（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 第5練 數(shù)學文化精準提分練習 文.docx

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第5練　數(shù)學文化 [明晰考情]　1.命題角度：近幾年，為充分發(fā)揮高考的育人功能和積極導向作用，在數(shù)學中出現(xiàn)了數(shù)學文化的內(nèi)容，內(nèi)容不拘一格，古今中外文化兼有.2.題目難度：中檔難度. 考點一　算法、數(shù)列中的數(shù)學文化 方法技巧　(1)和算法結(jié)合的數(shù)學文化，要讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行. (2)數(shù)學文化中蘊含的數(shù)列問題，要尋找數(shù)列前幾項，尋找規(guī)律，抽象出數(shù)列模型. 1.如圖所示的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14,18，則輸出的a為(　　) A.4B.2C.0D.14 答案　B 解析　由題意可知輸出的a是18,14的最大公約數(shù)2，故選B. 2.(2018石嘴山模擬)《張邱建算經(jīng)》是中國古代的數(shù)學著作，書中有一道題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布)，第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計)共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依題意設每天多織d尺，依題意得S30＝305＋d＝390，解得d＝. 3.(2018葫蘆島模擬)20世紀70年代，流行一種游戲——角谷猜想，規(guī)則如下：任意寫出一個自然數(shù)n，按照以下的規(guī)律進行變換：如果n是個奇數(shù)，則下一步變成3n＋1；如果n是個偶數(shù)，則下一步變成，這種游戲的魅力在于無論你寫出一個多么龐大的數(shù)字，最后必然會落在谷底，更準確的說是落入底部的4－2－1循環(huán)，而永遠也跳不出這個圈子，下面程序框圖就是根據(jù)這個游戲而設計的，如果輸出的i值為6，則輸入的n值為(　　) A.5 B.16 C.5或32 D.4或5或32 答案　C 解析　當n＝5時，執(zhí)行程序框圖， i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5， n＝1，i＝6，結(jié)束循環(huán)，輸出i＝6； 當n＝32時，執(zhí)行程序框圖， i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5， n＝1，i＝6，結(jié)束循環(huán)，輸出i＝6. 易知當n＝4時，不符合，故n＝5或n＝32，故選C. 4.名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5,2，則輸出的n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　當n＝1時，a＝，b＝4，滿足進行循環(huán)的條件， 當n＝2時，a＝，b＝8，滿足進行循環(huán)的條件， 當n＝3時，a＝，b＝16，滿足進行循環(huán)的條件， 當n＝4時，a＝，b＝32，不滿足進行循環(huán)的條件，退出循環(huán).故輸出的n值為4. 5.《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個單位，遞減的比例為40%.今共有糧m(m＞0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為(　　) A.20%,369 B.80%,369 C.40%,360 D.60%,365 答案　A 解析　設“衰分比”為a，甲衰分得b石， 由題意，得 解得b＝125，a＝20%，m＝369. 6.(2018浙江)我國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x，y，z，則當z＝81時，x＝____________， y＝________. 答案　8　11 解析　方法一　由題意，得 即解得 方法二　100－81＝19(只)， 813＝27(元)， 100－27＝73(元). 假設剩余的19只雞全是雞翁，則 519＝95(元). 因為95－73＝22(元)， 所以雞母：22(5－3)＝11(只)， 雞翁：19－11＝8(只). 考點二　三角函數(shù)與幾何中的數(shù)學文化 方法技巧　從題目敘述中分析蘊含的圖形及數(shù)量關系，通過分析圖形特征建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)或幾何問題. 7.我國古代數(shù)學名著《九章算術》在“勾股”一章中有如下數(shù)學問題：“今有勾八步，股十五步，勾中容圓，問徑幾何？”.意思是一個直角三角形的兩條直角邊的長度分別是8步和15步，則其內(nèi)切圓的直徑是多少步？則此問題的答案是(　　) A.3步B.6步C.4步D.8步 答案　B 解析　由于該直角三角形的兩直角邊長分別是8和15，則得其斜邊長為17， 設其內(nèi)切圓半徑為r， 則有＋＋＝815(等積法)， 解得r＝3，故其直徑為6步. 8.如圖是我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為α，則tanα等于(　　) A.B.C.5D. 答案　A 解析　由題意得，大正方形的邊長為10，小正方形的邊長為2， ∴2＝10cosα－10sinα， ∴cosα－sinα＝， 又α為銳角，易求得tanα＝. 9.(2018全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來.構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A. 10.我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢即同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩幾何體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對應的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A.4－ B.8－ C.8－π D.8－2π 答案　C 解析　由三視圖知，該幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱. V正方體＝23＝8，V半圓柱＝(π12)2＝π， ∴三視圖對應幾何體的體積V＝8－π. 根據(jù)祖暅原理，不規(guī)則幾何體的體積V′＝V＝8－π. 11.(2018蚌埠模擬)我國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，問高幾何？”意思是：現(xiàn)在有粟米250斛，把它們自然地堆放在平地上，形成一個圓錐形的谷堆，其底面周長為5丈4尺，則谷堆的高為多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使該問題中的谷堆內(nèi)接于一個球狀的外罩，則該外罩的直徑約為(　　) A.5尺 B.9尺 C.10.6尺 D.21.2尺 答案　D 解析　設谷堆的高為h尺，底面半徑為r尺，則2πr＝54，r≈9. 粟米250斛，則體積為2501.62＝π92h，h≈5. 谷堆內(nèi)接于一個球狀的外罩，設球的半徑為R尺. 則R2＝(h－R)2＋r2，解得R≈10.6(尺). ∴2R≈21.2(尺). 12.衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2； ③<；④c1a2>a1c2. 其中正確的式子的序號是(　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案　D 解析?、儆深}圖知2a1>2a2,2c1>2c2，即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正確. ②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正確. ④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴a>a，c>c. 又∵a1－c1＝a2－c2， 即a1＋c2＝a2＋c1， 即a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1， ∴a－c＋c－a＋2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1， 整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1. ∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2， ∴④正確. ③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴>，即>，∴③不正確.故選D. 考點三　概率、統(tǒng)計與推理證明中的數(shù)學文化 方法技巧　(1)概率、統(tǒng)計和數(shù)學文化的結(jié)合，關鍵是構建數(shù)學模型. (2)推理證明和實際問題結(jié)合，要根據(jù)已知條件進行邏輯推理，得到相應結(jié)論. 13.我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 答案　B 解析　由系統(tǒng)抽樣的含義，該批米內(nèi)夾谷約為 1534≈169(石). 14.數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學中有回文數(shù)，如343,12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33，…，99共9個，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　三位數(shù)的回文數(shù)為ABA， A共有1到9共9種可能，即1B1,2B2,3B3，…， B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…， 共有910＝90(個)； 其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2,4B4,6B6,8B8， B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…， 其有410＝40(個)， ∴三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率P＝＝. 15.(2018永州模擬)我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1,2，…，9填入33的方格內(nèi)，使三行、三列、兩對角線的三個數(shù)之和都等于15 (如圖).一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3，…，n2填入nn的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形就叫做n階幻方.記n階幻方的一條對角線上數(shù)的和為Nn (如：在3階幻方中，N3＝15)，則N10等于(　　) 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A.1020B.1010C.510D.505 答案　D 解析　n階幻方共有n2個數(shù)，其和為1＋2＋…＋n2＝， ∵n階幻方共有n行， ∴每行的和為＝， 即Nn＝， ∴N10＝＝505. 16.(2018貴港市聯(lián)考)《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中心生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊(如圖所示)，問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　如圖所示，設水深為x尺，由題意得(x＋2)2＝x2＋52，求解關于實數(shù)x的方程，可得x＝，即水深為尺，又葭長為尺，則所求問題的概率為P＝.故選A. 17.(2018北京朝陽區(qū)模擬)廟會是我國古老的傳統(tǒng)民俗文化活動，又稱“廟市”或“節(jié)場”.廟會大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行.廟會上有豐富多彩的文化娛樂活動，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一顆金蛋，如果有獎品，則“中獎”).今年春節(jié)期間，某校甲、乙、丙、丁四位同學相約來到某廟會，每人均獲得砸一顆金蛋的機會.游戲開始前，甲、乙、丙、丁四位同學對游戲中獎結(jié)果進行了預測，預測結(jié)果如下： 甲說：“我或乙能中獎”；　　　　乙說：“丁能中獎”； 丙說：“我或乙能中獎”；　　　　丁說：“甲不能中獎”. 游戲結(jié)束后，這四位同學中只有一位同學中獎，且只有一位同學的預測結(jié)果是正確的，則中獎的同學是(　　) A.甲B.乙C.丙D.丁 答案　A 解析　由四人的預測可得下表： 中獎人 預測結(jié)果 甲 乙 丙 丁 甲 √ 乙 √ √ √ 丙 √ √ 丁 √ √ 由分析可知，中獎者是甲. 1.南北朝時期的數(shù)學古籍《張邱建算經(jīng)》有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.問：每等人比下等人多得幾斤？”(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列{an}構成等差數(shù)列，設公差為d，則每一等人比下一等人多得d斤金， 由題意得即 解得d＝， ∴每一等人比下一等人多得斤金. 2.(2018山東、湖北部分重點中學模擬)朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”.其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升，問修筑堤壩多少天”，在該問題中前5天共分發(fā)了多少升大米？(　　) A.1170 B.1380 C.3090 D.3300 答案　D 解析　設第n天派出的人數(shù)為an，則{an}是以64為首項，7為公差的等差數(shù)列，則第n天修筑堤壩的人數(shù)為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝64n＋7，所以前5天共分發(fā)的大米數(shù)為3(S1＋S2＋S3＋S4＋S5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)64＋(1＋3＋6＋10)7]＝3300(升). 3.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了(　　) A.192里B.96里C.48里D.24里 答案　B 解析　設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q＝， 由題意得＝378， 解得a1＝192，則a2＝192＝96， 即第二天走了96里，故選B. 4.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是(　　) (注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積； ②一尺等于十寸) A.1寸 B.2寸 C.3寸 D.4寸 答案　C 解析　如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸. ∵積水深9寸， ∴水面半徑為(14＋6)＝10(寸)， 則盆中水的體積為π9(62＋102＋610)＝588π(立方寸). ∴平地降雨量等于＝3(寸). 故選C. 5.(2018吉林調(diào)研)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位所著，該作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問題的程序框圖，若輸出的S值為0，則開始輸入的S值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　模擬程序的運行，可得 當i＝1時，S＝2S－1，i＝1滿足條件i<3，執(zhí)行循環(huán)體； 當i＝2時，S＝2(2S－1)－1，i＝2滿足條件i<3，執(zhí)行循環(huán)體； 當i＝3時，S＝2[2(2S－1)－1]－1，i＝3不滿足條件i<3，退出循環(huán)體，輸出S＝0， ∴2[2(2S－1)－1]－1＝0， ∴S＝. 6.(2018聊城模擬)我國三國時期的數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形.設直角三角形中一個銳角的正切值為3.在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自小正方形內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　不妨設兩條直角邊為3,1，故斜邊，即大正方形的邊長為＝，小正方形邊長為2，故概率為＝. 7.(2018南昌模擬)歐陽修在《賣油翁》中寫道“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆蓋其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4cm的圓面，中間有邊長為1cm的正方形孔.現(xiàn)隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計)，則油滴落入孔中的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由題意可得直徑為4cm的圓的面積為π2＝4π(cm2)，而邊長為1cm的正方形的面積為11＝1(cm2)，根據(jù)幾何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率為P＝，故選B. 8.(2018遼寧瓦房店模擬)《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為(　　) A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺 答案　B 解析　設四棱錐的外接球半徑為r尺， 則(2r)2＝72＋52＋82＝138， ∴這個四棱錐的外接球的表面積為4πr2＝138π(平方尺). 故選B. 9.原始社會時期，人們通過在繩子上打結(jié)來計算數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”，當時有位父親，為了準確記錄孩子的成長天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)，由細到粗，滿七進一，那么孩子已經(jīng)出生________天. 答案　510 解析　由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數(shù)， 化為十進制數(shù)為173＋372＋27＋6＝510. 10.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x.這可以通過方程＝x確定x＝2，則1＋＝________. 答案　 解析　由題意，可令1＋＝x(x>0)，即1＋＝x， 即x2－x－1＝0，解得x＝， 故1＋＝. 11.如圖所示是畢達哥拉斯(Pythagoras)的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個正方形，設初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為________. 答案　 解析　依題意，正方形的邊長構成以為首項，公比為的等比數(shù)列. 因為共有4095個正方形， 則1＋2＋22＋…＋2n－1＝4095， 所以n＝12. 所以最小正方形的邊長為12－1＝12＝. 12.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上面用點或小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)，將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}.可以推測： (1)b2012是數(shù)列{an}中的第________項； (2)b2k－1＝________.(用k表示) 答案　(1)5030　(2) 解析　由題意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*， 故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15， 由上述規(guī)律可知，b2k＝a5k＝(k∈N*)， b2k－1＝a5k－1＝＝， 故b2012＝b21006＝a51006＝a5030， 即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.