（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第9練 三角恒等變換與三角函數(shù)精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

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第9練　三角恒等變換與三角函數(shù) [明晰考情]　1.命題角度：常與三角恒等變換結(jié)合，考查三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、最值等.2.題目難度：三角函數(shù)的大題一般在解答題的第一個(gè)題，和數(shù)列問(wèn)題交替考查，中低檔難度. 考點(diǎn)一　三角函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題 方法技巧　類比y＝sinx的性質(zhì)，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一個(gè)整體t，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號(hào)；利用函數(shù)y＝Asint的圖象可求得函數(shù)的最值(值域). 1.(2017浙江)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R). (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解　(1)由sin＝，cos＝－，得 f＝2－2－2＝2. (2)由cos2x＝cos2x－sin2x與sin2x＝2sinxcosx得， f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得， ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (k∈Z). 2.已知函數(shù)f(x)＝sinsinx－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在上的單調(diào)性. 解　(1)f(x)＝sinsinx－cos2x ＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－， 因此f(x)的最小正周期為π，最大值為. (2)當(dāng)x∈時(shí)，0≤2x－≤π， 從而當(dāng)0≤2x－≤， 即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)≤2x－≤π，即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞減. 綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 3.已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當(dāng)x∈時(shí)，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值. 解　(1)∵當(dāng)x∈時(shí)，≤2x＋≤， ∴－≤sin≤1， 又∵a＞0，－5≤f(x)≤1， ∴解得 (2)由a＝2，b＝－5知，f(x)＝－4sin－1， ∴當(dāng)x∈時(shí)，≤2x＋≤， 當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值－5； 當(dāng)2x＋＝，即x＝0時(shí)，f(x)取得最大值－3. 考點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用 要點(diǎn)重組　三角函數(shù)圖象的對(duì)稱問(wèn)題 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸為x＝(k∈Z)，對(duì)稱中心為(k∈Z). (2)y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸為x＝(k∈Z)，對(duì)稱中心為(k∈Z). (3)y＝Atan(ωx＋φ)的對(duì)稱中心為(k∈Z). 方法技巧　(1)代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上). (2)五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)作為突破口. 4.(2018陜西省長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)的解析式； (2)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)y＝f－f的最值. 解　(1)由函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象知， T＝－＝， ∴T＝2π，∴ω＝＝1. 又f＝Asin＝A，且0＜φ＜， ∴φ＝. ∵f(0)＝Asin＝2， ∴A＝4， ∴f(x)＝4sin. (2)函數(shù)y＝f－f ＝4sin－4sin ＝4sin－4sin ＝4sinx＋4cosx－4cosx ＝2sinx－2cosx ＝4sin， 當(dāng)x∈時(shí)，x－∈， ∴當(dāng)x－＝－，即x＝－時(shí)，函數(shù)y取得最小值－4； 當(dāng)x－＝－，即x＝時(shí)，函數(shù)y取得最大值－2. 5.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式； (2)將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象.若y＝g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求θ的最小值. 解　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin. (2)由(1)知，f(x)＝5sin， 得g(x)＝5sin. 因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的圖象的對(duì)稱中心為(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z. 由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱， 令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z， 由θ>0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ取得最小值. 6.(2018宜賓期末)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象與直線y＝2兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為π，且圖象關(guān)于x＝對(duì)稱. (1)求y＝f(x)的解析式； (2)先將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)g(x)的圖象.求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及滿足g(x)≥的x的取值范圍. 解　(1)由已知可得T＝π，＝π，∴ω＝2， 又f(x)的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱， ∴2＋φ＝kπ＋，k∈Z. ∴φ＝kπ－，k∈Z， ∵－<φ<，∴φ＝－. ∴f(x)＝2sin. (2)由(1)可得f(x)＝2sin， ∴g(x)＝2sin， ∴由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， ∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. ∵2sin≥，∴sin≥， ∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， ∴x的取值范圍是. 考點(diǎn)三　三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 方法技巧　求解三角函數(shù)問(wèn)題的兩個(gè)思想 (1)整體思想：對(duì)于y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)，可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，設(shè)t＝ωx＋φ，解y＝Asint，通過(guò)研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解目標(biāo). (2)數(shù)形結(jié)合思想：結(jié)合函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的性質(zhì). 7.(2017山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0. (1)求ω的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的最小值. 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ＝sinωx－cosωx ＝ ＝sin. 由題設(shè)知，f＝0， 所以－＝kπ，k∈Z， 故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0＜ω＜3， 所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因?yàn)閤∈， 所以x－∈， 當(dāng)x－＝－， 即x＝－時(shí)，g(x)取得最小值－. 8.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，P是圖象的最高點(diǎn)，Q為圖象與x軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OQ＝4，OP＝，PQ＝. (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，求函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)的值域. 解　(1)在△OPQ中，cos∠POQ＝＝＝， 所以sin∠POQ＝＝， 所以P(1,2)， 所以A＝2，周期T＝4(4－1)＝12， 又＝12，則ω＝. 將點(diǎn)P(1,2)代入f(x)＝2sin， 得sin＝1， 因?yàn)?＜φ＜， 所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)由題意，可得g(x)＝2sin. 所以h(x)＝f(x)g(x) ＝4sinsin ＝2sin2＋2sincos ＝1－cos＋sin ＝1＋2sin. 當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，x－∈， 所以sin∈， 所以函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇0,3]. 9.已知向量a＝(2cosx，sinx)，b＝(cosx,2cosx)，函數(shù)f(x)＝ab＋m(m∈R)，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)的最小值為2. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，再把所得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求方程g(x)＝4在區(qū)間上的所有根之和. 解　f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m＝cos2x＋sin2x＋m＋1＝2＋m＋1＝2sin＋m＋1. 因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，2x＋∈， 所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值－1＋m＋1＝2， 所以m＝2，所以f(x)＝2sin＋3. (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y＝2sin＋3，再把所得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為g(x)＝2sin＋3. 由g(x)＝4，得sin＝， 解得4x－＝2kπ＋(k∈Z)或4x－＝2kπ＋(k∈Z)， 即x＝＋(k∈Z)或x＝＋(k∈Z). 因?yàn)閤∈， 所以x＝或， 故所求所有根之和為＋＝. 典例　(12分)已知m＝(cosωx，cos(ωx＋π))，n＝(sinωx，cosωx)，其中ω>0，f(x)＝mn，且f(x)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為. (1)若f＝－，α∈，求cosα的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 審題路線圖 (1) (2) 規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 解　f(x)＝mn＝cosωxsinωx＋cos(ωx＋π)cosωx ＝cosωxsinωx－cosωxcosωx ＝－＝sin－.3分 ∵f(x)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為， ∴T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－.4分 (1)f＝sin－＝－， ∴sin＝， ∵α∈，∴α－∈， 又sin＝，∴cos＝.6分 ∴cosα＝cos ＝coscos－sinsin ＝－＝.8分 (2)f(x)經(jīng)過(guò)變換可得g(x)＝sin－，10分 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.12分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　化簡(jiǎn)變形：利用輔助角公式將三角函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式. [第二步]　整體代換：將“ωx＋φ”看作一個(gè)整體，研究三角函數(shù)性質(zhì). [第三步]　回顧反思：查看角的范圍對(duì)函數(shù)影響，評(píng)價(jià)結(jié)果的合理性，檢查步驟的規(guī)范化. 1.(2018北京理工大學(xué)附中月考)已知函數(shù)f(x)＝sin，x∈R. (1)如果點(diǎn)P是角α終邊上一點(diǎn)，求f(α)的值； (2)設(shè)g(x)＝f(x)＋sinx，當(dāng)x∈時(shí)，求g(x)的最大值. 解　(1)f(x)＝sinxcos＋cosxsin＝sinx＋cosx. ∵P是角α終邊上一點(diǎn)， ∴sinα＝，cosα＝， ∴f(α)＝sinα＋cosα＝＋＝. (2)g(x)＝f(x)＋sinx＝sinx＋cosx， 根據(jù)輔助角公式可得g(x)＝sin， ∵x∈， ∴x＋∈， 故當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，g(x)有最大值. 2.(2018江蘇)已知α，β為銳角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值. 解　(1)方法一　因?yàn)閠anα＝，tanα＝， 所以sinα＝cosα. 又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此，cos2α＝2cos2α－1＝－. 方法二　cos2α＝＝＝－. (2)因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈(0，π). 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－，所以α＋β∈， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因?yàn)閠anα＝， 所以tan2α＝＝－. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝＝－. 3.(2018北京)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值. 解　(1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx ＝－cos2x＋sin2x ＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝π. (2)由(1)知，f(x)＝sin＋. 由題意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－. 要使得f(x)在區(qū)間上的最大值為， 即sin在區(qū)間上的最大值為1， 所以2m－≥，即m≥. 所以m的最小值為. 4.(2018淮南期末)已知向量m＝，n＝，記f(x)＝mn. (1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝ g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(x)－k在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解　(1)f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋， 由＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z， 即＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z， 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z， 最小正周期T＝4π. (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)＝sin＋的圖象. 因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，－≤－≤π， 所以－≤sin≤1， 所以0≤sin＋≤. 若函數(shù)y＝g(x)－k在上有零點(diǎn)， 則函數(shù)y＝g(x) 的圖象與直線y＝k在上有交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.