（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.1 函數(shù)的概念及其表示方法（講）.doc

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專題2.1 函數(shù)的概念及其表示方法 【考綱解讀】 內(nèi) 容 要 求 備注 A　　 B　　 C　　 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ　　 　 函數(shù)的概念 　　 √　　 　　 1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域． 2．了解映射的概念，在實(shí)際情景中會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． 【直擊教材】 1．函數(shù)f(x)＝的定義域是________________． 【答案】[4,5)∪(5，＋∞) 2．已知f()＝x－1，則f(2)＝________. 【答案】3 【解析】令＝2，則x＝4，所以f(2)＝3. 3．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，則f(－a)＝________. 【答案】0 【知識清單】 1．函數(shù)映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合 A，B 設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集 設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合 對應(yīng) 關(guān)系 f：A→B 如果按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng) 如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射 記法 y＝f(x)，x∈A 對應(yīng)f：A→B是一個(gè)映射 2．函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域： 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f (x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． (2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． (3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． 3．函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖像法、列表法． 4．分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． 【考點(diǎn)深度剖析】 本節(jié)是函數(shù)的起始部分，以考查函數(shù)的概念、三要素及表示法為主，同時(shí)函數(shù)的圖像、分段函數(shù)的考查是熱點(diǎn)，另外，實(shí)際問題中的建模能力偶有考查．特別是函數(shù)的表達(dá)式及圖像，仍是2018年高考考查的重要內(nèi)容． 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 函數(shù)與映射的概念 【1-1】函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)的定義域?yàn)開___________________． 【答案】(0,2] 【解析】由 ??0＜x≤2， 故所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,2]． 【1-2】給出四個(gè)命題：①函數(shù)是其定義域到值域的映射；②f(x)＝＋是函數(shù)；③函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線；④f(x)＝與g(x)＝x是同一個(gè)函數(shù)．其中正確的有________． 【答案】① 【解析】由函數(shù)的定義知①正確．②中滿足f(x)＝＋的x不存在，所以②不正確．③中y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線上的一群孤立的點(diǎn)，所以③不正確．④中f(x)與g(x)的定義域不同，∴④也不正確． 【1-3】 (1)函數(shù)f(x)＝ln ＋的定義域?yàn)開_______． (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1,2 017]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是____________． 【答案】(1)(1，＋∞)　(2){x|0≤x≤2 016，且x≠1} 規(guī)律方法　 【思想方法】 一、①判斷一個(gè)對應(yīng)是否為映射，關(guān)鍵看是否滿足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性”． ②判斷一個(gè)對應(yīng)f：A→B是否為函數(shù)，一看是否為映射；二看A，B是否為非空數(shù)集．若是函數(shù)，則A是定義域，而值域是B的子集． ③函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應(yīng)關(guān)系是否分別相同． 二、求函數(shù)定義域的類型及求法 (1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)對實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解． (3)若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域． 【溫馨提醒】不要混淆“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個(gè)映射，A、B若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)． 考點(diǎn)2 求函數(shù)的解析式 【2-1】 已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)． 【答案】f(x)＝x2＋x(x∈R)． 【2-2】 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)． 【解析】法一：設(shè)t＝＋1， 則x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． 【2-3】 定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函數(shù)f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 【思想方法】 1.求函數(shù)解析式的四種常用方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式； (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法； (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍； (4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程求出f(x)． 2.分段函數(shù)“兩種”題型的求解策略 (1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解． (2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 【溫馨提醒】解決函數(shù)的一些問題時(shí)，要注意“定義域優(yōu)先”的原則．當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類討論． 考點(diǎn)三　分段函數(shù) 角度一：分段函數(shù)的函數(shù)求值問題 【3－1】設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝________. 【答案】9 【解析】根據(jù)分段函數(shù)的意義，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1 ∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6， 因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. 【3－2】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f＝4，則b＝________. (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． 【答案】(1)　(2)(－∞，8] 角度二：分段函數(shù)的自變量求值問題 【3－3】已知f(x)＝，若f(a)＝，則a＝________. 【解析】若a≥0，由f(a)＝得，a＝， 解得a＝； 若a<0，則|sin a|＝，a∈， 解得a＝－.綜上可知，a＝或－. 【答案】或－ 角度三：分段函數(shù)與方程、不等式問題 【3－4】已知函數(shù)f(x)＝若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________． 【答案】(－1,3) 【思想方法】 (1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值．首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解． (2)已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 【溫馨提醒】當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類討論． 【易錯(cuò)試題常警惕】 1．求函數(shù)的解析式時(shí)要充分根據(jù)題目的類型選取相應(yīng)的方法，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域． 2．分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個(gè)函數(shù)，不要誤解為是“由幾個(gè)函數(shù)組成”．求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論． 1． 已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________. 【答案】x2－1(x≥1) 【解析】令x＋1＝t，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 所以f (x)＝x2－1(x≥1)． 點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域也是解析式中x的范圍，不要和f(x)的定義域相混． 2．易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個(gè)映射，A，B若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)． 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________． 【答案】 (－∞，8] 【解析】(1)f＝3－b＝－b， 點(diǎn)睛：分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個(gè)函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論．