陜西省藍田縣高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 4.1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1教案 北師大版選修1 -1.doc

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4.1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 （1）三維目標： ①知識與技能：能探索并應用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間，能由導數(shù)信息繪制函數(shù)大致圖象。 ②過程與方法：培養(yǎng)學生的觀察能力、歸納能力，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。 ③情感、態(tài)度與價值觀： 通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結(jié)，引導學生養(yǎng)成自主學習的學習習慣。 （2）教學重點 探索并應用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間。 （3）教學難點 利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟及方法。 教學過程：【教學引入】 1、 確定函數(shù)在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？在哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？ 都是反映函數(shù)隨自變量的變化情況。 2、研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間你有哪些方法？ （1） 觀察圖象的變化趨勢；（函數(shù)的圖象必須能畫出的） （2） 利用函數(shù)單調(diào)性的定義。（復習一下函數(shù)單調(diào)性的定義） 2、確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？ （1） 能畫出函數(shù)的圖象嗎？那如何解決？試一試。提問一個學生：解決了嗎？到哪一步解決不了？（產(chǎn)生認知沖突） （2） （多媒體放映） 【發(fā)現(xiàn)問題】定義是解決單調(diào)性最根本的工具，但有時很麻煩，甚至解決不了。尤其是在不知道函數(shù)的圖象的時候，如函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7，這就需要我們尋求一個新的方法來解決。（研究的必要性）事實上用定義研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也不容易。 【探 究】 我們知道函數(shù)的圖象能直觀的反映函數(shù)的變化情況，下面通過函數(shù)的圖象規(guī)律來研究。 問：如何入手？（圖象） 從函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7的圖象嗎？ 1、研究二次函數(shù)的圖象； （1） 學生自己畫圖研究探索。 （2） 提問：以前我們是通過二次函數(shù)圖象的哪些特征來研究它的單調(diào)性的？ （3） （開口方向，對稱軸）既然要尋求一個新的辦法，顯然要換個角度分析。 （4） 提示：我們最近研究的哪個知識（通過圖象的哪個量）能反映函數(shù)的變化規(guī)律？ （5） 學生繼續(xù)探索，得出初步規(guī)律。幾何畫板演示，共同探究。 得到這個二次函數(shù)圖象的切線斜率的變化與單調(diào)性的關(guān)系。（學生總結(jié)）： ①該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，切線斜率小于0，即其導數(shù)為負； 在區(qū)間上單調(diào)遞增，切線斜率大于0，即其導數(shù)為正； 注：切線斜率等于0，即其導數(shù)為0；如何理解？ ②就此函數(shù)而言這種規(guī)律是否一致？是否其它函數(shù)也有這樣的規(guī)律呢？ 2、先看一次函數(shù)圖象； 3、再看兩個我們熟悉的函數(shù)圖象。（驗證） （1） 觀察三次函數(shù)的圖象；（幾何畫板演示） （2） 觀察某個函數(shù)的圖象。（幾何畫板演示） 指出：我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有密切的關(guān)系。這節(jié)課我們就來學習如何用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（幻燈放映課題）。 【新課講解】 4、請同學們根據(jù)剛才觀察的結(jié)果進行總結(jié)：導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？請一個學生回答。（幻燈放映） 一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi) 如果在這個區(qū)間內(nèi)，則為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)； 如果在這個區(qū)間內(nèi)，則為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。 若在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常函數(shù)。 這個結(jié)論是我們通過觀察圖象得到的，只是一個猜想，正確嗎？答案是肯定的。嚴格的證明需要用到中值定理，大學里才能學到。這兒我們可以直接用這個結(jié)論。 小結(jié)：數(shù)學中研究問題的常規(guī)思想方法是：從特殊到一般，從簡單的復雜。 結(jié)論應用： 由以上結(jié)論知：函數(shù)的單調(diào)性與其倒數(shù)有關(guān)，因此我們可以用導數(shù)法去探討函數(shù)的單調(diào)性。下面舉例說明： 【例題講解】 例1、 求證：在上是增函數(shù)。（可選） 由學生敘述過程老師板書： ，，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)。 注：我們知道在R上是增函數(shù)，課后試一試，看如何用導數(shù)法證明。 學生歸納步驟：1、求導；2、判斷導數(shù)符號；3、下結(jié)論。 例2、 確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 由學生敘述過程老師板書： 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴當x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù);當x∈(2，+∞)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù). 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù). 例3、判定函數(shù)y=ex-x+1的單調(diào)區(qū)間. 學生小結(jié)：用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1） 確定函數(shù)f(x)的定義域； （2） 求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x). （3） 令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間. 令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間 【課堂練習】 1、函數(shù)f(x)=x3-3x+1的減區(qū)間為( ) (A)(-1,1) （B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、函數(shù)y=a(x3-x)的減區(qū)間為 ， a的取值范圍為( ) (A)a>0 (B)–11 (D) 00, 則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數(shù). 2.本節(jié)課中,用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性是中心,能靈活應用導數(shù)解題是目的,另外應注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應用. 3.掌握研究數(shù)學問題的一般方法:從特殊到一般,從簡單到復雜.