新版理數(shù)北師大版練習(xí):第十章 第九節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析
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1、 1
2、 1 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1.(20xx·高考湖北卷)設(shè)X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是( ) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 解析:由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知,
3、X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ)的密度曲線分別關(guān)于直線x=μ1,x=μ2對稱,因此結(jié)合題中所給圖像可得,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A錯誤.又X~N(μ1,σ)的密度曲線較Y~N(μ2,σ)的密度曲線“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),B錯誤.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C正確,D錯誤. 答案:C 2.(20xx·長沙模擬)一臺儀器每啟動一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個5位的二進(jìn)制數(shù) (例如:若a1=a3=a5=1,a2=a4=0,則A=10101),其中二進(jìn)制數(shù)A的各位數(shù)中,已知a1=1,ak(k=2,3
4、,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為,記X=a1+a2+a3+a4+a5,現(xiàn)在儀器啟動一次,則E(X)=( ) A. B. C. D. 解析:法一:X的所有可能取值為1,2,3,4,5,P(X=1)=C40=,P(X=2)=C31=,P(X=3)=C22=,P(X=4)=C13=,P(X=5)=C04=,所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=. 法二:由題意,X的所有可能取值為1,2,3,4,5,設(shè)Y=X-1,則Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,因此Y~B(4,),所以E(Y)=4×=,從而E(X)=E(Y+1)=E(Y)+1=+1=. 答案:
5、B 3.已知袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,則a+b的值是( ) A.1或2 B.0或2 C.2或3 D.0或3 解析:由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=, D(X)=×2+×2+×(2-)2+×2+×2=. 由D(η)=a2D(X),得a2×=11,即a=±2. 又E(η)=aE(X)+b,所以當(dāng)a=2時,由1=2×+b, 得b=-2,此時a+b=0. 當(dāng)a=-2時,由1=
6、-2×+b,得b=4,此時a+b=2.故選B. 答案:B 4.若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則的最大值為( ) A.2+2 B.2 C.2- D.2-2 解析:隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1,且P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,即ξ~B(1,p),根據(jù)公式得E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p),則=2-.而2p+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)2p=,即p=時取等號.因此當(dāng)p=時,取得最大值2-2. 答案:D 5.若某科技小制作課的模型制作規(guī)則是:每位學(xué)生最多制作3次,一旦制作成功,則停止制作,否則可制作3次.設(shè)某
7、學(xué)生一次制作成功的概率為p(p≠0),制作次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>,則p的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:由已知條件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<,又p∈(0,1],可得p∈,故選C. 答案:C 6.(20xx·高考廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p= . 解析:由
8、得p=. 答案: 7.已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2.若E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為 . 解析:由題意得X的所有可能取值為x1,x2,所以E(X)=x1+x2=,D(X)=2+2=,整理得, 解得或(舍去),故x1+x2=3. 答案:3 8.(20xx·淄博模擬)某4S店在一次促銷活動中,讓每位參與者從盒子中任取一個由0~9中任意三個數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”(即個位數(shù)字小于十位數(shù)字,十位數(shù)字小于百位數(shù)字).若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除,則可以享受5萬元的優(yōu)惠;若“三位遞
9、減數(shù)”中的三個數(shù)字之和僅能被2整除,則可以享受3萬元的優(yōu)惠;其他結(jié)果享受1萬元的優(yōu)惠. (1)試寫出所有個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”; (2)若小明參加了這次汽車促銷活動,求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 解析:(1)個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”有:984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10個. (2)由題意,不同的“三位遞減數(shù)”共有C=120(個). 小明得到的優(yōu)惠金額X的取值可能為5,3,1. 當(dāng)X=5時,三個數(shù)字之和可能為20或10, 當(dāng)三個數(shù)字之和為20時,有983,974,965,875,共4個“三位遞減數(shù)”;
10、 當(dāng)三個數(shù)字之和為10時,有910,820,730,721,640,631,541,532,共8個“三位遞減數(shù)”, 所以P(X=5)==. 當(dāng)X=3時,三個數(shù)字之和只能被2整除,即這三個數(shù)字只能是三個偶數(shù)或兩個奇數(shù)一個偶數(shù),但不包括能被10整除的“三位遞減數(shù)”, 故P(X=3)===. 故P(X=1)=1-P(X=5)-P(X=3)=1--=. 所以他得到的優(yōu)惠金額X的分布列為 X 5 3 1 P 數(shù)學(xué)期望E(X)=5×+3×+1×=2.2(萬元). 9.(20xx·唐山模擬)退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機(jī)構(gòu)為
11、了解某城市市民的年齡構(gòu)成,按1%的比例從年齡在20~80歲(含20歲和80歲)之間的市民中隨機(jī)抽取600人進(jìn)行調(diào)查,并將年齡按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]進(jìn)行分組,繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.規(guī)定年齡在[20,40)歲的人為“青年人”,[40,60)歲的人為“中年人”,[60,80]歲的人為“老年人”. (1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該城市60歲以上(含60歲)的人數(shù),若每一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值來代表,試估算所調(diào)查的600人的平均年齡; (2)將上述人口分布的頻率視為該城市年齡在20~80歲的人口分布的概率,從
12、該城市年齡在20~80歲的市民中隨機(jī)抽取3人,記抽到“老年人”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析:(1)由頻率分布直方圖可知60歲以上(含60歲)的頻率為(0.01+0.01)×10=0.2, 故樣本中60歲以上(含60歲)的人數(shù)為600×0.2=120,故該城市60歲以上(含60歲)的人數(shù)為120÷1%=12 000. 所調(diào)查的600人的平均年齡為 25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(歲). (2)法一:由頻率分布直方圖知,“老年人”所占的頻率為,所以從該城市年齡在20~80歲的市民中隨機(jī)抽取1人,抽到“老年人
13、”的概率為, 分析可知X的所有可能取值為0,1,2,3, P(X=0)=C03=, P(X=1)=C12=, P(X=2)=C21=, P(X=3)=C30=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 法二:由題意知每次抽到“老年人”的概率都是,且X~B(3,),P(X=k)= Ck3-k,k=0,1,2,3, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 故E(X)=3×=. B組——能力提升練 1.(20xx·南陽模擬)設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p),隨機(jī)變量Y~B(3,p),
14、若P(X≥1)=,則D(3Y+1)=( ) A.2 B.3 C.6 D.7 解析:法一:由題意得P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=Cp(1-p)+Cp2=,所以p=,則Y~B(3,),故D(Y)=3××=,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×=6. 法二:因?yàn)镻(X≥1)=1-P(X=0)=,所以P(X=0)=C(1-p)2=,所以p=,則Y~B,故D(Y)=3××=,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×=6. 答案:C 2.已知甲、乙兩個工人在同樣的條件下生產(chǎn)某種材料,日生產(chǎn)量相等,每天出廢品的情況如表所示,則下列結(jié)論正確的是( ) 工人 甲 乙
15、 廢品數(shù) 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 A.甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 B.乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 C.兩人生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好 D.無法判斷誰生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些 解析:根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列可知甲生產(chǎn)的產(chǎn)品出廢品的平均值為0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生產(chǎn)的產(chǎn)品出廢品的平均值為0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,結(jié)合實(shí)際可知乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些,故選B. 答案:B 3.已知隨機(jī)變量
16、ξ的所有可能取值分別為1,2,3,4,5.若數(shù)學(xué)期望E(ξ)=4.2,則ξ取值為5的概率至少為( ) A.0.1 B.0.15 C.0.2 D.0.25 解析:設(shè)ξ的取值為1,2,3,4,5的概率分別為p1,p2,p3,p4,p5,pi∈[0,1],i=1,2,3,4,5,則p1+p2+p3+p4+p5=1,則p1+2p2+3p3+4(1-p1-p2-p3-p5)+5p5=4.2?p5=0.2+3p1+2p2+p3≥0.2,當(dāng)p1=p2=p3=0時等號成立. 答案:C 4.(20xx·西安模擬)前不久,社科院發(fā)布了度“全國城市居民幸福排行榜”,北京市成為本年度最“幸福城”,隨后
17、,某師大附中學(xué)生會組織部分同學(xué),用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度,現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉). (1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù); (2)若幸福度不低于9.5分,則稱該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“極幸福”的概率; (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記ξ表示抽到“極幸?!钡娜藬?shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解析:(1)眾數(shù):8.6;中位數(shù):8.75. (2)設(shè)Ai(i=0,1,2,3)表示所取
18、3人中有i個人是“極幸?!保炼嘤?人是“極幸?!庇洖槭录嗀,則P(A)=P(A0)+P(A1)=+=. (3)法一:ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)=3=;P(ξ=1)=C××2=; P(ξ=2)=C2×=;P(ξ=3)=3=. ξ的分布列為: ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=0.75. 法二:ξ的所有可能取值為0,1,2,3. 則ξ~B, P(ξ=k)=Ck3-k,k=0,1,2,3. 所以E(ξ)=3×=0.75. 5.(20xx·高考山東卷)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動,每輪活動由甲、
19、乙各猜一個成語.在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊(duì)”得3分;如果只有一人猜對,則“星隊(duì)”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動,求: (1)“星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率; (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 解析:(1)記事件A:“甲第一輪猜對”, 記事件B:“乙第一輪猜對”, 記事件C:“甲第二輪猜對”, 記事件D:“乙第二輪猜對”, 記事件E:“‘星隊(duì)’至少猜對3個成語”. 由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+
20、ABC, 由事件的獨(dú)立性與互斥性, P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2×=, 所以“星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意,隨機(jī)變量 X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性,得 P(X=0)=×××=,P(X=1)=2×==, P(X=2)=×××+×××+×××+×××=, P(X=3)=×××+×××==, P(X=4)=2× ==, P(X=6)=×××==. 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
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