(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第14練 空間幾何體試題.docx
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第14練 空間幾何體 [明晰考情] 1.命題角度:空間幾何體的三視圖,球與多面體的組合,一般以計(jì)算面積、體積的形式出現(xiàn).2.題目難度:中檔或中檔偏難. 考點(diǎn)一 空間幾何體的三視圖與直觀圖 要點(diǎn)重組 (1)三視圖畫法的基本原則:長對(duì)正,高平齊,寬相等;畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線. (2)由三視圖還原幾何體的步驟 — ↓ — ↓ — (3)直觀圖畫法的規(guī)則:斜二測(cè)畫法. 1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖為( ) 答案 A 解析 在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀圖如圖所示,作頂點(diǎn)A,C在xOz平面的投影A′,C′,可得四面體的正視圖.故選A. 2.(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 由三視圖得到空間幾何體,如圖所示, 則PA⊥平面ABCD,平面ABCD為直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1, 所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC. 又BC⊥AB,AB∩PA=A, AB,PA?平面PAB, 所以BC⊥平面PAB. 又PB?平面PAB,所以BC⊥PB. 在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=, 所以△PCD為銳角三角形. 所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB,△PAD,△PBC,共3個(gè).故選C. 3.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖,則此三視圖所描述的幾何體的直觀圖是( ) 答案 D 解析 先觀察俯視圖,由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確,由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確. 4.已知正三棱錐V-ABC的正視圖和俯視圖如圖所示,則該正三棱錐側(cè)視圖的面積是________. 答案 6 解析 如圖,由俯視圖可知正三棱錐的底面邊長為2, 則AO=2sin60=2. 所以VO==2, 則VA′=2. 所以該正三棱錐的側(cè)視圖的面積為22=6. 考點(diǎn)二 空間幾何體的表面積與體積 方法技巧 (1)求三棱錐的體積時(shí),等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上. (2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. (3)已知幾何體的三視圖,可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量,然后求解表面積和體積. 5.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為,D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為( ) A.3B.C.1D. 答案 C 解析 ∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn), ∴AD⊥BC. 又ABC-A1B1C1為正三棱柱,∴AD⊥平面BB1C1C. ∵四邊形BB1C1C為矩形,∴==2=.又AD=2=, ∴=AD==1.故選C. 6.一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的體積是( ) A.B.C.D.1 答案 B 解析 根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形,高為1的三棱錐,故得到體積為211=. 7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為________,其表面積為________. 答案?。?π 16+16+12π 解析 由正視圖和側(cè)視圖可知,該幾何體含有半個(gè)圓柱,再結(jié)合俯視圖不難得到該幾何體是半個(gè)圓柱和一個(gè)倒立的直四棱錐組合而成,如圖.故該幾何體的體積為 V=444+=+8π, 表面積為S=π22+++=16+16+12π. 8.已知一個(gè)圓錐的母線長為2,側(cè)面展開圖是半圓,則該圓錐的體積為________. 答案 π 解析 由題意,得圓錐的底面周長為2π,設(shè)圓錐的底面半徑是r,則2πr=2π,解得r=1, ∴圓錐的高為h==. ∴圓錐的體積為V=πr2h=π. 考點(diǎn)三 多面體與球 要點(diǎn)重組 (1)設(shè)球的半徑為R,球的截面圓半徑為r,球心到球的截面的距離為d,則有r=. (2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí),球的直徑等于正方體的棱長,當(dāng)球外接于長方體時(shí),長方體的體對(duì)角線長等于球的直徑;當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí),球的直徑等于正方體底面的對(duì)角線長. (3)若正四面體的棱長為a,則正四面體的外接球半徑為a,內(nèi)切球半徑為a. 9.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60,則球O的表面積為( ) A.4πB.12πC.16πD.64π 答案 C 解析 在△ABC中,由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2ABACcos60=3, ∴AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC. 又SA⊥平面ABC, ∴SA⊥AB,SA⊥BC, ∴三棱錐S-ABC可補(bǔ)成分別以AB=1,BC=,SA=2為長、寬、高的長方體, ∴球O的直徑為=4, 故球O的表面積為4π22=16π. 10.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為( ) A.πB.C.D. 答案 B 解析 設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1, 由圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知, r,R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形. ∴r==. ∴圓柱的體積為V=πr2h=π1=. 11.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切,則該四棱錐的高是( ) A.6B.5C.D. 答案 D 解析 由題意知,四棱錐P-ABCD是正四棱錐, 球的球心O在四棱錐的高PH上, 過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖: 其中PE,PF是斜高,A為球面與側(cè)面的切點(diǎn). 設(shè)PH=h,易知Rt△PAO∽R(shí)t△PHF, 所以=,即=,解得h=,故選D. 12.一個(gè)圓錐過軸的截面為等邊三角形,它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上,則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________. 答案 解析 設(shè)等邊三角形的邊長為2a,球O的半徑為R, 則V圓錐=πa2a=πa3. 又R2=a2+(a-R)2, 所以R=a, 故V球=3=πa3, 故其體積比值為. 1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐P-BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為( ) A.1∶1B.2∶1C.2∶3D.3∶2 答案 A 解析 由題意可得正視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的,側(cè)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的.又底面ABCD是正方形,所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等,即正視圖與側(cè)視圖的面積之比是1∶1. 2.已知一幾何體的三視圖如圖所示,它的側(cè)視圖與正視圖相同,則該幾何體的體積為( ) A.π+ B.π+ C.π+8 D.π+8 答案 A 解析 由三視圖知該幾何體是正四棱錐(底面為正方形,且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐)與半球體的組合體,且正四棱錐的高為,底面對(duì)角線長為4,球的半徑為2,所以組合體的體積為V=π23+42=π+. 3.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案 C 解析 易知△AOB的面積確定,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉,所以VO-ABC=R2R=36,解得R=6.故S球=4πR2=144π. 解題秘籍 (1)三視圖都是幾何體的投影,要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征. (2)多面體與球的切、接問題,要明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置,利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系,要熟悉長方體與球的各種組合. 1.(2018浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是( ) A.2B.4C.6D.8 答案 C 解析 由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形,高為2的直四棱柱,直角梯形的上、下底邊長分別為2,1,高為2, ∴該幾何體的體積為V=2=6. 故選C. 2.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的最大邊長為( ) A. B. C. D.2 答案 B 解析 根據(jù)三視圖作出原幾何體(四棱錐P-ABCD)的直觀圖如下: 可計(jì)算PB=PD=BC=,PC=,故該幾何體的最大邊長為. 3.如圖是棱長為2的正方體的表面展開圖,則多面體ABCDE的體積為( ) A.2 B. C. D. 答案 D 解析 多面體ABCDE為四棱錐(如圖),利用割補(bǔ)法可得其體積V=4-=,故選D. 4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,下圖畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A.12+6+18 B.9+6+18 C.9+8+18 D.9+6+12 答案 B 解析 作出該幾何體的直觀圖如圖所示(所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn)),故所求幾何體的表面積S=23+23+46+34+43=9+6+18,故選B. 5.某錐體的三視圖如圖所示,用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分,則截面面積為( ) A.2 B.2 C.2 D.2 答案 C 解析 三視圖表示的幾何體(如圖)是四棱錐(鑲嵌入棱長為2的正方體中),且四棱錐F-ABCD的底面為正方形ABCD,面積為4,設(shè)截面面積為S,所截得小四棱錐的高為h, 則 解得S=2. 6.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成,俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成,則該幾何體的體積為( ) A.+ B.+ C.+ D.+ 答案 A 解析 該幾何體是一個(gè)半球,上面有一個(gè)三棱錐, 體積為V=111+π3=+,故選A. 7.(2018全國Ⅰ)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為( ) A.2 B.2 C.3 D.2 答案 B 解析 先畫出圓柱的直觀圖,根據(jù)題中的三視圖可知,點(diǎn)M,N的位置如圖①所示. 圓柱的側(cè)面展開圖及M,N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示,連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑.|ON|=16=4,|OM|=2, ∴|MN|===2. 故選B. 8.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是( ) A.8πB.12πC.16πD. 答案 D 解析 如圖所示,該幾何體是三棱錐D—ABC,其中AB=2,AC=2,BC=2,取BC的中點(diǎn)E,連接DE,則DE=,且AB⊥AC,DE⊥平面ABC,故外接球球心O必在直線DE上,設(shè)三棱錐D—ABC外接球的半徑為R,由(OD-DE)2+EC2=OC2=R2,得(R-)2+()2=R2,解得R2=,故三棱錐D—ABC的外接球的表面積S=4πR2=,故選D. 9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體共有________條棱;該幾何體的體積為________cm3. 答案 8 1 解析 由三視圖知該幾何體為底面為上底是1cm,下底是2cm,高是1cm的直角梯形,有一條高為2cm的棱垂直于底面的四棱錐,則其有8條棱,體積為21=1(cm3). 10.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1),則該“陽馬”最長的棱長為________. 答案 5 解析 由三視圖知,幾何體是四棱錐,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,如圖所示. 其中PA⊥平面ABCD,∴PA=3,AB=CD=4,AD=BC=5, ∴PB==5,PC==5,PD==. ∴該幾何體最長的棱長為5. 11.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是正三角形,則該幾何體的體積為________. 答案 2 解析 依題意得,該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1截去四棱錐A-BEDC得到的,故其體積V=223-2=2. 12.已知三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F,則該三棱錐外接球的表面積為________. 答案 解析 連接BF,由題意,得△BCD為等腰直角三角形,E是外接圓的圓心. ∵點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F, ∴BF==, ∴AF==. 設(shè)球心O到平面BCD的距離為h,則1+h2=+2,解得h=, ∴外接球的半徑r==, 故該三棱錐外接球的表面積為4π=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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