(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第12練 數(shù)列的綜合問題精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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第12練 數(shù)列的綜合問題 [明晰考情] 1.命題角度:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明;以an, Sn的關(guān)系為切入點,考查數(shù)列的通項、前n項和等;數(shù)列和函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用;一般位于解答題的17題位置.2.題目難度:中等偏下難度. 考點一 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 方法技巧 判斷等差(比)數(shù)列的常用方法 (1)定義法:若an+1-an=d,d為常數(shù),則{an}為等差(比)數(shù)列. (2)中項公式法. (3)通項公式法. 1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由. (1)證明 由題設(shè)知,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1, 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)解 由題設(shè)知,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得數(shù)列{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3; 數(shù)列{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且an+1=2an+2n+1,n∈N*. (1)設(shè)bn=,證明:{bn}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)在(1)的條件下,求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解 (1)把a(bǔ)n=2nbn代入到an+1=2an+2n+1, 得2n+1bn+1=2n+1bn+2n+1, 兩邊同除以2n+1, 得bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1, ∴{bn}為等差數(shù)列,首項b1==1,公差為1, ∴bn=n(n∈N*). (2)由bn=n=,得an=n2n, ∴Sn=121+222+323+…+n2n, ∴2Sn=122+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1, 兩式相減,得-Sn=21+22+23+…+2n-n2n+1=(1-n)2n+1-2, ∴Sn=(n-1)2n+1+2(n∈N*). 3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且首項a1≠3,an+1=Sn+3n(n∈N*). (1)求證:{Sn-3n}是等比數(shù)列; (2)若{an}為遞增數(shù)列,求a1的取值范圍. (1)證明 ∵an+1=Sn+3n, ∴Sn+1=2Sn+3n, ∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). ∵a1≠3,∴數(shù)列{Sn-3n}是首項為a1-3,公比為2的等比數(shù)列. (2)解 由(1)得,Sn-3n=(a1-3)2n-1. ∴Sn=(a1-3)2n-1+3n. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1. ∵{an}為遞增數(shù)列,∴當(dāng)n≥2時,(a1-3)2n-1+23n>(a1-3)2n-2+23n-1, ∴當(dāng)n≥2時,2n-2>0, ∴a1>-9. ∵a2=a1+3>a1, ∴a1的取值范圍是(-9,+∞). 考點二 數(shù)列的通項與求和 方法技巧 (1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項的常用方法 ①累加(乘)法 形如an+1=an+f(n)的數(shù)列,可用累加法; 形如=f(n)的數(shù)列,可用累乘法. ②構(gòu)造數(shù)列法 形如an+1=,可轉(zhuǎn)化為-=,構(gòu)造等差數(shù)列; 形如an+1=pan+q(pq≠0,且p≠1),可轉(zhuǎn)化為an+1+=p構(gòu)造等比數(shù)列. (2)數(shù)列求和的常用方法 ①倒序相加法;②分組求和法;③錯位相減法;④裂項相消法. 4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an=2Sn+1(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=(2n-1)an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解 (1)當(dāng)n=1時,a1=2S1+1=2a1+1, 解得a1=-1. 當(dāng)n≥2時,由an=2Sn+1, 得an-1=2Sn-1+1, 兩式相減得an-an-1=2an, 化簡得an=-an-1, 所以數(shù)列{an}是首項為-1,公比為-1的等比數(shù)列, 則可得an=(-1)n. (2)由(1)得bn=(2n-1)(-1)n, 當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn=-1+3-5+7-9+11-…-(2n-3)+(2n-1)=2=n, 當(dāng)n為奇數(shù)時,n+1為偶數(shù),Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)-(2n+1)=-n. 所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(-1)nn. 5.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=,an+bn=1,bn+1=. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)設(shè)Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求Sn. 解 (1)bn+1===. a1=,b1=, 因為bn+1-1=-1=, 所以==-1+, 所以數(shù)列是以-4為首項,-1為公差的等差數(shù)列, 所以=-4-(n-1)=-n-3, 所以bn=1-=. (2)因為an=1-bn=, 所以Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 =+++…+ =-+-+-+…+- =-=. 6.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=322n-1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解 (1)由已知,當(dāng)n≥2時, an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 所以an=22n-1,而a1=2,也滿足上式, 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=22n-1. (2)由bn=nan=n22n-1知, Sn=12+223+325+…+n22n-1,① 22Sn=123+225+327+…+n22n+1,② ①-②,得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n22n+1, 即Sn=[(3n-1)22n+1+2]. 考點三 數(shù)列的綜合問題 方法技巧 (1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題,一般要利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得出數(shù)列的通項或遞推關(guān)系. (2)數(shù)列是特殊的函數(shù),解題時要充分利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問題,如數(shù)列中的最值問題. (3)解決數(shù)列與不等式綜合問題的常用方法有比較法(作差法、作商法)、放縮法等. 7.已知f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素從小到大依次排成一列,得到數(shù)列{an},n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)記bn=,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<. (1)解 因為|f(x)|=2, 所以x=kπ+,x=2k+1,k∈Z. 又因為x>0,所以an=2n-1(n∈N*). (2)證明 因為bn==(n∈N*), bn==<=, 所以Tn=b1+…+bn < =-<, 所以Tn<. 8.已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=an+log2,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn-2n+1+47<0成立的n的最小值. 解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,依題意, 有即 由①得q2-3q+2=0,解得q=1或q=2. 當(dāng)q=1時,不滿足②式,舍去; 當(dāng)q=2時,代入②得a1=2, 所以an=22n-1=2n. 故所求數(shù)列{an}的通項公式為an=2n(n∈N*). (2)因為bn=an+log2=2n+log2=2n-n, 所以Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n) =-=2n+1-2-n-n2. 因為Sn-2n+1+47<0,所以2n+1-2-n-n2-2n+1+47<0, 即n2+n-90>0, 解得n>9或n<-10(舍). 因為n∈N*,所以使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10. 9.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*). (1)寫出a2,a3的值(只寫出結(jié)果),并求出數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=+++…+,若對任意的正整數(shù)n,不等式t2-2t+>bn恒成立,求實數(shù)t的取值范圍. 解 (1)a2=6,a3=12, 當(dāng)n≥2時, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+22+23+…+2n =2(1+2+3+…+n)=n(n+1). 因為當(dāng)n=1時,a1=2也滿足上式, 所以an=n(n+1). (2)bn=+++…+ =++…+ =-+-+…+- =-. 因為bn+1-bn=-- =+- =- =<0, 所以bn+1- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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