2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第四章 三角函數(shù)第3節(jié)三角恒等變換

第四章 三角函數(shù) 第3節(jié) 三角恒等變換 題型55 兩角和與差公式的證明 1.（2015陜西文）“”是“”的（ ）. A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 1.解析 當(dāng)時， ， 即； 當(dāng)時，有，所以或 .即不能推出.故選A. 命題意圖 考查三角函數(shù)恒等變形以及命題相關(guān). 題型56 化簡求值 1.（2014陜西文13）設(shè)，向量， 若，則_______. 2.（2014江蘇15）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 3.（2014天津文16）（本小題滿分13分） 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，. (1)求的值； (2)求的值. 4.（2015重慶文）若，，則（ ）. A. B. C. D. 4.解析 由兩角差的正切公式知. 故選A. 5.（2015四川文）已知，則的值是__________. 5.解析 由題意可得， 6.（2015江蘇文）已知，，則的值為 ． 6.解析 解法一：． 解法二：，故． 解法三：， 故． 7.（2015江蘇）設(shè)向量，則的值為 ． 7.解析 解法一（強(qiáng)制法）：由題意得，，，，，，，，， ，，，. 從而 （恰當(dāng)整理化簡即可）. 解法二（部分規(guī)律法）：由題意 ，從而， 即的結(jié)果呈現(xiàn)以為周期的變化， 故. 解法三（通用規(guī)律法）：由題意得： ， ，的周期為，在一個周期內(nèi)其和為， 故． 解法四（部分規(guī)律法）： ． 則， 設(shè)， 由誘導(dǎo)公式， 故， 從而分組求和． 設(shè)，由誘導(dǎo)公式， 故，從而分組求和． 又，從而． 評注 解法一、二雖然足夠復(fù)雜，但只要羅列清楚并逐步解決，就會發(fā)現(xiàn)其實比較簡單，從一般法角度進(jìn)行解決思路難尋，便可以從具體值的角度思考，這給了江蘇考區(qū)的大部分普通考生以希望． 解法三側(cè)重對三角公式的化簡，側(cè)重從一般的角度找到問題的突破口．但解法三中化化簡使用積化和差簡化過程，即，但高中階段該公式已不要求掌握，因此此題順利化簡確實也比較麻煩． 解法四在解法三的基礎(chǔ)之上進(jìn)行了優(yōu)化，不化到最簡形式也可解決問題． 也有學(xué)生考慮構(gòu)造 ，則和都是單位向量且夾角為，即． 8.（2015廣東文）已知． （1）求的值； （2）求的值． 8.解析 （1）. （2） . 9.（2017全國3文4）已知，則=（ ）. A． B． C． D． 9.解析 . 故選A. 評注 考點為三角函數(shù)的恒等變換，有一定難度，關(guān)鍵在于對正弦二倍角公式的運用.失分的原因在于解題的思路是否清晰以及計算錯誤. 10.（2017山東文4）已知，則（ ）. A. B. C. D. 10.解析 .故選D. 11.（2017全國1文15）已知，，則 . 11.解析 由.又， 所以 . 因為，所以，. 所以. 12.（2017江蘇5）若，則 ． 12.解析 解法一（角的關(guān)系）：．故填． 解法二（直接化簡）：，所以．故填． 題型57 三角函數(shù)綜合 1.(2013廣東文16） 已知函數(shù)，． (1) 求的值； (2) 若，，求． 1.分析 （1）把代入函數(shù)解析式，借助特殊角的三角函數(shù)值求.（2）由 求出，利用兩角差的余弦公式求. 解析 （1）因為，所以 . （2）因為，所以. 所以 . 2. (2013湖南文16已知函數(shù). （1） 求的值； （2） 求使 成立的的取值集合. 2. 分析 （1）利用三角恒等變形公式將變形為只含一個角的一種三角函數(shù)形式后求解. （2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)變形為關(guān)于自變量的不等式求解. 解析 （1）. （2） . 等價于，即. 于是.解得. 故使成立的的取值集合為. 3.（2014江西文16）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，. （1）求的值； （2）若，求的值. 4. （2014廣東文16）（12分）已知函數(shù)，且. （1）求的值； （2）若，，求. 5.（2014湖南文21）（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）記為的從小到大的第個零點，求證：對一切，有. 6.（2014遼寧文21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. 求證：（1）存在唯一，使； （2）存在唯一，使，且對（1）中的，有. 7.（2014四川文17）(本小題滿分12分) 已知函數(shù) . （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若是第二象限角，，求的值. 8.（2017全國1文11）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，，則（ ）. A． B． C． D． 8.解析 由題意得 ， 即，所以. 由正弦定理，得，即，得.故選B. 9.（2017北京文16）已知函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求證：當(dāng)時，． 9.解析 (1) ，所以，所以的最小正周期為. (2)當(dāng)時，，令，則. 因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以， 所以.