（通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第18練 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx

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第18練　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 [明晰考情]　1.命題角度：概率與統(tǒng)計(jì)知識的交匯處是高考命題的考點(diǎn).2.題目難度：中檔難度. 考點(diǎn)一　古典概型與幾何概型 要點(diǎn)重組　　(1)古典概型的兩個(gè)特征 ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等. (2)幾何概型將古典概型的有限性推廣到無限性，幾何概型的測度包括長度、面積、角度、體積等. 1.已知A，B兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)記為1,2,3,4的大小相同的四個(gè)小球，甲從A盒中等可能地取出1個(gè)球，乙從B盒中等可能地取出1個(gè)球. (1)用有序數(shù)對(i，j)表示事件“甲抽到標(biāo)號為i的小球，乙抽到標(biāo)號為j的小球”，試寫出所有可能的事件； (2)甲、乙兩人玩游戲，約定規(guī)則：若甲抽到的小球的標(biāo)號比乙大，則甲勝；反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平？請說明理由. 解　(1)甲、乙兩人抽到的小球的所有情況有 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16種不同的情況. (2)甲抽到的小球的標(biāo)號比乙大，有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6種情況， 故甲勝的概率P1＝＝，乙勝的概率為P2＝1－＝. 因?yàn)椤?，所以此游戲不公? 2.已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y). (1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率； (2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x＋y＝0的距離不大于的概率. 解　(1)集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S＝8.因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的面積S1＝π，故所求概率為P1＝＝. (2)由題意得≤，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，陰影部分面積S2＝4， 所以所求概率為P＝＝. 3.已知關(guān)于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有實(shí)數(shù)根的概率. 解　設(shè)事件A為“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；事件B為“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有實(shí)數(shù)根”. (1)由題意知，基本事件共9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值. 由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－364＞0，得a2＋b2＞4. 事件A要求a，b滿足條件a2＋b2＞4，包含6個(gè)基本事件， 即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)a，b的取值所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，其中0≤a≤3,0≤b≤2. 構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a2＋b2≥4}(如圖中陰影部分(含邊界))， 則所求的概率為P(B)＝＝1－. 考點(diǎn)二　統(tǒng)計(jì)與古典概型的綜合 方法技巧　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，解題中首先要把數(shù)據(jù)分析清楚，明確頻率可近似替代概率，抽象得到古典概型.把握基本事件的構(gòu)成要素. 4.(2018東莞模擬)近幾年來，“精準(zhǔn)扶貧”是政府的重點(diǎn)工作之一，某地政府對240戶貧困家庭給予政府資金扶助，以發(fā)展個(gè)體經(jīng)濟(jì)，提高家庭的生活水平.幾年后，一機(jī)構(gòu)對這些貧困家庭進(jìn)行回訪調(diào)查，得到政府扶貧資金數(shù)、扶貧貧困家庭數(shù)x(戶)與扶貧后脫貧家庭數(shù)y(戶)的數(shù)據(jù)關(guān)系如下： 政府扶貧資金數(shù)(萬元) 3 5 7 9 政府扶貧貧困家庭數(shù)x(戶) 20 40 80 100 扶貧后脫貧家庭數(shù)y(戶) 10 30 70 90 (1)求幾年來該地依靠“精準(zhǔn)扶貧”政策的脫貧率是多少？(答案精確到0.1%). (2)從政府扶貧資金數(shù)為3萬元和7萬元并且扶貧后脫貧的家庭中按分層抽樣抽取8戶，再從這8戶中隨機(jī)抽取兩戶家庭，求這兩戶家庭的政府扶貧資金總和為10萬元的概率. 解　(1)幾年來該地依靠“精準(zhǔn)扶貧”政策的脫貧率是 P＝100%≈83.3%. (2)由題意可知，從政府扶貧資金數(shù)為3萬元和7萬元并且扶貧后脫貧的家庭中分別抽取1戶和7戶，設(shè)從政府扶貧資金數(shù)為3萬元并且扶貧后脫貧的家庭中抽取的1戶為A，從政府扶貧資金數(shù)為7萬元并且扶貧后脫貧的家庭中抽取的7戶分別為B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，再從這8戶中隨機(jī)抽取兩戶的所有可能情況為(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B1，B6)，(B1，B7)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B2，B6)，(B2，B7)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B3，B6)，(B3，B7)，(B4，B5)，(B4，B6)，(B4，B7)，(B5，B6)，(B5，B7)，(B6，B7)，共28種，符合題意的情況有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，共7種， 故所求概率為＝. 5.(2017全國Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率. 解　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100， 所以，Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8. 因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. 6.(2017北京)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： (1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率； (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)； (3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例. 解　(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)10＝0.6， 所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4， 所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4. (2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)10＝0.9， 分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－1000.9－5＝5， 所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400＝20. (3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)10100＝60， 所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60＝30， 所以樣本中的男生人數(shù)為302＝60， 女生人數(shù)為100－60＝40， 所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2， 所以根據(jù)分層抽樣原理，估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2. 考點(diǎn)三　古典概型與統(tǒng)計(jì)案例 方法技巧　(1)回歸分析和概率的交匯問題，要明確所給數(shù)據(jù)的作用，抽象出隨機(jī)事件和古典概型；回歸分析問題解決的關(guān)鍵是找到樣本點(diǎn)，確定回歸類型和回歸方程. (2)獨(dú)立性檢驗(yàn)與古典概型的綜合問題，要明確所要研究的分類變量，根據(jù)已知數(shù)據(jù)正確編制列聯(lián)表，然后通過K2公式計(jì)算并利用參考數(shù)據(jù)得到結(jié)論. 7.(2018惠州模擬)為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下表格： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 溫差x/℃ 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y/顆 23 25 30 26 16 (1)從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率； (2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與4月份所選5天的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的.請根據(jù)4月7日，4月15日與4月21日這三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并判定所得的線性回歸方程是否可靠？ 參考公式：＝＝， ＝－. 參考數(shù)據(jù)：iyi＝977，＝434. 解　(1)所有的基本事件為(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10個(gè). 設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件為(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3個(gè)，故由古典概型概率公式得P(A)＝. (2)由題意得＝＝12，＝＝27,3＝972,32＝432，且iyi＝977，＝434. ∴＝＝＝， ＝27－12＝－3， ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝x－3， 且當(dāng)x＝10時(shí)，y＝22，|22－23|<2； 當(dāng)x＝11時(shí)，y＝，<2； 當(dāng)x＝13時(shí)，y＝，<2； 當(dāng)x＝12時(shí)，y＝27，<2； 當(dāng)x＝8時(shí)，y＝17，|17－16|<2. ∴所得到的線性回歸方程是可靠的. 8.(2018馬鞍山質(zhì)檢)某校為了解該校多媒體教學(xué)普及情況，根據(jù)年齡按分層抽樣的方式調(diào)查了該校50名教師，他們的年齡頻數(shù)及使用多媒體教學(xué)情況的人數(shù)分布如下表： 年齡段(歲) 20～29 30～39 40～49 50～60 頻數(shù) 12 18 15 5 經(jīng)常使用多媒體教學(xué) 6 12 5 1 (1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對是否經(jīng)常使用多媒體教學(xué)有差異？ 年齡低于40歲 年齡不低于40歲 總計(jì) 經(jīng)常使用多媒體教學(xué) 不常使用多媒體教學(xué) 總計(jì) 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 (2)若采用分層抽樣的方式從年齡低于40歲且經(jīng)常使用多媒體的教師中選出6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人年齡在30～39歲的概率. 解　(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得如下22列聯(lián)表： 年齡低于40歲 年齡不低于40歲 總計(jì) 經(jīng)常使用多媒體教學(xué) 18 6 24 不常使用多媒體教學(xué) 12 14 26 總計(jì) 30 20 50 由表中數(shù)據(jù)可得：K2＝＝≈4.327>3.841. ∴有95%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對是否經(jīng)常使用多媒體教學(xué)有差異. (2)由題意，得抽取6人，20～29歲有2人，分別記為A1，A2；30～39歲有4人，分別記為B1，B2，B3，B4；則抽取的結(jié)果共有15種：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)， 設(shè)“至少有1人年齡在30～39歲”為事件A，則事件A包含的基本事件有14種， ∴P(A)＝，即至少有1人年齡在30～39歲的概率為. 典例　(12分)(2018全國Ⅰ)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3， 0.4) [0.4， 0.5) [0.5， 0.6) [0.6， 0.7) 頻數(shù) 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4， 0.5) [0.5， 0.6) 頻數(shù) 1 5 13 10 16 5 (1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖； (2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率； (3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表) 審題路線圖 規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn) 解　(1) 4分 (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為 0.20.1＋10.1＋2.60.1＋20.05＝0.48，8分 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48. (3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為 1＝(0.051＋0.153＋0.252＋0.354＋0.459＋0.5526＋0.655)＝0.48.9分 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 2＝(0.051＋0.155＋0.2513＋0.3510＋0.4516＋0.555)＝0.35.10分 估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48－0.35)365＝47.45(m3).12分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　審數(shù)據(jù)：根據(jù)題中圖表確定統(tǒng)計(jì)中所需的數(shù)據(jù)，并計(jì)算頻率，頻率/組距等； [第二步]　畫圖表：根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖； [第三步]　估分布：根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)總體的分布或其他特征. 1.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下： ①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)； ②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)； ③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng). (1)求小亮獲得玩具的概率； (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由. 解　(1)用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng). 因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是44＝16， 所以基本事件總數(shù)n＝16. 記“xy≤3”為事件A， 則事件A包含的基本事件共5個(gè)， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)， 所以P(A)＝，即小亮獲得玩具的概率為. (2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C. 則事件B包含的基本事件共6個(gè)， 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4). 所以P(B)＝＝. 事件C包含的基本事件共5個(gè)， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1). 所以P(C)＝.因?yàn)椋荆? 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 2.(2018新余模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人. (1)求x； (2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))； (3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽，分別代表相應(yīng)組的成績，年齡組中1～5組的成績分別為93,96,97,94,90，職業(yè)組中1～5組的成績分別為93,98,94,95,90. ①分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差； ②以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對“一帶一路”的認(rèn)知程度. 解　(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組頻率為0.015＝0.05， ∴＝0.05，∴x＝120. (2)設(shè)中位數(shù)為a，則0.015＋0.075＋(a－30)0.06＝0.5，∴a＝≈32，中位數(shù)為32. (3)①5個(gè)年齡組的平均數(shù)為1＝(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差為s＝[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6. 5個(gè)職業(yè)組的平均數(shù)為2＝(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差為s＝[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8. ②評價(jià)：從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來看年齡組的認(rèn)知程度相對更穩(wěn)定. 3.某烹飪學(xué)院為了弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)的飲食文化，舉辦了一場由在校學(xué)生參加的廚藝大賽，組委會(huì)為了解本次大賽參賽學(xué)生的成績情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的成績(滿分100分)作為樣本，將所得分?jǐn)?shù)經(jīng)過分析整理后畫出了頻率分布直方圖和莖葉圖，其中莖葉圖受到污染，請據(jù)此解答下列問題： (1)求頻率分布直方圖中a，b的值，并估計(jì)此次參加廚藝大賽學(xué)生的平均成績； (2)規(guī)定大賽成績在[80,90)的學(xué)生為廚霸，在[90,100]的學(xué)生為廚神，現(xiàn)從被稱為廚霸、廚神的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人去參加校際之間舉辦的廚藝大賽，求所抽取2人中至少有1人是廚神的概率. 解　(1)由題意可知，樣本容量n＝＝40， 所以a＝＝0.0075. 所以10b＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.2， 所以b＝0.02， 平均成績?yōu)?.12555＋0.265＋0.4575＋0.1585＋0.07595＝73.5. (2)由題意可知，廚霸有0.01501040＝6(人)，分別記為a1，a2，a3，a4，a5，a6，廚神有0.00751040＝3(人)，分別記為b1，b2，b3，共9人， 從中任意抽取2人共有36種情況：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)，(a6，b1)，(a6，b2)，(a6，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)， 其中至少有1人是廚神的情況有21種， 所以至少有1人是廚神的概率為＝. 4.(2017全國Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg，估計(jì)A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01). 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2＝. 解　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”. 由題意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C). 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62， 故P(B)的概率估計(jì)值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)5＝0.66， 故P(C)的概率估計(jì)值為0.66. 因此，事件A的概率估計(jì)值為0.620.66＝0.4092. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表如下： 箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 總計(jì) 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計(jì) 96 104 200 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). (3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044)5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為 50＋≈52.35(kg).