù)f(x)＝x＋asin x在R上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_[－1,1]_． 4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系 式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( C ) A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 5. 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為( A ) A．(－3，－2)∪(2,3) B．(－，) C．(2,3) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 【例題精析】 題型一 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程根的方法 例1 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，求m的取值范圍． 解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 當a<0時，對x∈R，有f′(x)>0， ∴當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)．當a>0時，由f′(x)>0， 解得x<－或x>. 由f′(x)<0，解得－下載提示(請認真閱讀)
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