2016年福建省福安一中高三上學(xué)期期中考 數(shù)學(xué)理試卷

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1、 2016屆福建省福安一中高三上學(xué)期期中考 數(shù)學(xué)理試卷 一、 選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。） 1．若集合，則中元素的個數(shù)（ ） A．3個 B．4個 C．1個 D．2個 2、已知復(fù)數(shù)，則 ( ) A. B. C. D. 3、采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960

2、，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9。抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷。則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為( ) A. 15 B. 16 C. 17 D.18 4、已知直線與圓相交于、兩點，且，則 的值是 （ ） A. 0 B． C． D． 5、執(zhí)行右圖的程序框圖，若輸出的，則輸入整數(shù)的最大值是（ ） A．15 B．14 C．7 D．6 正視圖 左視圖 俯視圖

3、 6、一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是( ) A． B． C． D． 7、已知等比數(shù)列的首項，公比為，記，則達到最大值時，的值為（ ） A． B． C． D．13 8、設(shè)是兩條不同直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（ ） A． B．，則 C．，則 D．，則 9、若將函數(shù)表示為，其中、、、、為實數(shù)，則（ ） A． B．

4、 C． D． 10、已知、是雙曲線的左、右焦點，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為( ) A． B． C． D． 11、已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 12、設(shè)數(shù)列的前項和為，且，為等差數(shù)列，則（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分。） 13、已知向量，，若，則實數(shù)的值為

5、 14、設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且滿足，若，，則______． 15、已知，若，則 ． 16、已知函數(shù)，對于任意，都存在，使得，則的最小值為 三.解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 17、（本小題滿分12分） D A C B E 如圖所示，在四邊形中，為邊上一點，，，； ，，. （Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的長． 18、（本小題滿分12分） 已知四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形，，． （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ

6、）設(shè)與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值． 19、（本小題滿分12分） 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品． （1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率； （2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，分別求兩種方案下小明、小紅累計得分的分布列，并指出他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？ (20)(

7、本小題滿分12分) 已知為橢圓上的一個動點，弦、別過焦點、，當(dāng)垂直于軸時，恰好有. (Ⅰ)求橢圓離心率； (Ⅱ)設(shè),試判斷是否為定值?若是定值,求出該定值并證明；若不是定值,請說明理由. （21）（本小題滿分共12分） 已知函數(shù)(). ⑴ 若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為,求在上的最小值； ⑵ 若存在,使,求的取值范圍. 請考生在第22,23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清楚題號。（本小題滿分10分） 22. 在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系,已知曲線,已知過點的直線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）直線與曲線分別

8、交于、兩點. （1）寫出曲線和直線的普通方程； （2）若成等比數(shù)列, 求的值． 23. 已知函數(shù) （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若關(guān)于x的不等式的解集非空，求實數(shù)的取值范圍. 福安一中2016屆高三上學(xué)期半期考 數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案 一．選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D A D B B C C A A 2． 填空題： 13. -1 14. 16 15. 16. 1 三、解答題： 17.解：證明：（Ⅰ

9、）設(shè).在中，由余弦定理，得 …………………2分 得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)． …………………4分 在中，由正弦定理，得 …………………6分 （Ⅱ）由題設(shè)知，所以…8分,而， 所以 .…10分,在中，. …12分 18.【解析】解：（Ⅰ） 因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD……1分 又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，……2分,又，…3分,所以BD⊥平面PAC………4分, 又平面PBD，……5分,從而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分 （Ⅱ）方法1． 過O作OH⊥PM交PM于H

10、，連HD 因為DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角…………8分 又，且………………10分 從而…11分, 所以，即． ………………………12分 法二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,, …………8分 從而………………9分 因為BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為．……10分 設(shè)平面PMD的法向量為,由得取， 即 …11分,設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等 從而，得, 從而，即． ……………12分 19. 解：(1

11、)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響． 記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A， 則事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三個兩兩互斥的事件，……………1分 因為P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，…………… 2分 P(X＝2)＝×(1－)＝，……………3分 P(X＝3)＝(1－)×＝，……………4分 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，……………5分 即這2人的累計得分X≤3的概率為.……………6分 (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1、X2的分布列如下

12、： X1 0 2 4 P ……………7分 X2 0 3 6 P ……………89分 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，……………9分,E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.……………10分 因為E(X1)>E(X2)，……………11分 所以他們都選擇方案甲進行投資時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大．……………12分 20. 解：(Ⅰ)當(dāng)AC垂直于x軸時,, ……………1分 ,∴ ……………2分 ∴,∴,∴,故. ……………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓的方程為,焦點坐標(biāo)為. ① 當(dāng)弦AC、AB的斜率都存在時,設(shè), 則AC所在的直線方程

13、為, ……………5分 代入橢圓方程得. ……………6分 ∴, ……………7分 ,.……………8分 同理,……………9分 ∴ ……………10分 ②當(dāng)AC垂直于x軸時,則,這時; ………11分 當(dāng)AB垂直于x軸時,則,這時. ……………12分 綜上可知是定值 21. 解:(1) 根據(jù)題意, ……………2分 此時,,則. 令 ……………3分 - + ↘ ↗

14、 ……………5分 ∴當(dāng)時,最小值為 ……………6分 (2) ①若上單調(diào)遞減. 又 ……………8分 ②若 從而在(0,上單調(diào)遞增,在(,+上單調(diào)遞減. ………10分 根據(jù)題意, 綜上,的取值范圍是 ……………12分 22. 解：（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化可得，C：ρsin2θ=2acos

15、θ， 即ρ2sin2θ=2aρcosθ，即 y2=2ax， ............（2分） 直線L的參數(shù)方程為：，消去參數(shù)t得：直線L的方程為y+4=x+2 即y=x﹣2 ...................（5分） （Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）， 代入y2=2ax得到， 則有 ...........（8分） 因為|MN|2=|PM|?|PN|，所以 即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a） 解得 a=1 ................…（10分） 23.解：（Ⅰ）原不等式等價于 或……3分 解，得 即不等式的解集為 　　　　　　　　　 ………………5分 （Ⅱ） 　　………………8分 。 　　　　　　　………………10分