2013年高考數(shù)學(理科)真題分類匯編N單元選修4系列
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1、 N單元 選修4系列 N1選修4-1 幾何證明選講 圖1-6 22.N1[2013·新課標全國卷Ⅰ] 選修4-1:幾何證明選講如圖1-6所示,直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點E,DB垂直BE交圓于點D. (1)證明:DB=DC; (2)設圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點F,求△BCF外接圓的半徑. 22.解:(1)證明:聯(lián)結DE,交BC于點G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因為DB⊥BE,所以DE為直徑
2、,∠DCE=90°, 由勾股定理可得DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故DG是BC的中垂線,所以BG=. 設DE的中點為O,聯(lián)結BO,則∠BOG=60°.從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圓的半徑等于. 15.N1[2013·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-3所示,AB是圓O的直徑,點C在圓O上,延長BC到D使BC=CD,過C作圓O的切線交AD于E.若AB=6,ED=2,則BC=________. 圖1-3 15.2 [解析] 由題知∠ACB=90°,又BC=CD, ∴AD=AB=6,∠
3、BAC=∠CAE,∴AE=AD-ED=4. ∵CE為切線,∴∠ACE=∠ABC. ∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠BAC=90°. 在△ACD中,∠ACD=90°,CE⊥AD, ∴CD2=ED·DA=12,解得CD=2 ,故BC=2 . 圖1-5 15.N1[2013·湖北卷] (選修4-1:幾何證明選講) 如圖1-5所示,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D,點D在半徑OC上的射影為E.若AB=3AD,則的值為________. 15.8 [解析] 設AB=6k,則AD=2k,DO=k,CO=3k,設EO=x,由射影定理:DO2=EO·CO,k2=x·3k,x=,故==8
4、. 圖1-3 11.N1[2013·湖南卷] 如圖1-2所示,在半徑為的⊙O中,弦AB,CD相交于點P.PA=PB=2,PD=1,則圓心O到弦CD的距離為________. 11. [解析] 由相交弦定理可知PA·PB=PC·PD,得PC=4,故弦CD=5,又半徑r=,記圓心O到直線CD的距離為d,則d2+=7,即d2=,故d=. 21.N1[2013·江蘇卷] A.[選修4-1:幾何證明選講] 如圖1-1所示,AB和BC分別與圓O相切于點D,C,AC經過圓心O,且BC=2OC. 求證:AC=2AD. 圖1-1 證明:聯(lián)結OD,因為AB和BC分別與圓O相切于點D,C,
5、 所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因為∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB, 所以=. 又BC=2OC=2OD. 故AC=2AD. 11.N1[2013·北京卷] 如圖1-2,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,則PD=________,AB=________. 圖1-2 11. 4 [解析] 由于PD∶DB=9∶16,設PD=9a,則DB=16a,PB=25a,根據(jù)切割線定理有PA2=PD·PB,∴a=,∴PD=,PB=5.又∵△PBA為直角三角形,∴AB2+AP2=PB2,∴AB=4. 22.N1[20
6、13·遼寧卷] 選修4-1:幾何證明選講 如圖,AB為⊙O的直徑,直線CD與⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,聯(lián)結AE,BE.證明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD·BC. 圖1-8 22.證明:(1)由直線CD與⊙O相切,得∠CEB=∠EAB. 由AB為⊙O的直徑,得AE⊥EB,從而∠EAB+∠EBF=. 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=, 從而∠FEB=∠EAB. 故∠FEB=∠CEB. (2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共邊, 得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF. 類似可
7、證,Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF. 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF, 所以EF2=AD·BC. N1[2013·陜西卷] B.(幾何證明選做題)如圖1-4,弦AB與CD相交于⊙O內一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P,已知PD=2DA=2,則PE=________. 圖1-4 [解析] 利用已知可得,∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,則PA=3,則PE2=PA·PD=6,PE=. 15.C8,E8,N1[2013·四川卷] 設P1,P2,…,Pn為平面α內的n個點,在平面α內的
8、所有點中,若點P到P1,P2,…,Pn點的距離之和最小,則稱點P為P1,P2,…,Pn點的一個“中位點”.例如,線段AB上的任意點都是端點A,B的中位點.則有下列命題: ①若A,B,C三個點共線,C在線段AB上,則C是A,B,C的中位點; ②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點; ③若四個點A,B,C,D共線,則它們的中位點存在且唯一; ④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點. 其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號) 15.①④ [解析] 對于①,如果中位點不在直線AB上,由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾.而當中位點在直線AB上時,如
9、果不與C重合,則|PA|+|PB|+|PC|>|PA|+|PB|也不符合題意,故C為唯一的中位點,①正確; 對于②,我們取斜邊長為4的等腰直角三角形,此時,斜邊中點到三個頂點的距離均為2,和為6;而我們取斜邊上中線的中點,該點到直角頂點的距離為1,到兩底角頂點的距離均為,顯然2 +1<6,故該直角三角形的斜邊中點不是中位點,②錯誤; 對于③,當A,B,C,D四點共線時,不妨設他們的順序就是A,B,C,D,則當點P在B,C之間運動時,點P到A,B,C,D四點的距離之和相等且最小,即這個時候的中位點有無窮多個,③錯誤; 對于④,同樣根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質,如果中位點不在對角線的交
10、點上,則距離之和肯定不是最小的,④正確. 13.N1[2013·天津卷] 如圖1-2所示,△ABC為圓的內接三角形,BD為圓的弦,且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E,AD與BC交于點F,若AB=AC,AE=6,BD=5,則線段CF的長為________. 圖1-2 13. [解析] 由切割線定理可得EA2=EB·ED,有EB=4,ED=9. 因為AB=AC,所以∠ABC=∠C=∠ADB, 由弦切角定理可得∠EAB=∠ADB,所以∠EAB=∠ABC,故AE∥BC.又BD∥AC, 所以四邊形AEBC是平行四邊形,可得BC=AE=6,又由平行線分線段成比例定理可得=
11、,因為AE=6,所以BF=,故CF=BC-BF=. 22.N1[2013·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-1:幾何證明選講: 如圖1-5,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,E,F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AE=DC·AF,B,E,F(xiàn),C四點共圓. (1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑; (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F(xiàn),C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值. 圖1-5 22.解:(1)證明:因為CD為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設知=, 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因為B,E,F(xiàn),C四
12、點共圓,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑. (2)聯(lián)結CE,因為∠CBE=90°,所以過B,E,F(xiàn),C四點的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DB·DA=3DB2,故過B,E,F(xiàn),C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. 1-6 14.N1[2013·重慶卷] 如圖1-6所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,過C作△ABC的外接圓的切線CD,BD⊥CD,BD與外接圓交于點E,則DE的長為_
13、_______. 14.5 [解析] 聯(lián)結CE.由弦切角定理知∠BCD=∠A=60°,所以在Rt△BCD中,∠CBD=30°.又在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=AB=10,所以CE=AC=10.在Rt△CDE中,∠DCE=30°,故DE=CE=5. N2 選修4-2 矩陣 21.[2013·福建卷] N2(Ⅰ)選修4-2:矩陣與變換 已知直線l:ax+y=1在矩陣A=)對應的變換作用下變?yōu)橹本€l′:x+by=1. (1)求實數(shù)a,b的值; (2)若點P(x0,y0)在直線l上,且A)=),求點P的坐標. (Ⅰ)解:(1)設直線
14、l:ax+y=1上任意點M(x,y)在矩陣A對應的變換作用下的像是M′(x′,y′). 由)=)))=),得 又點M′(x′,y′)在l′上,所以x′+by′=1, 即x+(b+2)y=1. 依題意得解得 (2)由A)=),得解得y0=0. 又點P(x0,y0)在直線l上,所以x0=1. 故點P的坐標為(1,0). N2[2013·江蘇卷] B.[選修4-2:矩陣與變換] 已知矩陣A=-1,0) 0,2),B=1,0) 2,6),求矩陣A-1B. 解:設矩陣A的逆矩陣為a,c) b,d), 則-1,0) 0,2)a,c) b,d)=1,0) 0,1). 即-a,2c
15、)?。璪,2d)=1,0) 0,1), 故a=-1,b=0,c=0,d=, 從而A的逆矩陣為A-1= 0,))). 所以A-1B= 0,)))1,0) 2,6)=-1,0)?。?,3). 2.N2,N3[2013·浙江卷] 已知a∈R“矩陣與變換和坐標系與參數(shù)方程”模塊 (1)以極坐標系Ox的極點O為原點,極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.把極坐標方程cos θ+ρ2sin θ=1化成直角坐標方程. (2)在直角坐標系xOy中,曲線C:(θ為參數(shù)),過點P(2,1)的直線與曲線C交于A,B兩點.若|PA|·|PB|=,求|AB|的值.
16、 2.解:(1)極坐標方程兩邊同乘以ρ得ρcos θ+ρ3sin θ=ρ. 又在直角坐標系下,ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),ρ2=x2+y2, 故化成直角坐標方程為x+y(x2+y2)=. 又(0,0)滿足原極坐標方程. 故所求的直角坐標方程為x+y(x2+y2)=. (2)由題意,曲線C的直角坐標方程為x2+2y2=2. 設過點P(2,1),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)). 及點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2. 將直線的參數(shù)方程代入x2+2y2=2得 (2+tcos α)2+2(1+tsin α)2-2=0. 即(1+sin2α)t2+4(sin α
17、+cos α)t+4=0.
則Δ=16(2sin αcos α-sin2 α)>0,且t1+t2=-,t1t2=,
由|PA|·|PB|=得|t1t2|==.
故sin2 α=.又由Δ>0得0 18、極坐標方程;
(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π).
23.解:(1)將消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
將代入x2+y2-8x-10y+16=0,得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的極坐標方程為ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0,
由解得或
所以C1與C2交點的極坐標分別為,.
7.N3[2013·安徽卷] 在極坐標系中,圓ρ=2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為( )
A.θ=0(ρ∈ 19、R)和ρcos θ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1
7.B [解析] 圓的直角坐標方程為x2+y2-2x=0,故垂直于極軸的兩條切線的直角坐標方程為x=0,x=2,其極坐標方程分別為θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2.
9.N3[2013·北京卷] 在極坐標系中,點到直線ρsin θ=2的距離等于________.
9.1 [解析] 極坐標系中點的對應直角坐標系中的點的坐標為(,1),極坐標系中直線ρsin θ=2對應直角坐標系中直線方程為y=2,所以距離為1.
N3(Ⅱ)選修4-4:坐 20、標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知點A的極坐標為,直線l的極坐標方程為ρcos=a,且點A在直線l上.
(1)求a的值及直線l的直角坐標方程;
(2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),試判斷直線l與圓C的位置關系.
(Ⅱ)解:(1)由點A,在直線ρcosθ-=a上,可得a=.
所以直線l的方程可化為ρcos θ+ρsin θ=2,
從而直線l的直角坐標方程為x+y-2=0.
(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1.
所以圓C的圓心為(1,0),半徑r=1,
因為圓心C到直線l的距離d==<1,
所以直線 21、l與圓C相交.
14.N3[2013·廣東卷] (坐標系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(1,1)處的切線為l,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標,則l的極坐標方程為________.
14.ρsin= [解析] 曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是x2+y2=2,點(1,1)在曲線上,易求得過(1,1)作圓C切線的方程是:x+y=2,其極坐標方程是ρ(cos θ+sin θ)=2,即ρsin=.
16.N3[2013·湖北卷] (選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù),a>b>0).在極坐標系(與直角坐標系 22、xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為ρsinθ+=m(m為非零常數(shù))與ρ=b.若直線l經過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為________.
16. [解析] 直線l的直角坐標方程為x+y-m=0,圓O的直角坐標方程為x2+y2=b2,由直線與圓相切得:m2=2b2.又橢圓C的一般方程為+=1,直線過橢圓焦點,故m=c,所以c2=2b2e==.
9.N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐標系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點,則常數(shù)a的值為________.
9.3 [解析] 將參數(shù)方 23、程化為普通方程可得,直線l:即y=x-a,橢圓C:即+=1,可知其右頂點為(3,0),代入直線方程可得a=3.
N3[2013·江蘇卷]
C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),試求直線l和曲線C的普通方程,并求出它們的公共點的坐標.
解:因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直線l的普通方程為2x-y-2=0.
同理得到曲線C的普通方程為y2=2x.
聯(lián)立方程組解得公共點的坐標為(2,2),,-1.
15.[2013·江西卷] N3(1)(坐標系與 24、參數(shù)方程選做題)設曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程為________.
N4[2013·江西卷] (2)(不等式選做題)在實數(shù)范圍內,不等式||x-2|-1|≤1的解集為__________________.
15.(1)ρcos2θ-sin θ=0 (2)
[解析] (1)曲線方程為y=x2,將y=ρsin θ,x=ρcos θ代入得ρcos2θ-sin θ=0.
(2)-1≤|x-2|-1≤10≤|x-2|≤2-2≤x-2≤2,得0≤x≤4.
23.N3[2013·遼寧卷] 選修4-4:坐標系與參 25、數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓C1,直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sin θ,ρcos=2 .
(1)求C1與C2交點的極坐標;
(2)設P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù)),求a,b的值.
23.解:(1)圓C1的直角坐標方程為x2+(y-2)2=4,
直線C2的直角坐標方程為x+y-4=0.
解得
所以C1與C2交點的極坐標為,.
注:極坐標系下點的表示不唯一.
(2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3),
故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0. 26、
由參數(shù)方程可得y=x-+1,
所以解得a=-1,b=2.
C.N3[2013·陜西卷]
(坐標系與參數(shù)方程選做題)如圖1-5,以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù),則圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程為________.
圖1-5
(θ為參數(shù)) [解析] 設P(x,y),則隨著θ取值變化,P可以表示圓上任意一點,由所給的曲線方程x2+y2-x=0x-2+y2=,表示以,0為圓心,半徑為的圓,可得弦OP=1×cosθ,所以可得故已知圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
11.N3[2013·天津卷] 已知圓的極坐標方程為ρ=4cos θ,圓心為C,點P的極坐標為4,,則|CP|=_____ 27、___.
11.2 [解析] ∵圓的極坐標方程為ρ=4cos θ,∴圓心C的直角坐標為(2,0).∵P點極坐標,∴化為直角坐標為(2,2),∴|CP|==2 .
23.N3[2013·新課標全國卷Ⅱ] 選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點.
(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;
(2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.
23.解:(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α 28、+sin 2α).
M的軌跡的參數(shù)方程為
(α為參數(shù),0<α<2π).
(2)M點到坐標原點的距離
d==(0<α<2π).
當α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點.
2.N2,N3[2013·浙江卷] 已知a∈R“矩陣與變換和坐標系與參數(shù)方程”模塊
(1)以極坐標系Ox的極點O為原點,極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.把極坐標方程cos θ+ρ2sin θ=1化成直角坐標方程.
(2)在直角坐標系xOy中,曲線C:(θ為參數(shù)),過點P(2,1)的直線與曲線C交于A,B兩點.若|PA|·|PB|=,求|AB|的值.
2.解:(1 29、)極坐標方程兩邊同乘以ρ得ρcos θ+ρ3sin θ=ρ.
又在直角坐標系下,ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),ρ2=x2+y2,
故化成直角坐標方程為x+y(x2+y2)=.
又(0,0)滿足原極坐標方程.
故所求的直角坐標方程為x+y(x2+y2)=.
(2)由題意,曲線C的直角坐標方程為x2+2y2=2.
設過點P(2,1),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)).
及點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2.
將直線的參數(shù)方程代入x2+2y2=2得
(2+tcos α)2+2(1+tsin α)2-2=0.
即(1+sin2α)t2+4(sin α+cos α) 30、t+4=0.
則Δ=16(2sin αcos α-sin2 α)>0,且t1+t2=-,t1t2=,
由|PA|·|PB|=得|t1t2|==.
故sin2 α=.又由Δ>0得0 31、x=4,y=-8,即有A(4,8),B(4,-8),于是|AB|=8-(-8)=16.
N4(Ⅲ)選修4-5:不等式選講
24.N4[2013·新課標全國卷Ⅰ] 選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當a=-2時,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設a>-1,且當x∈時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.
24.解:(1)當a=-2時,不等式f(x) 32、y=
其圖像如圖所示,從圖像可知,當且僅當x∈(0,2)時,y<0,所以原不等式的解集是{x|0 33、(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2時取到等號,所以f(x)的最小值為3.
13.N4[2013·湖北卷] 設x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z=________.
13. [解析] 由柯西不等式得(x2+y2+z2)(1+4+9)=14≥(x+2y+3z)2=14,當==時取“=”,故x=,y=,z=,則x+y+z=.
10.N4[2013·湖南卷] 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為________.
10.12 [解析] 因a+2b+3c=6,由柯西不等式可知(a2+4b2+9c2)(12+1 34、2+12)≥(a+2b+3c)2,可知a2+4b2+9c2≥=12,即最小值為12.
N4[2013·江蘇卷]
D.[選修4-5:不等式選講]
已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b.
證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0.
從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.24.N4[2013·遼寧卷] 選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-a|,其中a>1.
( 35、1)當a=2時,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知關于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為,求a的值.
24.解:(1)當a=2時,f(x)+|x-4|=
當x≤2時,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;
當2<x<4時,f(x)≥4-|x-4|無解;
當x≥4時,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5;
所以f(x)≥4-|x-4|的解集為{x|x≤1或x≥5}.
(2)記h(x)=f(2x+a)-2f(x),則
h(x)=
由|h(x)|≤2,解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2 36、},
所以于是a=3.
15.N4[2013·陜西卷] (考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評分)
A.(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為________.
2 [解析] 利用柯西不等式式可得:(am+bn)(bm+an)≥(+)2=mn(a+b)2=2.
14.N4[2013·天津卷] 設a+b=2,b>0,則當a=________時,+取得最小值.
14.-2 [解析] +=+=++≥+2 ≥-+1=,當且僅當=時,等號成立.聯(lián)立a+b=2,b>0,a<0.可解得a=-2.
37、
24.N4[2013·新課標全國卷Ⅱ] 選修4-5:不等式選講
設a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
24.證明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因為 +b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,又a+b+c=1,
所以++≥1.
1.N4[20 38、13·浙江卷] (1)解不等式|x-1|+|x-4|≥5.
(2)求函數(shù)y=|x-1|+|x-4|+x2-4x的最小值.
1.解:(1)當x<1時,1-x+4-x≥5,得x≤0,此時x≤0;
當1≤x≤4時,x-1+4-x≥5,得3≥5,此時x∈;
當x>4時,x-1+x-4≥5,得x≥5,此時x≥5.
綜上所述,原不等式的解集是(-∞,0]∪[5,+∞).
(2)因為|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3,
當且僅當1≤x≤4時取等號;
x2-4x=(x-2)2-4≥-4,當且僅當x=2時取等號.
故|x-1|+|x-4|+x2-4x≥3-4=-1,當x=2時取等號.
所以y=|x-1|+|x-4|+x2-4x的最小值為-1.
16.N4[2013·重慶卷] 若關于實數(shù)x的不等式|x-5|+|x+3|<a無解,則實數(shù)a的取值范圍是________.
16.(-∞,8] [解析] 要使不等式無解,則a必須小于或等于|x-5|+|x+3|的最小值,而|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,則a≤8,所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,8].
N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設計
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