（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第30練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

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第30練　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [明晰考情]1.命題角度：高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.以極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí).2.題目難度：中檔難度. 考點(diǎn)一　曲線的極坐標(biāo)方程 方法技巧　(1)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響，靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧. (2)由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解. 1.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求CP的長(zhǎng). 解　由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 即x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2,0)， 又由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為， 可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)， ∴|CP|＝＝2. 2.在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值. 解　ρ(cosθ＋sinθ)＝1， 即ρcosθ＋ρsinθ＝1對(duì)應(yīng)的普通方程為x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2，得a＝. 3.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A，B，求線段AB的長(zhǎng). 解　∵ρcos＝ρcosθcos－ρsinθsin ＝ρcosθ－ρsinθ＝3， ∴直線l對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cosθ， ∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ， ∴曲線C對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y2＝8x. 解方程組 得或 ∴不妨取A(2，－4)，B(18,12)， ∴|AB|＝＝16. 即線段AB的長(zhǎng)為16. 考點(diǎn)二　參數(shù)方程及其應(yīng)用 要點(diǎn)重組　過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分.使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2). 方法技巧　(1)參數(shù)方程化為普通方程：由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，且消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x，y的限制. (2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問(wèn)題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 4.已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值. 解　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為 d＝|4cosθ＋3sinθ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tanα＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA||PB|的值. 解　(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝16. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 即(t為參數(shù)). (2)把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2＋y2＝16， 得2＋2＝16， 即t2＋(＋2)t－11＝0. 所以t1t2＝－11，即|PA||PB|＝|t1t2|＝11. 6.已知橢圓C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù)). (1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程； (2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與其到直線l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解　(1)橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 直線l的普通方程為x－y＋9＝0. (2)設(shè)P(2cosθ，sinθ)， 則|AP|＝＝2－cosθ， 點(diǎn)P到直線l的距離 d＝＝. 由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5， 又sin2θ＋cos2θ＝1， 得sinθ＝，cosθ＝－. 故P. 考點(diǎn)三　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 方法技巧　(1)解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點(diǎn)的最值問(wèn)題，往往通過(guò)參數(shù)方程引入三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的最值求解. (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的. 7.(2017全國(guó)Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由 解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，. (2)直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l距離d＝. 當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，所以a＝8； 當(dāng)a<－4時(shí)，d的最大值為. 由題設(shè)得＝， 所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 8.已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4. (1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程； (2)若射線θ＝與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，射線θ＝與曲線C交于O，P兩點(diǎn)，求△PAB的面積. 解　(1)由(θ為參數(shù))，消去θ， 得普通方程為(x－2)2＋y2＝4. 從而曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ＝0， 即ρ＝4cosθ， ∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4， 即ρsinθ＋ρcosθ＝4， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0. (2)依題意知，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，， 聯(lián)立射線θ＝與曲線C的極坐標(biāo)方程，得P點(diǎn)極坐標(biāo)為， ∴|AB|＝2， ∴S△PAB＝22sin＝2. 9.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo). 解　(1)C1的普通方程為＋y2＝1. C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cosα，sinα). 因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為點(diǎn)P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為. 典例　(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cosθ＋2sinθ＝0和ρ2＝. (1)求直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)若Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l距離的最大值. 審題路線圖 ―→ 規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 解　(1)由cosθ＋2sinθ＝0，得ρcosθ＋2ρsinθ＝0，即x＋2y＝0， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋2y＝0. 由ρ2＝，得ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，即x2＋4y2＝4，所以＋y2＝1. 所以橢圓C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1.4分 (2)因?yàn)闄E圓C：＋y2＝1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，6分 可設(shè)Q(2cosα，sinα)， 因此點(diǎn)Q到直線l：x＋2y＝0的距離 d＝＝，8分 所以當(dāng)α＝kπ＋，k∈Z時(shí)，d取得最大值. 故點(diǎn)Q到直線l的距離的最大值為.10分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　互化：將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化； [第二步]　引參：引進(jìn)參數(shù)，建立橢圓的參數(shù)方程； [第三步]　列式：利用距離公式求出距離表達(dá)式； [第四步]　求最值：利用三角函數(shù)求出距離的最值. 1.(2018全國(guó)Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn). (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程. 解　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn). 當(dāng)α≠時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)，即點(diǎn)O到l的距離小于半徑1，當(dāng)且僅當(dāng)＜1，解得k＜－1或k＞1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝， 且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 . 2.已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明方程表示什么軌跡； (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sinθ－cosθ＝，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng). 解　(1)因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))， 所以曲線C的普通方程為 (x－3)2＋(y－1)2＝10，① 曲線C表示以C(3,1)為圓心，為半徑的圓. 將代入①并化簡(jiǎn)，得 ρ＝6cosθ＋2sinθ， 即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cosθ＋2sinθ. (2)因?yàn)橹本€l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1， 所以圓心C到直線y＝x＋1的距離d＝， 所以直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2＝. 3.已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值. 解　(1)ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)， 即ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)， 可得x2＋y2－2x－2y＝0， 故C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)由C1的參數(shù)方程可得， C1的普通方程為x＋y＋2＝0. 由(1)知曲線C2是以(1,1)為圓心，為半徑的圓， 且圓心到直線C1的距離d＝＝， 所以動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤θ<π)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4cosα，圓C的圓心到直線l的距離為. (1)求θ的值； (2)已知P(1,0)，若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求＋的值. 解　(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤θ<π)，消去參數(shù)t，得xsinθ－ycosθ－sinθ＝0. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4cosα， 即ρ2＝－4ρcosα， 可得圓C的普通方程為x2＋y2＋4x＝0，即為(x＋2)2＋y2＝4， 可知圓心為(－2,0)，半徑為2，圓C的圓心到直線l的距離為d＝＝3sinθ. 由題意可得d＝， 即3sinθ＝，則sinθ＝， ∵0≤θ<π， ∴θ＝或θ＝. (2)已知P(1,0)，則點(diǎn)P在直線l上，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，將 代入圓C的普通方程x2＋y2＋4x＝0， 得(1＋tcosθ)2＋(tsinθ)2＋4(1＋tcosθ)＝0， ∴t2＋6tcosθ＋5＝0. 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則t1＋t2＝－6cosθ，t1t2＝5， ∵t1t2>0，∴t1，t2同號(hào)， ∴＋＝＋＝＝＝.