高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第2章 第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 Word版含解析

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1、 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 [最新考綱]　1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義， 會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁(yè)) 1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)； 圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)． 2．奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)對(duì)于函數(shù)f(x)，f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)； f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)． (2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性． (

2、3)如果奇函數(shù)y＝f(x)在原點(diǎn)有定義，那么f(0)＝0. 3．函數(shù)的周期性 (1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零實(shí)數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)為周期函數(shù)． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． (3)若T是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，且n≠0)也是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)周期． 1．函數(shù)奇偶性的三個(gè)重要結(jié)論 (1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．

3、 (3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． 2．周期性的幾個(gè)常用結(jié)論 對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T，則 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a＞0)； (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)． (　　) (2)偶函數(shù)圖像不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像一定過(guò)原點(diǎn)． (　　) (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直

4、線x＝a對(duì)稱． (　　) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x2sin x　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x B　[A為奇函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)，B為偶函數(shù)，故選B.] 2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________. －2　[f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f

5、(1)＝－2.] 3．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝則f＝________. 1　[f＝f＝－4×＋2＝1.] 4.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________． (－2,0)∪(2,5]　[由圖像可知，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時(shí)，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)－5≤x＜－2時(shí)，f(x)＞0. 綜上，f(x)＜0的解集為(－2,0)∪(2,5]．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1　判斷

6、函數(shù)的奇偶性 　判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法： (2)圖像法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱． (1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) (2)判斷下列函數(shù)的奇偶性： ①f(x)＝＋； ②f(x)＝； ③f(x)＝ (1)C　[令F1(x)＝f(x)·g(x)， 則F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x) ＝－F1(x)

7、，∴f(x)g(x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤． 令F2(x)＝|f(x)|g(x)，則F2(－x)＝|f(－x)|g(－x) ＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤． 令F3(x)＝f(x)|g(x)|，則F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)為奇函數(shù)，故C正確． 令F4(x)＝|f(x)g(x)|，則F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．] (2)[解]?、儆? 得x2＝3，解得x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}， 從而f(x)＝

8、＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． ②由得定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． ③顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． ∵當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0， 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0， 則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴

9、函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． 　判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件 (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域． (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立． 　1.(2019·福州模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝tan　 B．y＝x2＋e|x| C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x B　[對(duì)于選項(xiàng)A，易知y＝tan為非奇非偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)f(x)＝x2＋e|x|，則f(－x

10、)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|為偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)f(x)＝xcos x，則f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x為奇函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)f(x)＝ln|x|－sin x，則f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x為非奇非偶函數(shù)，故選B.] 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．|f(x)|是偶函數(shù) B．－f(x)是奇函數(shù) C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù) D．f(|x|)f(x)是偶函

11、數(shù) D　[∵f(x)＝， 則f(－x)＝＝－f(x)． ∴f(x)是奇函數(shù)． ∵f(|－x|)＝f(|x|)， ∴f(|x|)是偶函數(shù)，∴f(|x|)f(x)是奇函數(shù)．] ⊙考點(diǎn)2　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 　利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題 (1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解． (2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式．由系數(shù)的對(duì)等性得方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值． (4)畫函數(shù)圖像：利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖像．

12、 (5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值． 　利用奇偶性求參數(shù)的值 　[一題多解]若函數(shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，則a的值為________． 　[法一：(定義法)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝. 法二：(特值法)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．] 　已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函數(shù))或f(－x)＝f(x)(偶函數(shù))在定

13、義域內(nèi)恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數(shù)一般利用f(0)＝0求解，偶函數(shù)一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證． 　利用函數(shù)的奇偶性求值 (1)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　) A．－ B. C．2 D．－2 (2)[一題多解](2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，則a＝________. (1)B　(2)－3　[(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－)＝f()，又當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f

14、(－)＝. (2)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)， ∴x＞0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax， 則f(ln 2)＝e－aln 2＝8， ∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3. 法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－e)＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.] 　利用奇偶性將所求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值． 　求函數(shù)解析式 　(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝(　　) A．e－

15、x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 D　[當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， ∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 故選D.] 　先設(shè)x為待求區(qū)間上的任意量，然后將－x轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，從而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)． 　1.若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________. ±1　[若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即＝－， 化簡(jiǎn)得(k2－1)(22x＋1)＝0， 即k2－1＝0，解得k＝±1.] 2．已知f(x)是

16、奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于________． 3　[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，① f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，② 由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.] 3．(2019·湖南永州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)＝________. 0　[設(shè)F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，顯然F(x)為奇函數(shù)． 又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.] ⊙考點(diǎn)3　

17、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 　函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用 判定 判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題 應(yīng)用 根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期 (1)(2019·貴陽(yáng)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝2x＋log2x，則f(2 019)＝(　　) A．5 B. C．

18、2 D．－2 (2)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． (1)D　(2)　[(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. (2)由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)， 可知函數(shù)f(x)的周期是4， 所以f(15)＝f(－1)＝＝， 所以f(f(15))＝f＝cos ＝.] 　利用周期性將所求值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值． 　設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[－2,1)時(shí)，f(x)＝ 則f＝________. 　[由題意可得f＝f＝f＝4×－2＝，f＝.]