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1.4
幾何中的最值問題
[典例] 有一塊邊長為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長應為多少？
[解] 設截下的小正方形邊長為x，容器容積為V(x)，則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a－2x，高為x，
V(x)＝(a－2x)2x,0
0；
當x10，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，
所以f(x)在x＝64處取得最小值．
此時n＝－1＝－1＝9.
故需新建9個橋墩才能使y最小．
費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結合實際做答．
[活學活用]
某工廠要圍建一個面積為128 m2的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其它三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所用的材料最省，則堆料場的長、寬應分別是多少？
解：設場地寬為x m，則長為 m，
因此新墻總長度為y＝2x＋(x＞0)，
y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
因為當0＜x＜8時，y′＜0；當x＞8時，y′＞0，
所以當x＝8時，y取最小值，此時寬為8 m，長為16 m.
即當堆料場的長為16 m，寬為8 m時，可使砌墻所用材料最省.
利潤最大問題
[典例] 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
[解] (1)因為x＝5時，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2，
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
單調(diào)遞增↗
極大值42
單調(diào)遞減↘
由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
所以當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
1．經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法
經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關系，從而可以利用導數(shù)來分析、研究、指導生產(chǎn)活動．
2．關于利潤問題常用的兩個等量關系
(1)利潤＝收入－成本．
(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)．
[活學活用]
工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關系為p＝(c為常數(shù)，且0c時，p＝，y＝x3－x＝0；
當0c時，日盈利額為0.
當00，∴y在區(qū)間(0，c]上單調(diào)遞增，∴y最大值＝f(c)＝.
②當3≤c<6時，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴y在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，c)上單調(diào)遞減．
∴y最大值＝f(3)＝.
綜上，若0400時，P′<0恒成立，易知當x＝300時，總利潤最大．
4．設正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為( )
A. B．2
C. D.V
解析：選C 設底面邊長為x，則高為h＝，
∴S表＝3x＋2x2＝＋x2，
∴S表′＝－＋x，
令S表′＝0，得x＝.
經(jīng)檢驗知，當x＝時，S表取得最小值．
5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為( )
A．R B．2R
C.R D.R
解析：選C 設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 當00；當0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時，
y′>0，x∈(25，＋∞)時，y′<0，所以x＝25時，
y取最大值．
答案：25
9．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．
解：(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造費用為C1(x)＝6x.
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
當00，
故x＝5是f(x)的最小值點，對應的最小值為
f(5)＝65＋＝70.
當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元．
10．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關系是：p＝(x∈N*)．
(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關系式；
(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應定為多少件？
解：(1)由題意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．
因為次品率p＝，當每天生產(chǎn)x件時，
有x件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x
＝25(x∈N*)．
(2)T′＝－25，
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
當00，當R0；當20，
故當x∈(0,80)時，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，
當x∈(80,120)時，函數(shù)h(x)為增函數(shù)，
∴當x＝80時，h(x)取得最小值，此時a取最大值為
a＝＝200.
故若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛200千米．
(時間： 120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．以正弦曲線y＝sin x上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
解析：選A y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切線的斜率范圍是[－1,1]，∴傾斜角的范圍是∪.
2．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：選A 設極值點依次為x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，則f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上遞增，在(x1，x2)，(x3，b)上遞減，因此，x1，x3是極大值點，只有x2是極小值點．
3．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.
B.
C. ，
D.，
解析：選A ∵f′(x)＝2x－＝，當0＜x≤時，f′(x)≤0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
4．函數(shù)f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：選A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
則x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值為1.
5.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是( )
解析：選D 由導函數(shù)圖象可知，當x<0時，函數(shù)f(x)遞減，排除A、B；當00，函數(shù)f(x)遞增．因此，當x＝0時，f(x)取得極小值，故選D.
6．定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導函數(shù)f′(x)>，則滿足2f(x)1} D．{x|x>1}
解析：選B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，
∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)為單調(diào)增函數(shù)，
∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴當x<1時，
g(x)<0，即2f(x)π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c0知，
f′(x)與1－x＋ex－1同號．
令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.
所以當x∈(－∞，1)時，g′(x)<0，
g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減；
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，
g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值，
從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
18．(本小題滿分15分)某個體戶計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為x(x≥0)萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投資額為零時收益為零．
(1)求a，b的值；
(2)如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤．
解：(1)由投資額為零時收益為零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．
設投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0＜x≤5)，
則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5－x)萬元，
設所獲得的收益為S(x)萬元，
則S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)
＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
當0＜x＜2時，S′(x)＞0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞增；
當2＜x≤5時，S′(x)＜0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞減．
所以當x＝2時，函數(shù)S(x)取得最大值，
S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6萬元．
所以，當投入經(jīng)銷A商品3萬元，B商品2萬元時，
他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6萬元．
19．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a為常數(shù))．
(1)若f(x)在x＝－1處有極值，求a的值并判斷x＝－1是極大值點還是極小值點；
(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝2ax－，x∈(－∞，1)，
f′(－1)＝－2a－1＝0，
所以a＝－.
f′(x)＝－x－＝.
∵x<1，∴1－x>0，x－2<0，
因此，當x<－1時f′(x)>0，
當－1
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浙江專版2018年高中數(shù)學
第一章
導數(shù)及其應用
1.4
生活中的優(yōu)化問題舉例學案
新人教A版選修2-2
浙江
專版
2018
年高
數(shù)學
導數(shù)
及其
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