新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 4.4 第2課時(shí)　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課) 學(xué)案.docx

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1、第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課) 遍_(kāi)知識(shí)探究—?—素一養(yǎng)-啟一迪一t?小試身手 1. 若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y二3'的反函數(shù)則f?的值為(B)(A)-log23(B)-log32(C)i(D)V3 9解析：由y二f(x)的反函數(shù)是y=3'知f(x)=log3x.故f(|)=log3|=-log32.￡￡ 2. 若a二Ig11,b二Ig9,c=lg*則a,b,c的大小關(guān)系是(C)(A)b>c>a(B)b>a>c (C)a>b>c(D)a>c>b解析：因?yàn)閥=lgx在(0,+8)上是增函數(shù)，所以lgll>lg9>lg:，故a>b>c.故選C. 3. 函數(shù)f(x)=Vln

2、x-l的定義域是(C)(A)(0,e](B)(0,i] e(C)[e,+8)(D)U,+8) e解析：由InxTN0知InxNl,所以xNe.故選C. 4. 函數(shù)f(x)二log2(l+2x)的單調(diào)增區(qū)間是. 解析：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-§+8),又因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x和y=l+2x都是增函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-：,+8). 答案：(~|,+8)廟貌堂-探舅2素美培育一- 點(diǎn)探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性⑥備用例題 ［例1］比較下列各組數(shù)的大小. (1) logiO.2與log20.8;2 (2) log43與logo.25。.5;log3|與log。?；

3、(3) logi.il.7與log0,2l.7.解：⑴logiO.2=log1|=log25. 225因?yàn)閥=log2x在(0,+8)上是增函數(shù)，所以log25>log20.8.所以logiO.2>log20.8. 2(2)因?yàn)閘ogo.25O.5=logii=log121og33=1>1og32,所以log56>log32,所以log32-1logi.i

4、l=0,log0,2l.70,logo.>1.7<0. 所以logL11.7>logo,21.7. ［例2］求不等式log(2a-1)2>l成立的a的范圍. 解:當(dāng)2a-1>1時(shí)，由log(2a-i)2>log(2a-i)(2a-l)知2a-l<2, 即l〈2a-l<2,故Ka<-. 2當(dāng)0<2a-Kl時(shí), 由log(2a-i)2>log(28-i)(2a~l)知2a~l>2,無(wú)解?綜上可知a的取值范圍是(1,|). ［例3］若函數(shù)f(x)=logi(x2-2ax+3)在(-8,口上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a2 的取值范圍是?解析:令g(x

5、)=x2-2ax+3,則函數(shù)f(x)=logig(x)在析8,1］上是增函數(shù), 2等價(jià)于g(x)在(-8,1］上是減函數(shù)且g(x)>0. 故搭甘0,即｛忐甘>0.故心2. 答案：［1,2)［例4］已知函數(shù)f(x)=log2(^)Tog控(2x)的定義域?yàn)椋鄢?］. (1) 設(shè)t=log2x,求t的取值范圍;求f(x)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值. 解：⑴由題意可得xe［V2,8］,所以攔log2xW3,即t的取值范圍為［件. (2)f(x)=log2(Y)?log^2(2x)=2(log2V%_2)(l+log2x) =(log2x-4)(l+log2x). 令t=log2x

6、,則y=(t-4)(t+l)=t2-3t-4=(t-|)2-^,其中3］,所以，當(dāng)t=|,即x=2據(jù)時(shí),f(x)有最小值 253， 當(dāng)t=3,即x=8時(shí),f(x)有最大值-4. ［例5］若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且a^l)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(V2,|),則a=. 解析:因?yàn)辄c(diǎn)(梅,：)在y=f(x)的圖象上,所以點(diǎn)(|,V2)在y/的圖象2— 上，則有V2=a3,又因?yàn)閍>0,所以a2=2fa=V2. 答案:扼［例6］己知函數(shù)f(x)=loga^(a>0,且a#=l). (D求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解：(1)

7、要使此函數(shù)有意義，則有fx+1>0,^(x+1<0, tx-1>01x-1V0,解得X>1或X<-1, 故此函數(shù)的定義域?yàn)榇?,-1)U(1,+8). (2)由(1)可得f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因?yàn)閒(-x)=log=m=log=m=Togaf=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù). -x-1X+lX-1 f(x)=lOg蘆卜loga(l+土),X-1x-1 函數(shù)U=l+土在區(qū)間(-8,-1)和區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，X-1 所以當(dāng)a>l時(shí),f(x)=loga^的單調(diào)遞減區(qū)間為以8,-1),(1,+8),無(wú)X-1 單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)0<次1時(shí),f(x)=10康壬的單調(diào)遞

8、增區(qū)間為(-X-1 8,-1),(1,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間. 課堂達(dá)標(biāo) 1. 不等式log2xV2)(D){x|x>乎}解析:依題意log2xlogo.35(B)log70.5>0 (C)ln3log22=l,log43

9、g44=l. 故log23>log43,故D不正確.選AC. 3. 若logi(2m)m-l>0.即pm>血?，則m>i. Im-1>0. 答案：(1,+8)函數(shù)y=logi⑵+1)的值域?yàn)? 2解析：因?yàn)?、+1>1,函數(shù)y=logix是(0,+8)上的減函數(shù)， 2所以logi(2x4-l)

10、3與logi3; 25logu2與loga3(a>0,且a^l). 解：(l)y=logix在(0,+8)上單調(diào)遞減,2 又因?yàn)椋?，所以1ogi，>1OgiO/2D2/ (2) 因?yàn)樵趚e(1,+8)上,y=logix的圖象在y=logix圖象的上方,52 所以Iogi3l時(shí)，y=logax為增函數(shù)，所以logn2loga3. 即時(shí)訓(xùn)練IT：比較下列各組數(shù)的大小. (1) loga2.7,loga2.8(a>0,且a/1);log34,log65; (2) log。/,lo

11、g97. 解：(1)當(dāng)a>l時(shí)，由函數(shù)y=logax的單調(diào)性可知loga2.7loga2.8. (2)log34>log33=l,log65log65. ⑶1og0.37<1ogo.31=0,1og97>1og91=0,所以logo.37

12、ax與y=logbx的圖象； ① 作直線x=c與兩圖象分別交于A,B兩點(diǎn)；根據(jù)A,B點(diǎn)高低判斷對(duì)數(shù)值的大小. (3) logab與logcd型(底數(shù)不同，真數(shù)不同)取中間值,通常為1,0,logad或logcb; ① 把兩個(gè)對(duì)數(shù)值與中間值進(jìn)行比較；利用不等關(guān)系的傳遞性，間接得到對(duì)數(shù)值的大族支 探究角度2對(duì)數(shù)不等式的解法[例2](1)解不等式log2(x+l)>log2(l-x); (2)若logAl,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. Ox+1>0, 解：(1)原不等式等價(jià)于1-X>0,X+1>1-%, 解得0l,則loga|

13、ogaa,所以a>l. 若0logfl(l-x),求x的集合. x+1>0,解：當(dāng)a>l時(shí),1-x>0,得解集為(0,1). x+1>l~x%+1>0, 當(dāng)時(shí)，1-x>0,得解集為(-1,0)?(*+1V1~工 孑方法總結(jié) (/(%)>0,logaf(x)l與不等式組，g{x)>0,同解. If(%)0, (1) logaf(x)

14、］g{x)>0,同解. Lf(%)>g(x)特別地:當(dāng)?shù)讛?shù)的取值范圍不確定時(shí)，通常需要對(duì)底數(shù)按a衣|o〈a0得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?x|x>2或x<-；}. 當(dāng)a>l時(shí),y=logat為增函數(shù),t=2x2-3x-2在(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,-j)上單調(diào)遞減， 所以f(X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,-1)上單調(diào)遞減. 當(dāng)0

15、， 所以f(X)在(2,+8)上單調(diào)遞減，在(-8,三)上單調(diào)遞增. 綜上可知，當(dāng)a>l時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-8,-9； 當(dāng)0〈索1時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,彳)，單調(diào)減區(qū)間為(2,+8).即時(shí)訓(xùn)練3-1:求函數(shù)f(x)=log2(x2-l)的單調(diào)區(qū)間. 解:令x2-l>0,所以X>1或X<-1. 設(shè)U=X2-1,當(dāng)X>1時(shí),U=X2-1單調(diào)遞增. a二2>1,所以f(x)=log2(x2-l)的增區(qū)間為(1,+8).當(dāng)X<-1時(shí),u=x2-l單調(diào)遞減. f(x)=log2(x2-l)的減區(qū)間為(-8,-1). 孑方法總結(jié)解決對(duì)數(shù)型復(fù)合

16、函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的思路 (1) 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可以分為兩類:一類是外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),即y=logaf(x)型；另一類是內(nèi)層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，即y二f(log-x)型. ① 對(duì)于y=logllf(x)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調(diào)性在a>l時(shí)相同,在0

17、二對(duì)數(shù)(型)函數(shù)的值域與最值問(wèn)題[例4]設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-X)(a>0,a尹1),且f(1)=2. ⑴求a的值；(2)求f(x)在區(qū)間[0,:]上的最大值. 解：⑴因?yàn)閒(1)=2,所以f(l)=loga2+logu2=loga4=2,所以a=2. ⑵^3-x>0得x《(T，3),所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,3), f(x)=log2(l+x)+log-j(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2(~x2+2x+3)=log2[—(x—1)2+4], 記t=-(x-1)2+4,因?yàn)閤e[0,|], 所以x=l時(shí),t有最大值4,當(dāng)x=0時(shí)

18、,t有最小值3. 所以3WtW4. 所以log2t^log24=2. 所以f(x)在區(qū)間[0,§上的最大值為2. 即時(shí)訓(xùn)練4-1:已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0

19、1oga4,即f(x)的最小值為log?4. 由loga4=-2,得a2=4,所以a二4一磚孑方法總結(jié) (1) 對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?-8,+8). (2) 求形如ytlogaf(x)(a>0且a/1)的復(fù)合函數(shù)值域的步驟:①求函數(shù)的定義域;②將原函數(shù)拆分成y=logN(a>0,且a/l),u=f(x)兩個(gè)函數(shù);③由定義域求u的取值范圍;④利用函數(shù)y=log“u(a>0且2尹1)的|單調(diào)性求值域.同理可求y=f(log,x)(a>0且a尹1)型復(fù)合函數(shù)蹄HFQ探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系 ［例5］若函數(shù)f(x)=log］三的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-2,3),則解析:根據(jù)反函數(shù)的定義可知，

20、 f(X)=log盧m過(guò)點(diǎn)(3,-2),X+1 即10g2三壬一2,則呼W，解得a=2. 3+144答案：2 即時(shí)訓(xùn)練5-1:若點(diǎn)(2,：)既在f(x)=2g的圖象上，又在其反函數(shù)的圖象上，則a+b=. 解析：由題意知(2,|),G，2)均在函數(shù)f(x)=2心的圖象上，故有(2a+b=-1,(a=-：，{*b=L叫上，所以a+b=--+-=i. 333答案竺 孑方法總結(jié) (1) 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù). (2) 應(yīng)用反函數(shù)的性質(zhì)時(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y二x對(duì)稱； ① 函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(a,b)是y=f(

21、x)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(b,a)的充要條件； ② 互為反函數(shù)的兩函數(shù)的單調(diào)性相同；反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定支點(diǎn)探究點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 ［例6］己知函數(shù)f(x)=log2^-(m^1)是奇函數(shù). 1-mx (1) 求函數(shù)y=f(x)的解析式；用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減. ⑴解：由題意得f(-x)+f(x)=O對(duì)定義域中的x都成立,所以log產(chǎn)土+log2；■^二0,l+mxl~mxnn1+xl~xi即布.成， 所以l-x2=l-m￥Xt定義域中的x都成立,所以m2=l,又m=^l,所以m=-l,所以f(x)=log?—

22、. 1+X(2)證明：法一設(shè)g(x)二孕, JLI人設(shè)X1,X2《(-1,1),旦X10,x2+l>0,X2-Xi〉0. 因?yàn)間(xi)-g(x2)=->0, 所以g(xi)>g(x2),所以函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減. 由g(Xi)>g(x2)>0知log2g(xi)>log2g(x2). 故log上空>10g2次,因此f(x)在(-1,1)±是單調(diào)遞減函數(shù).1+0,且(1+X1)(1-X2)=1-X1X2+X1-X2>O. 所以1-X|X2+X2-X1>1-X1X2+X1-X2,所以l^W2x1>k l-x1x2+x1-x2所以Iog2- 所以Iog2- (1-工1)(1+X2) (l-x2)(14-X1) >0. 所以f(Xi)-f(x2)>0. 所以f(X1)>f(x2). 所以f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.