（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第8練 平面向量試題 理.docx

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第8練　平面向量 [明晰考情]　1命題角度：平面向量數(shù)量積的運算，利用向量判定直線的位置關系、求夾角或距離，另外還可以和函數(shù)、數(shù)列、幾何等交匯考查.2題目難度：中低檔難度. 考點一　平面向量的線性運算 要點重組　(1)平面向量的線性運算：加法、減法、數(shù)乘. (2)向量共線定理. (3)平面向量基本定理. 方法技巧　(1)向量加法的平行四邊形法則：共起點；三角形法則：首尾相連；向量減法的三角形法則：共起點、連終點. (2)已知O為平面上任意一點，則A，B，C三點共線的充要條件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R. (3)證明三點共線問題，可轉化為向量共線解決. 1.(2015江蘇)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________. 答案?。? 解析　因為ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 所以解得故m－n＝－3. 2.(2018江蘇南京金陵中學模擬)設向量a＝，向量b＝，且a∥b，則銳角α的值為________. 答案　 解析　因為a∥b，所以－tan αcos α＝0， 即sin α＝，又α為銳角，所以α＝. 3.已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內(nèi)，OC＝2，且∠AOC＝，設＝λ＋(λ∈R)，則λ的值為________. 答案　 解析　過C作CE⊥x軸于點E. 由∠AOC＝，得OE＝CE＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 4.在△ABC中，點M是線段BC延長線上一點，且滿足BM＝3CM，若＝x＋y，則x－y＝________. 答案　－2 解析　因為＝＋＝＋， 又＝－， 所以＝＋(－)＝－， 所以x＝－，y＝，則x－y＝－2. 考點二　平面向量的數(shù)量積 要點重組　(1)ab＝|a||b|cosθ. (2)|a|2＝aa；cosθ＝. 方法技巧　(1)向量數(shù)量積的求法：定義法，幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義)，坐標法. (2)向量運算的兩種基本方法：基向量法，坐標法. 5.已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60，則＝________. 答案　a2 解析　如圖所示， 由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120. BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120＝a2＋a2－2aa＝3a2， ∴BD＝a. ∴＝||||cos30＝a2＝a2. 6.若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為________. 答案　 解析　由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)(3a＋2b)＝0，即3a2－ab－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，設〈a，b〉＝θ， 即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2cosθ－2|b|2＝0， ∴cosθ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 7.在平面直角坐標系中，已知A(1,0)，B(0，－1)，P是曲線y＝上一個動點，則的取值范圍是__________. 答案　[0,1＋] 解析　由題意知，y＝表示以原點為圓心，1為半徑的上半圓.設P(cosα，sinα)，α∈[0，π]，＝(1,1)， ＝(cosα，sinα＋1)， 所以＝cosα＋sinα＋1＝sin＋1， 因為0≤α≤π，所以≤α＋≤， 所以0≤≤1＋， 所以的取值范圍是[0,1＋]. 8.(2018江蘇南京金陵中學期末)如圖，在平面四邊形ABCD中，O是對角線AC的中點，且OB＝10，OD＝6.若＝－28，則的值為________. 答案　36 解析　如圖，M為FG的中點，＋＝2， ① －＝2. ② 把①式和②式兩邊平方并相減，得＝||2－||2，該結論稱為極化恒等式. 所以＝||2－||2＝－28，所以||2＝64， 故＝||2－||2＝36. 考點三　平面向量的綜合應用 方法技巧　(1)以向量為載體的綜合問題，要準確使用平面向量知識進行轉化，最后歸結為不含向量的問題. (2)平面向量常與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等相結合，利用向量共線或數(shù)量積的知識解題. 9.已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若對任意單位向量e，均有|ae|＋|be|≤，則ab的最大值是________. 答案　 解析　由已知可得 ≥|ae|＋|be|≥|ae＋be|＝|(a＋b)e|， 由于上式對任意單位向量e都成立. ∴≥|a＋b|成立. ∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝12＋22＋2ab. 即6≥5＋2ab，∴ab≤. 10.在△ABC中，∠A＝60，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且＝－4，則λ的值為________. 答案　 解析　由題意知，||＝3，||＝2， ＝32cos60＝3， ＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋， ∴＝(λ－) ＝－2＋2 ＝3－32＋22 ＝λ－5＝－4，解得λ＝. 11.在平面內(nèi)，＝＝＝6，動點P，M滿足||＝2，＝，則||2的最大值是________. 答案　16 解析　由已知易得△ABC是等邊三角形且邊長為2.設O是△ABC的中心，則||＝||＝||＝2. 以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系， 如圖所示， 則A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，). 設P(x，y)，由已知得||＝2， 得(x－2)2＋y2＝4，∵＝， ∴M，∴＝， ∴||2＝， 它表示圓(x－2)2＋y2＝4上的點P(x，y)與點D(－1，－3)的距離的平方的， ∵||max＝＋2＝＋2＝8， ∴||＝＝16. 12.如圖，半徑為2的扇形的圓心角為，M，N分別為線段OP，OQ的中點，A為上任意一點，則的取值范圍是________. 答案　 解析　如圖，以點O為坐標原點，OQ為x軸建立平面直角坐標系，則M，N(1,0)， 由題意可設點A(2cosθ，2sinθ)，其中0≤θ≤， 所以＝， ＝(1－2cosθ，－2sinθ)， 所以＝(1－2cosθ)＋(－2sinθ) ＝－cosθ－sinθ ＝－2cos，其中0≤θ≤， 因為0≤θ≤，所以－≤θ－≤， 所以≤cos≤1，－2≤－2cos≤－1，≤－2cos≤， 即的取值范圍是. 1.若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為________. 答案　120 解析　設a與b的夾角為θ， 由題意得|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，可得2ab＋b2＝2|a||b|cosθ＋b2＝2|a||a|cosθ＋|a|2＝0，解得cosθ＝－，因為0≤θ≤180，所以θ＝120. 2.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數(shù)k應滿足的條件是________. 答案　k＝1 解析　若點A，B，C不能構成三角形，則向量，共線， ∴＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1). ∴1(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. 3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是__________. 答案　∪ 解析　a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)， 由a(a＋λb)＞0，可得λ＞－. 又a與a＋λb不共線， ∴λ≠0. 故λ＞－且λ≠0. 4.在△ABC中，有如下命題，其中正確的是____________.(填序號) ①－＝； ②＋＋＝0； ③若(＋)(－)＝0，則△ABC為等腰三角形； ④若＞0，則△ABC為銳角三角形. 答案?、冖? 解析　在△ABC中，－＝，①錯誤； 若＞0，則B是鈍角，△ABC是鈍角三角形，④錯誤. 解題秘籍　(1)熟練掌握向量數(shù)量積的概念，并且要從幾何意義理解數(shù)量積的性質. (2)注意向量夾角的定義和范圍.在△ABC中，和的夾角為π－B；向量a，b的夾角為銳角要和ab＞0區(qū)別開來(不要忽視向量共線情況，兩向量夾角為鈍角類似處理). 1.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若a－b與ma＋b垂直，則實數(shù)m的值為__________. 答案　 解析　根據(jù)向量a，b的坐標，可得a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因為(a－b)⊥(ma＋b)，所以(a－b)(ma＋b)＝1(2m＋1)＋2(m－1)＝4m－1＝0， 故m＝. 2.在平行四邊形ABCD中，點M在邊CD上，且滿足DM＝DC，點N在CB的延長線上，且滿足CB＝BN，若AB＝3，AD＝4，則的值為________. 答案　30 解析　因為＝＋，＝2－， 所以＝ ＝2＝30. 3.已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120，則|α|的取值范圍是________. 答案　 解析　如圖，由正弦定理， 得＝(0＜θ＜120)， ∴|α|＝sinθ，∴0＜|α|≤. 4.已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1).若A，C，D三點共線，則k＝______. 答案　4 解析　因為＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)，所以＝＋＝(10，k＋1).又A，C，D三點共線，所以∥，所以101－2(k＋1)＝0，解得k＝4. 5.(2018江蘇)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若＝0，則點A的橫坐標為________. 答案　3 解析　設A(a,2a)，則a＞0. 又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0. 由題意知C. 由 解得或∴D(1,2). 又＝0，＝(5－a，－2a)，＝， ∴(5－a，－2a)＝a2－5a－＝0， 解得a＝3或a＝－1. 又a＞0，∴a＝3. 6.(2018南京調(diào)研)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120，＝λ.若＝－，則實數(shù)λ的值為________. 答案　 解析　∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120， ∴由余弦定理可得BC＝， 又根據(jù)余弦定理可得cos∠ABC＝，＝(－)＝λ2－＝19λ－3＝－， 解得λ＝. 7.在銳角△ABC中，tanA＝，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積分別為2和4，過D作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，則＝________. 答案?。? 解析　由tan A＝得cos A＝，sin A＝， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴D，E，A，F(xiàn)四點共圓， 即＝||||(－cos A) ＝－||||， ∵DEAB＝2，DFAC＝4， ABACsin A＝2＋4＝6， ∴ABAC＝12， ∴||||＝＝＝， 因此＝－. 8.在梯形ABCD中，＝2，||＝6，P為梯形ABCD所在平面上一點，且滿足＋＋4＝0，＝||||，Q為邊AD上的一個動點，則||的最小值為________. 答案　 解析　如圖，取AB的中點M，則＝，由＋＋4＝0，得＝2，所以P為線段DM上靠近點D的三等分點，由題意知，＝＝||||cos∠ADM＝||||，所以cos∠ADM＝， 則sin∠ADM＝，所以||的最小值為2sin∠ADM＝. 9.(2018江蘇溧水第二高級中學聯(lián)考)在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(點E為靠近A點的三等分點)，＝4，＝－1，則的值是________. 答案　 解析　∵D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點， ∴＝＋，＝－＋， ＝＋3，＝－＋3， ∴＝2－2＝－1， ＝92－2＝4， ∴2＝，2＝， 又∵＝＋2，＝－＋2， ∴＝42－2＝. 10.在等腰直角△ABC中，∠A＝90，AB＝，AD是BC邊上的高，P為AD的中點，M，N分別為AB邊和AC邊上的點，且M，N關于直線AD對稱，當＝－時，＝________. 答案　3 解析　由等腰直角△ABC中，∠A＝90，AB＝，AD是BC邊上的高，P為AD的中點知，AD＝1，AP＝，又＝－，知(＋)(＋)＝－， 化簡為2＋(＋)＋＝－，由M，N關于直線AD對稱知，||cos135＋||cos135＝－，故AM＝，所以＝3. 11.在邊長為1的菱形ABCD中，∠A＝，若點P為對角線AC上一點，則的最大值為________. 答案?。? 解析　設＝λ(0≤λ≤1)，則＝－＝－λ，＝－＝－λ，因此＝(－λ)(－λ)＝－λ(＋)＋λ22. 因為四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且∠BAD＝，所以||＝1，＋＝，＝11cos＝－， 從而＝λ2－λ－＝2－， 所以當λ＝0或1時，()max＝－. 12.(2018無錫模擬)如圖，正方形ABCD的邊長為2，△DPC是等腰直角三角形(P為直角頂點)，E，F(xiàn)分別為線段CD，AB上的動點(含端點)，則的取值范圍為________. 答案　 解析　以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以A為坐標原點建立平面直角坐標系(圖略)， 因為ABCD的邊長為2，△DPC是等腰直角三角形， 所以P(1,3)，設E(a,2)，F(xiàn)(b,0)， 因為0≤a≤2,0≤b≤2 ， 所以0≤ab≤4,0≤≤2， ＝(a－1，－1)，＝(b－1，－3)， 所以＝(a－1，－1)(b－1，－3) ＝(a－1)(b－1)＋3， 因為0≤a≤2,0≤b≤2， 所以－1≤a－1≤1，－1≤b－1≤1， 所以－1≤(a－1)(b－1)≤1， 所以2≤≤4.