2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)

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1、 第三章 導(dǎo)數(shù) 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題型36 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1.（2013湖北文21） 設(shè)，，已知函數(shù)． （1） 當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （2） 當(dāng)時(shí)，稱為，關(guān)于的加權(quán)平均數(shù)． （i）判斷，，是否成等比數(shù)列，并證明； (ii)，的幾何平均數(shù)記為．稱為，的調(diào)和平均數(shù)，記為. 若，求的取值范圍． 1. 分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)通過分類討論求解；（2）①用等比中項(xiàng)證明成 等比數(shù)列；②通過函數(shù)的單調(diào)性求解. 解析 （1）定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減. （2）①計(jì)算得， 故

2、 ① 所以成等比數(shù)列. 因?yàn)椋?由①得. ②由①知，故， 得 ② 當(dāng)時(shí)，.這時(shí)，的取值范圍為； 當(dāng)，時(shí)，從而，由在上單調(diào)遞增與②式，得，即的取值范圍為； 當(dāng)時(shí)，，從而，由在上單調(diào)遞減與②式，得，即的取值范圍為. 2.(2013廣東文21）設(shè)函數(shù)． (1) 當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2) 當(dāng)，求函數(shù)在上的最小值和最小值． 2.分析 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就是求不等式和的解集.（2）函數(shù) 是一個(gè)三次函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，因?yàn)椴淮_定，故需

3、要討論判別式的符號(hào)， 在時(shí)，通過表格列出函數(shù)在閉區(qū)間上的變化情況，比較區(qū)間商戰(zhàn)的函數(shù)值和 極值的大小確定最值. 解析 （1）當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?，所以恒成立，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)沒有單調(diào)遞減區(qū)間. （2）當(dāng)時(shí)，. ①當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故. ②當(dāng)時(shí)，，由可求得方程的兩個(gè)根為 ， 因?yàn)椋梢岳靡辉畏匠谈c系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷： ，從而），所以由可得，由可得，所以，隨的變化情況如下表： 極大值 極小值 所以. 因?yàn)椋裕?/p>

4、所以. 又因?yàn)椋? （其中 ）所以，所以. 綜上所述，，. 3.（2013山東文21）. 已知函數(shù)． （1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)，且對(duì)任意，，試比較與的大?。? 3.分析 （1）求的單調(diào)區(qū)間，需要對(duì)求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)， 當(dāng) 時(shí)，是減函數(shù)，但是需要對(duì)參數(shù)和進(jìn)行討論.（2）的最小值 為，當(dāng)有唯一極小值點(diǎn)時(shí)，極小值就是最小值，然后構(gòu)造函數(shù)求解. 解析 （1）由，得. ①當(dāng)時(shí)，. a.若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. b.若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增. 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. ②當(dāng)時(shí)，令，得.由，得

5、 .顯然，. 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增. 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是. （2）由題意知函數(shù)在處取得最小值. 由（1）知是的唯一極最小點(diǎn)，故.整理，得，即.令，則. 令，得. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. 因此.故，即， 即. 4. （2013四川文21）已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù).設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且. （1）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，且，證明：； （

6、3）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合，求的取值范圍. 4.分析 第（1）問直線由二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象求解；第（2）問由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 ，并借助基本不等式求解；第（3）問中兩直線重合的充要條件是兩直 線方程系數(shù)成比例，求時(shí)需先分離出，再進(jìn)一點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域. 解析 （1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，. （2）證明：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)處的切線斜率為，點(diǎn)處的切線斜率為.故當(dāng)點(diǎn)處的切線與點(diǎn)處的切線垂直時(shí)，有.因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得. 因?yàn)?，，所以? 因此 （當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)等號(hào)成立） 所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí)，有. （3）當(dāng)或時(shí)，

7、，故. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為 ，即. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即. 兩切線重合的充要條件是 由①及知. 由①②得. 令，則，且. 設(shè)，則. 所以為減函數(shù).則，所以.而當(dāng)且趨近于時(shí)，無限增大，所以的取值范圍是.故當(dāng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合時(shí)，的取值范圍是. 5. (2013湖南文21）已知函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：當(dāng)時(shí)，. 5.分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式求得其單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào) 性及函數(shù)值的秸，設(shè)出有大小的兩個(gè)值，通過與的大小，將問題轉(zhuǎn)化 為與的大小，從而得出結(jié)論. 解析 （1）函數(shù)的

8、定義域?yàn)? . 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）證明：當(dāng)時(shí)，由于，故；同理，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，由（1）知，.下面證明：，即證.此不等式等價(jià)于. 令，則. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，從而，即. 所以.而，所以，從而.由于在上單調(diào)遞增，所以，即. 6.（2014新課標(biāo)Ⅱ文11）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 7.（2014山東文20）（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù) ，其中a為常數(shù). （1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性. 8.（2014江西文18

9、）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中. （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若在區(qū)間上的最小值為，求的值. 9．（2014湖北文21）（本小題滿分14分） 為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）求，，，，，這個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù). 10. （2014江蘇19（1））已知函數(shù)．試討論的單調(diào)性. 10.解析 由題意，， 當(dāng)，即時(shí)，對(duì)恒成立， 故的單調(diào)遞增區(qū)間為； 當(dāng)，即時(shí)， 令，則或， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為； 當(dāng)，即時(shí)， 令，則或， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為． 11.（2015安徽文10）函

10、數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）. A． B． C． D． 11. 解析 令，可得.又，由函數(shù)圖像的單調(diào)性，可知.由圖可知，是的兩根，且，. 所以，得.故選A. 12.（2016山東文20）設(shè)，. （1）令，求的單調(diào)區(qū)間； （2）已知在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 12.C 解析 問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立， 故，即恒成立. 令，得對(duì)恒成立. 解法一：構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點(diǎn)值，故只需保證，解得.故選C. 解法二：①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立； ②當(dāng)時(shí)，恒成立，由在上單調(diào)遞增， 所以，故； ③當(dāng)時(shí)，恒成立.由在上單調(diào)

11、遞增， ，所以. 綜上可得，.故選C. 評(píng)注 曾經(jīng)談到必要條件的問題，如取，則轉(zhuǎn)化為，因此直接選擇C選項(xiàng).這緣于運(yùn)氣好，若不然取，則式子恒成立；取，則，此時(shí)只能排除A選項(xiàng).此外，可在未解題之前取，此時(shí)，則，但此時(shí)，不具備在上單調(diào)遞增，直接排除A，B，D.故選C. 13.（2016天津文20）設(shè)函數(shù)，，其中. （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：； （3）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 13.解析 （1）由 可得， 則， 當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；

12、當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，. ①當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. 所以在處取得極小值，不合題意. ②當(dāng)時(shí)，，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增， 可得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，， 所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意. ③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，， 單調(diào)遞減，不合題意. ④當(dāng)時(shí)，即 ，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，合題意. 綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14.（2016全國乙文12）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）. A.

13、 B. C. D. 14.解析 （1）由，可得，下面分兩種情況討論： ①當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以在上單調(diào)遞增. ②當(dāng)時(shí)，令，解得或. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表所示. 0 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，. （2）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（1）知且. 由題意得，即，所以. 又，且， 由題意及（1）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足，且，因此，所以. （3）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示，兩數(shù)的最大值，下面分三種情況討論： ①當(dāng)時(shí)，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減

14、， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，所以 ②當(dāng)時(shí)，， 由（1）和（2） 知，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為， 所以 . ③當(dāng)時(shí)，， 由（1）和（2）知，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值不小于. 15.（2017全國1文21）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若，求的取值范圍. 15.解析 （1）. ①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則， 故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； ③當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，即， 所以，所以在上單調(diào)遞增，同理在上單調(diào)遞減． （2）①當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意； ②

15、當(dāng)時(shí)，， 故，即； ③當(dāng)時(shí)， ， 從而，故，所以． 綜上所述，的取值范圍為． 16.（2017全國2文21）設(shè)函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍. 16.解析 （1）. 令，得，解得，.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù). （2）因?yàn)闀r(shí)，，所以.所以，令，則，即時(shí)，，而，所以，所以，. 再令，，當(dāng)時(shí)，恒成立. 所以在上是增函數(shù)，恒有，從而是增函數(shù)，，，在上恒成立，故即為所求. 題型38 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1.（2015陜西文9） 設(shè)函數(shù)，則（ ）. A. 既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B. 既是

16、奇函數(shù)又是增函數(shù) C. 是有零點(diǎn)的減函數(shù) D. 是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù) 1. 解析 因?yàn)?，，所以? 又的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)； 因?yàn)槭窃龊瘮?shù).因?yàn)?，所以有零點(diǎn).故選B. 2.（2015新課標(biāo)2卷文12） 設(shè)函數(shù)，則使得 成立的的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 由題意知，即為偶函數(shù).因?yàn)椋? 所以在上是增函數(shù)，所以使成立的條件是 .所以，解之得.故選A. 3.（2015安徽文21（

17、1））已知函數(shù). 求的定義域，并討論的單調(diào)性； 3. 分析 函數(shù)有意義，分母不能為0，即，亦即，即可求出的定義 域.又，，，即可求出函數(shù)的單調(diào) 區(qū)間. 解析 由題意可知，即，所以的定義域?yàn)? 又，令，得. 由可知，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和. 4.（2015福建文22（1））已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 4. 分析 求導(dǎo)函數(shù)，解不等式并與定義域求交集，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析 （1），． 由，得，解得． 故的單調(diào)遞增區(qū)間是． 5.（2015新課標(biāo)2卷文21(1)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性. 5. 分析 由題意

18、，先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得，然后分 ，兩種情況來討論； 解析 的定義域?yàn)椋? 若，則，所以在上單調(diào)遞增. 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以在 上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減. 6.（2015四川文21（1））已知函數(shù)，其中. 設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性； 6. 解析 由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)? ，所以， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增. 7.（2015天津文20（1）） 已知函數(shù)其中，且. 求的單調(diào)性； 7. 解析 （1）由，可得， 當(dāng) ，即時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 當(dāng) ，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 8.（2015重慶文19（2））已知函數(shù)在處取得極值. 若，討論的單調(diào)性. 8. 解析 由（1）得， 故 ． 令，解得，或． 則，，的變化如下表所示： 極小值 極大值 極小值 所以在和上為減函數(shù)，在和上為增函數(shù)．