(文理通用)2019屆高考數學大二輪復習 第1部分 專題7 概率與統(tǒng)計 第3講 概率、隨機變量及其分布列練習.doc
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第一部分 專題七 第三講 概率、隨機變量及其分布列 A組 1.小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( C ) A. B. C. D. [解析] 根據題意可以知道,所輸入密碼所有可能發(fā)生的情況如下:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15種情況,而正確的情況只有其中一種,所以輸入一次密碼能夠成功開機的概率是. 2.(2018濰坊模擬)在某項測量中,測量結果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內取值的概率為0.8,則ξ在(0,1)內取值的概率為( C ) A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8 [解析] 因為μ=1,所以P(0<ξ<2)=0.8=2P(0<ξ<1),故P(0<ξ<1)=0.4. 3.某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是( A ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 [解析] 本題考查條件概率的求法. 設A=“某一天的空氣質量為優(yōu)良”,B=“隨后一天的空氣質量為優(yōu)良”,則 P(B|A)===0.8,故選A. 4.隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=. [解析] 設P(ξ=1)=p,則P(ξ=2)=-p,從而由E(ξ)=0+1p+2(-p)=1,得p=.故D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=. 5.(2018河南信陽二模)如圖所示,A,B兩點由5條連線并聯,它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現記從中任取三條線且在單位時間內都通過的最大信息總量為ξ,則P(ξ≥8)=. [解析] 解法一(直接法):由已知得,ξ的可能取值為7,8,9,10, ∵P(ξ=7)==, P(ξ=8)==, P(ξ=9)==, P(ξ=10)==, ∴ξ的概率分布列為: ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=++=. 解法二(間接法):由已知得,ξ的可能取值為7,8,9,10,故P(ξ≥8)與P(ξ=7)是對立事件,所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-=. 6.某小型玩具廠擬對n件產品在出廠前進行質量檢測,若一件產品通過質量檢測能獲利潤10元;否則產品報廢,虧損10元.設該廠的每件產品能通過質量檢測的概率為,每件產品能否通過質量檢測相互獨立,現記對n件產品進行質量檢測后的總利潤為Sn. (1)若n=6時,求恰有4件產品通過質量檢測的概率; (2)記X=S5,求X的分布列,并計算數學期望EX. [解析] (1)n=6時,恰有4件產品通過質量檢測的概率: P=C()4(1-)2=. (2)因為X=S5,所以X的可能取值為-50,-30,-10,10,30,50, P(X=-50)=C()0(1-)5=, P(X=-30)=C()1(1-)4=, P(X=-10)=C()2(1-)3=, P(X=10)=C()3(1-)2=, P(X=30)=C()4(1-)1=, P(X=50)=C()5(1-)0=, 所以X的分布列為: X -50 -30 -10 10 30 50 P EX=-50-30-10+10+30+50=. 7.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分;如果只有一個人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動,求: (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率; (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數學期望EX. [解析] (1)記事件A:“甲第一輪猜對”,記事件B:“乙第一輪猜對”, 記事件C:“甲第二輪猜對”,記事件D:“乙第二輪猜對”, 記事件E:“‘星隊’至少猜對3個成語”. 由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC. 由事件的獨立性與互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P() =+2(+) =. 所以“星隊”至少猜對2個成語的概率為. (Ⅱ)由題意,隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性,得 P(X=0)==, P(X=1)=2(+)==, P(X=2)=+++=, P(X=3)=+==, P(X=4)=2(+)==, P(X=6)===. 可得隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數學期望EX=0+1+2+3+4+6=. B組 1.為了了解今年某校高三畢業(yè)班準備報考飛行員學生的身體素質,學校對他們的體重進行了測量,將所得的數據整理后,畫出了頻率分布直方圖(如圖),已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123,其中第2小組的頻數為12. (1)求該校報考飛行員的總人數; (2)以這所學校的樣本數據來估計全省的總體數據,若從全省報考飛行員的學生中(人數很多)任選3人,設X表示體重超過60kg的學生人數,求X的分布列和數學期望. [解析] (1)設報考飛行員的人數為n,前3個小組的頻率分別為p1,p2,p3,則由條件可得: 解得p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375. 又因為p2=0.25=,故n=48. (2)由(1)可得,一個報考學生體重超過60kg的概率為 P=p3+(0.037+0.013)5=, 由題意知X服從二項分布B(3,), P(x=k)=C()k()3-k(k=0,1,2,3), 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)=0+1+2+3=. 2.從甲地到乙地要經過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為,,. (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數,求隨機變量X的分布列和數學期望; (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. [解析] (1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=(1-)(1-)(1-)=, P(X=1)=(1-)(1-)+(1-)(1-)+(1-)(1-)=, P(X=2)=(1-)+(1-)+(1-)=, P(X=3)==. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數學期望E(X)=0+1+2+3=. (2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數,Z表示第二輛車遇到紅燈的個數,則所求事件的概率為 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) =+=. 所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 3.已知2件次品和3件正品混放在一起,現需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (2)已知每檢測一件產品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數學期望). [解析] (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A. P(A)==. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X=200)==. P(X=300)==. P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=. 故X的分布列為 X 200 300 400 P EX=200+300+400=350. 4.某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖: 以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數,n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數. (1)求X的分布列. (2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值. (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個? 【解析】(1)每臺機器更換的易損零件數為8,9,10,11, 記事件Ai為第一臺機器3年內換掉i+7個零件(i=1,2,3,4) 記事件Bi為第二臺機器3年內換掉i+7個零件(i=1,2,3,4) 由題知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4. 設2臺機器共需更換的易損零件數的隨機變量為X,則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22, P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.20.2=0.04, P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.20.4+0.40.2=0.16, P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.20.2+0.40.4+0.20.2=0.24, P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.20.2+0.40.2+0.20.4+0.20.2=0.24, P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.40.2+0.20.2+0.20.4=0.2, P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.20.2+0.20.2=0.08, P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)要令P(X≤n)≥0.5, ∵0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5, 則n的最小值為19. (3)購買零件所需費用含兩部分,一部分為購買機器時購買零件的費用,另一部分為備件不足時額外購買的費用, 當n=19時,費用的期望為19200+5000.2+1 0000.08+1 5000.04=4 040, 當n=20時,費用的期望為20200+5000.08+1 0000.04=4 080. 所以應選用n=19.- 配套講稿:
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