(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.docx
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考點(diǎn)規(guī)范練37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 基礎(chǔ)鞏固組 1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直 答案A 解析如圖所示,直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交. 2.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定 答案D 解析如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為CC1,則l1∥l4,可知選項A錯誤;取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為C1D1,則l1⊥l4,故B錯誤,則C也錯誤,故選D. 3.(2018浙江高三模擬)給定下列兩個關(guān)于異面直線的命題: 命題(1):若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,直線c是α與β的交線,則c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線. 那么( ) A.命題(1)正確,命題(2)不正確 B.命題(2)正確,命題(1)不正確 C.兩個命題都正確 D.兩個命題都不正確 答案D 解析如圖所示,當(dāng)c可以與a,b都相交,但交點(diǎn)不是同一個點(diǎn)時,平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,因此(1)是假命題;對于(2),可以取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不同向,則這些直線中任意兩條是異面直線,從而(2)是假命題;故選D. 4.已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案A 解析若直線a,b相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則P∈a,P∈b. 又因為a?α,b?β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交. 反之,若α,β相交,設(shè)交線為l,當(dāng)a,b都與直線l不相交時,則有a∥b. 顯然a,b可能相交,也可能異面或平行. 綜上,“直線a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要條件. 5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點(diǎn),那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為( ) A.45 B.35 C.23 D.57 答案B 解析連接DF,則AE∥DF, ∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設(shè)正方體棱長為a,則D1D=a,DF=52a,D1F=52a,∴cos∠D1FD= 52a2+52a2-a2252a52a=35. 6.正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱中,與棱AA1是異面直線且互相垂直的棱有 條. 答案4 解析與AA1異面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1. 7.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是 . 答案60 解析連接A1D,AD1,則F恰好是它們的交點(diǎn),同理E是A1C1,B1D1的交點(diǎn). 連接EF,AB1, ∵正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1B∥D1D,且B1B=D1D, ∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,可得BD∥B1D1.因此,∠FED1(或其補(bǔ)角)就是EF和BD所成的角.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則△FED1中,D1E=D1F=EF=22, ∴△FED1是等邊三角形,可得∠FED1=60.由此可得EF和BD所成的角等于60. 8. 如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),過EF任作一個平面α分別與直線BC,AD相交于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論正確的是 . ①對于任意的平面α,都有直線GF,EH,BD相交于同一點(diǎn); ②存在一個平面α0,使得GF∥EH∥BD; ③存在一個平面α0,使得點(diǎn)G在線段BC上,點(diǎn)H在線段AD的延長線上; ④對于任意的平面α,都有S△EFG=S△EFH. 答案②④ 解析逐一判斷.當(dāng)點(diǎn)G,H分別是BC和AD的中點(diǎn)時,直線GF,EH,BD兩兩相互平行,所以①錯誤,②正確; 點(diǎn)G在BC上時,GF與BD的延長線的交點(diǎn)I一定在BD延長線上,連接EI,與AD的交點(diǎn)H一定在線段AD上,所以③錯誤; 過點(diǎn)D作DP∥AB交EI于點(diǎn)P, 因為IDIB=DPBE=DPAE(相似), 所以線段GCBC=DHAD,S△GCFS△BCD=S△DFHS△ACD, 所以四面體EFGC與ECFH的體積相等. 所以△EFG與△EFH的面積相等,④正確. 故正確結(jié)論的序號是②④. 能力提升組 9.給出下列四個命題: ①分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線; ②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直; ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行; ④若兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中為真命題的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 答案D 解析分別與兩條異面直線都相交的兩條直線,可能相交也可能異面,故①錯誤;根據(jù)面面垂直的判定定理,當(dāng)一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面一定相互垂直,故②正確;垂直于同一直線的兩條直線可能平行,也可能相交,也可能異面,故③錯誤;由面面垂直的性質(zhì)定理,當(dāng)兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直,故④正確.故選D. 10.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,則下列說法正確的是( ) A.EG,FH,AC交于一點(diǎn) B.EF,GH,BD交于一點(diǎn) C.EFGH為平行四邊形 D.AC∥平面EFGH 答案A 解析∵G,H不是BC,CD的中點(diǎn),∴EF≠GH. 又EF∥GH,∴EG與FH必相交,設(shè)其交點(diǎn)為M, ∵EG?平面ABC,HF?平面ACD, ∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD. ∴M在平面ABC與平面ACD的交線上. 又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴M∈AC. 故EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上. 11.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,正三角形ABC的頂點(diǎn)A,B分別在xOy平面和z軸上移動.若AB=2,則點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最遠(yuǎn)距離為( ) A.3-1 B.2 C.3+1 D.3 答案C 解析連接OA,取AB的中點(diǎn)E,連接OE,CE,根據(jù)題意可得: ∵Rt△AOB中,斜邊AB=2, ∴OE=12AB=1. 又∵正三角形ABC的邊長為2, ∴CE=32AB=3, 對圖形加以觀察,當(dāng)點(diǎn)A,B分別在xOy平面和z軸上移動時,可得當(dāng)O,E,C三點(diǎn)共線時,點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離最遠(yuǎn),且最遠(yuǎn)距離等于3+1.故選C. 12. 如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CC1上一動點(diǎn),過直線AQ的平面分別與棱BB1,DD1交于點(diǎn)P,R,則下列結(jié)論錯誤的是( ) A.對于任意的點(diǎn)Q,都有AP∥QR B.對于任意的點(diǎn)Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形 C.存在點(diǎn)Q,使得△ARP為等腰直角三角形 D.存在點(diǎn)Q,使得直線BC∥平面APQR 答案C 解析∵AB∥CD,AA1∥DD1,∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1, ∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,∴AP∥QR,故A正確. ∵四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行, ∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,∴PQ與AR不平行,故四邊形APQR不可能為平行四邊形,故B正確. 延長CD至M,使得DM=CM,則四邊形ABCM是矩形, ∴BC∥AM. 當(dāng)R,Q,M三點(diǎn)共線時,AM?平面APQR, ∴BC∥平面APQR,故D正確.故選C. 13. (2017浙江溫州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=2.現(xiàn)將△ABD沿BD折起,當(dāng)二面角A-BD-C處于π6,5π6過程中,直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是( ) A.-528,28 B.28,528 C.0,28 D.0,528 答案D 解析如圖所示,取BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,∴∠AEC即為二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AECEcos∠AEC=4-23cos∠AEC,∠AEC∈π6,5π6,∴AC∈[1,7], ∴ABCD=22cos- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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