概率論第三章習題詳解.doc

第三章 多維隨機變量及其分布 習題八 二維隨機變量 一、判斷題 1、設是二維隨機變量，事件表示事件與的 積事件. （ 是 ） 解：由P86定義2可得. 2、是某個二維隨機變量的分布函數. （ 否 ） 解： 二、填空題 Y\X 1 2 3 1 2 1、若二維隨機變量的概率分布律為 則常數 = 解：顯然，即 于是 2、若二維隨機變量恒取一定值（a,b），則其分布函數為 解：顯然當時，由于，則 3、若隨機變量的概率密度為 則. 解：1、由，有 2、 1 2 1 1 2 3、如圖： 1 x+y=1(y=1-x) 4、 三、將三個球隨機放入三個盒子中，用和分別表示放入第一個和第二個盒子中的球的 個數，求的聯合分布律。 解：每個球有三種放法（放入三個盒子中的任意一個），則三個球共有種放法，于是 ； ； ； ； ； ； 即 X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 四、設二維連續(xù)型隨機變量的分布函數為 1、求常數的值；2、求的概率密度函數. 解：1、由 * ； 聯立三式可解得 而帶回*式得 即 2、 五、設隨機變量的密度函數為 1、求常數的值；2、求的聯合分布函數； 3、求和. 解：1、 2、 當時 于是 3、① ② ③ 習題九 邊緣分布、條件分布 一、 判斷題 1、二維均勻分布的邊緣分布不一定是均勻分布. （ 是 ） 解：詳見P101 例題2 2、邊緣分布是正態(tài)分布的隨機變量，其聯合分布一定是二維正態(tài)分布. （ 否 ） 解：邊緣分布不能確定聯合分布（P103） 二、填空題 Y\X 1 2 3 1 2 a 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 1、已知隨機變量的聯合分布律為 則a= 0.1 ,X的概率分布律為 ,Y的概率分布律為 Y 1 2 P 0.4 0.6 X 1 2 3 P 0.3 0.3 0.4 解：1、 2、 3、 2、設隨機變量，則的概率分布為，的概率 分布為 解：P103面例題4的結論： 若 3、設二維隨機變量的聯合密度函數為 則常數 的邊緣密度為 ,的邊緣密度 為 解：1、由 2、 3、 三、已知隨機變量的密度函數為 1、求和的邊緣密度函數；2、求條件密度函數和； 3、求. 解：由 1、 即 即 2、 3、 四、設二維連續(xù)型隨機變量在區(qū)域D上服從均勻分布，其中 ，求. 解：由 于是如圖，D為邊長等于的正方形，則由題意有 x-y= -1 ， 于是對 -1 1 x+y=1 -1 x-y=1 1 當時 當時 x+y= -1 其它 即： 五、設隨機變量的密度函數為，求 和. 解：1），由題意有 當時， 當時， 即 y= x 2） 如圖有 1 當時， y= -x -1 當時， 當時， 即 3） 六、設==求. 解：1）由已知得 y= x 1 令，則D為如圖所示 2）于是對 ，如圖有 當時 當時 即 3） 習題十 隨機變量的獨立性 一、 填空題 Y\X 1 2 3 1 2 b c 1、設隨機變量X與Y相互獨立，其聯合分布律為 則a=，b=，c= 解：由獨立性有 2、設隨機變量與相互獨立，其概率分布分別為 X 0 1 p Y 0 1 p 則 解：由獨立性有 3、設隨機變量，則X與Y相互獨立的充要條件是 解：P115 定理2 4、設隨機變量與相互獨立，則它們的函數與 是 （用“是”或“不是” 填空）相互獨立的隨機變量. 解：因為與均為連續(xù)函數，由P116結論可得. 二、選擇題 1、如下二維隨機變量的分布律或密度函數給出，則X與Y不相互獨立的是（ D ） Y\X -1 0 2 1 2 A、 B、 Y\X 1 2 3 1 2 3 0.01 0.03 0.06 0.02 0.06 0.12 0.07 0.21 0.42 C、聯合密度 D、聯合密度 解：對D選項有 當時， 當時， 即 當時， 當時， 即 于是 2、設二維連續(xù)型隨機變量服從區(qū)域D上均勻分布，其中 ，則 （ C ） A、落入第一象限的概率為0.5 B、都不服從一維均勻分布 C、相互獨立 D、不相互獨立 1 解：D表示的區(qū)域如圖所示，即 -1 -1 1 則由題意有 1）對A選項， 故A錯 2）對B選項，由P101 例2可知B錯 3） 于是 故C對 三、已知二維隨機變量的密度函數為 1、判斷X與Y是否相互獨立； 2、判斷與是否相互獨立. 解：1、由 當時， 當時， 即 由 當時， 當時， 即 于是 ，即X與Y相互獨立. 2、因為與均為連續(xù)函數，則由P116結論可知它們相互獨立. 四、設隨機變量X與Y相互獨立，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為 1、 求X和Y的聯合密度函數； 2、 設含有a的二次方程，試求a有實根的概率。 解：1、由題意 而X與Y相互獨立 則 2、 如圖所示 1 其中 習題十一 兩個隨機變量的函數的分布 一、 判斷題 1、若X和Y都是標準正態(tài)隨機變量 ，則. （ 否 ） 解：P125定理2——X和Y需要相互獨立，結論才成立. 2、若，且X與Y相互獨立 ，則. （ 是 ） 解：P125定理3 3、若X與Y相互獨立且都服從指數分布，則. （ 否 ） 解：由題意有 令,則由卷積公式 當時 當x,z不在該區(qū)域時， 即，于是不服從指數分布. 二、填空題 1、設相互獨立的兩個隨機變量X和Y具有同一分布，且X的分布律為，則的分布律是 解：由題意有 ，且 2、設X和Y獨立同分布，密度函數為，分布函數為，則的密度函數為. 解： 于是 三、選擇題 1、設隨機變量X和Y相互獨立，，則（ B ） A、 B、 C、 D、 解：令，于是 Y\X -2 -1 0 -1 3 0 0 四、若二維隨機變量的概率分布律為 求下列隨機變量的概率分布： 1、 ;; 2、 . 解：1、 其中 2、 其中 五、1、已知二維隨機變量的密度函數為 求概率密度函數； 解： 如圖，當時， 2Z D X+Y=2Z 當時， 即 于是 2、已知二維隨機變量的密度函數為 求概率密度函數； 解： Y=X 圖1 如圖1， 當時， X-Y=Z 圖2 Y=X 1 Z X-Y=Z Z 如圖2，當時， D 1 當時， 即 Z 于是 六、設隨機變量X和Y相互獨立，其概率密度函數分別為 求隨機變量概率密度. 解：由卷積公式 而由題可知只有在即的區(qū)域內，不為零 于是如圖所示 當時，，則 1 Z=X 1 Z 當時， 當時， X 即： 七、設某種商品一周的需求量是一隨機變量，其密度函數為 如果各周的需求量是相互獨立的，試求：兩周的需求量的概率密度； 解：設分別表示某兩周的需求量 則, 而表示兩周的需求量，由卷積公式 而只有在即的區(qū)域內不為零， Z=X Z X 于是如圖 當時，， 則 當時， 即 第三章 復習題 一、填空題 1、設隨機變量X和Y同分布，X的分布律，且，則 0 . 解：由題意有 X Y -1 0 1 -1 0 1 由 而 于是 且 而 所以 2、設平面區(qū)域D由曲線及直線圍成，二維隨機變量 在區(qū)域D上服從均勻分布，則關于X的邊緣密度在處的值為 Y 解：如圖 1 X 于是 當時 即 3、設二維隨機變量的密度函數為其中G是區(qū)域，則系數A =， 條件密度=， = 解：1、 Y 2、 如圖 4 當時， X 2 當時， 即 于是 3、 如上圖 當時， 當時， 即 于是 4、已知，，，X與Y獨立，則a=， b=，聯合分布為 X Y 1 2 3 -1 -2 -3 （可將a,b代入算出具體值） 概率分布為 -2 -1 0 1 2 p . （可將a,b代入算出具體值） 解：1、 2、 3、4、顯然可得 5、設隨機變量X和Y相互獨立，其中，則概率密度函數為 解：由題意有， 則于是 二、選擇題 1、設二維連續(xù)型隨機變量與的聯合密度分別為和 令，要使函數是某個二維隨機變量的聯合 密度，則當且僅當a,b滿足條件（ D ） A、 B、 C、 D、 解：由定義知 于是 又，而 于是時，有 所以選D. 2、設隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，且，則 （ A ） Y A、 B、 C、 D、1 1 -1 解：由于X和Y都服從正態(tài)分布，則X和Y的分布關于坐標軸 1 對稱X ，于是如圖有 -1 3、設隨機變量X和Y相互獨立，且服從同一名稱的概率分布（二者的分布參數未必相 同），已知與服從同一名稱概率分布，則服從（ D ） A、均勻分布 B、二項分布 C、指數分布 D、正態(tài)分布 解：由P125定理2可得. 4、設X和Y是獨立同分布連續(xù)型隨機變量，則（ B ） A、 B、 C、 D、 解：由于X和Y是獨立同分布，則它們的密度函數為 且X和Y的聯合密度函數為，于是 （一條線上二重積分等于0） 5、隨機變量X和Y相互獨立，服從正態(tài)分布則（ D ） A、 B、 C、 D、 解： 三、設二維隨機變量的聯合密度函數為 1、求常數k； 2、求落在以為頂點的正方形內的概率； 3、問X與Y是否獨立？ 解：1、已知，而 Y 于是 1 2、如圖 1 D X 3、 于是，即X與Y獨立. 四、已知隨機變量X與Y概率分布分別為 X -1 0 1 p Y 0 1 p 且. 1、 求X和Y的聯合分布； 2、 問X與Y是否獨立？并說明原因. 解：1、設 X Y -1 0 1 0 1 由 而 X Y -1 0 1 0 1 又 于是 即： 2、顯然 即X與Y不相互獨立. 五、設某儀器由兩個部件構成，X與Y分別是這兩個部件的壽命（千小時），已知的聯合分布函數為 1、 求邊緣分布函數，； 2、 求聯合密度和邊緣密度，； 3、 求兩部件壽命均超過100小時的概率. 解：1、 2、 3、 （注：X與Y的單位是千小時） 六、設隨機變量X和Y同分布，其概率密度為 已知事件和事件相互獨立，且，求常數a. 解：由于X和Y獨立同分布，所以且 于是 而 當時， 七、設隨機變量的密度函數為 求概率密度. 解：由 其中被積函數只有滿足 Z=1+X 1 Z 時才不為0，于是如圖 Z=X 1 X 當時， 當時， 即 八、設X和Y是兩個獨立同分布的隨機變量，分別表示兩個電子元件的壽命（小時），其密度函數為 求的概率密度. 解： Z 其中只有滿足 1000 1 X 時才不為0，于是如圖 當時， 當時， 即 九、在（0，a）線段上任意拋兩點（拋擲兩點的位置在（0，a）上獨立地服從均勻分布）.試求兩點間距離的分布函數. 解：設兩點的坐標分別為X和Y，則顯然X和Y相互獨立且都服從 則X和Y的聯合概率密度為 令,則Z為兩點間的距離，于是 當時，顯然 當時，顯然 當時，如圖 X=Y+z X=Y-z Y D a-z a z a S -z -z z X 即 第三章 自測題 一、 填空題 1、設隨機變量的密度函數為 則常數k=，又設，則概率= 解：1、 2、 2、設二維隨機變量的概率分布為 （0,0） （-1,1） （-1,2） （1,0） p 則X的邊緣分布律為 -1 0 1 p Y的邊緣分布律為 0 1 2 p 解：1、 2、 3、設二維隨機變量的密度函數為 則邊緣密度=，=，= 解：1、 2、 3、 4、設二維隨機變量的密度函數為 Y 1 X+Y=1 則 Y=X X 解：如圖 5、若，且X與Y相互獨立，，則 解：由~ （P77例5） 于是~ （P125定理2） 二、選擇題 1、設二維隨機變量的密度函數為 則（ B ）. A、 B、 1 Y=X Y C、 D、 1 X 解：如圖 X -1 0 1 p 2、設隨機變量X和Y有相同的概率分布： 并且滿足：，則=（ A ） A、0 B、0.25 C、0.5 D、1 解：設 X Y -1 0 1 -1 0 1 由 則 而 于是 3、關于事件和，有（ B ）. A、為對立事件 B、為互斥事件 Y C、為相互獨立事件 D、 X>a, Y>b b 解：如圖可知 a X 4、設X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨機變量是（ A ）. A、 B、 C、 D、 解：由X與Y都服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，有 ， 又X與Y相互獨立，則 即服從上的均勻分布 X\Y 1 2 3 1 2 a b 5、隨機變量X和Y的聯合分布律為 且X與Y相互獨立，則a,b的值是（ B ）. A、 B、 C、 D、 解：由 而X與Y相互獨立，即 三、盒子里有3只黑球，2只紅球，2只白球。從中任取4只，以X表示取到黑球的數目，以Y表示取到紅球的數目。求隨機變量的聯合分布律及其關于X和Y的邊緣分布律. 解： X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 四、已知二維隨機變量的聯合密度函數為 1、求常數c的值； 2、求聯合分布函數； 3、求X和Y的邊緣密度函數； 4、求及； 5、問X與Y是否獨立. 解：1、由 2、由，有 ① 當或時， ② 當時， ③ 當時， ④ 當時， ⑤當時， 于是 3、①， 當時， 當時， 即 ② 當時， 當時， 即 4、 5、由 于是X與Y不獨立. 五、設隨機變量X和Y相互獨立，其概率密度函數分別為 1、求的聯合密度函數； 2、求. 解：1、由獨立性有 2、由條件概率公式和獨立性有 X 1 2 p 0.3 0.7 六、設隨機變量X和Y相互獨立，其中X的概率分布為 而Y的概率密度為，求的概率密度. 解： （應用全概率公式有） 于是 七、1、設隨機變量X和Y概率密度函數分別為和，且設 為二維隨機變量 的聯合密度函數，證明： 證明：由概率密度的性質有 而 于是 2、設，，且X與Y相互獨立，試證. 注：代表X服從泊松分布. 解：由題意知 由獨立性有 （二項式定理） 所以 第三章 考研訓練題 一、 填空題 1、設X與Y為兩個隨機變量，且，，則= 解： Y X 2、在區(qū)間（0，1）中隨機地選取兩個數，則事件“兩數之和小于”的概率為 解：設兩數分別為X，Y，顯然，如圖 1 Y 1 X 3、設二維隨機變量在半單位圓域上服從均勻分布，Z表示三次獨立觀察中事件出現的次數，則= y 解：由于服從均勻分布，于是 x 如圖有 則 4、設變量X與Y獨立，且， ，令要使X與Z獨立，則p = 解：由題意，顯然X與Y均服從兩點分布，于是 要使X與Z獨立，則 二、選擇題 X\Y 0 1 0 1 0.4 a b 0.1 1、若二維隨機變量的概率分布為 已知隨機事件與相互獨立，則（ B ）. A、 B、 C、 D、 解：由題意 即 且 聯立兩式可得 2、X和Y是獨立同分布隨機變量：， ，則下列各式中成立的是（ A ）. A、 B、 C、 D、 解： 3、設X與Y為兩個隨機變量具有相同的分布函數。隨機變量的分布函數為，則對任意實數x，必有（ C ）. A、 B、 C、 D、 解： 而 顯然A,D錯誤 且 都為單調不減函數 于是選 C 4、設和為隨機變量設矩陣，， 已知其中分別表示矩陣X和Y的行列式。記，則p的值是（ A ）. A、0.2 B、0.6 C、0.16 D、0.64 Y 解： 如圖 X 三、設隨機變量X在（0，1）上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量 在（0，x）上服從均勻分布，求： 1、和的聯合密度函數；2、的概率密度函數；3、. 解：1、由題意 y=x 于是 Y 2、如圖 Y 1 X y+x=1 y=x 1 3、 如圖 1 X 于是 四、設隨機變量和的聯合分布是正方形上均勻分布，求的概率密度. 解：由題意有 于是由分布函數法有 x-y= -u x-y=u 3 Y D u 3 u 1 1 X 如圖有：當時 當時 當時 于是 五、已知隨機變量的聯合密度函數為 Y 求和的聯合分布函數. 1 解： 如圖有 1 X ① 當或時， ② 當時， ③ 當時， ④ 當時， ⑤ 當時， 于是 六、已知隨機變量的聯合密度函數為求 的分布函數. 解： 如圖 Y ① 當時， x+2y=z z X ② 當時， 于是 七、設隨機變量X和Y相互獨立，其概率密度函數分別為 求的概率密度. Y 解：（分布函數法）由獨立性有: z 如圖 X ① 當時， 1 2x+y=z ② 當時， ③ 當時， 于是 則 八、設某班車起點站上車乘客人數X服從參數為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨立。以Y表示在中途下車的人數，求： 1、在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m個人下車的概率； 2、二維隨機變量的聯合概率分布. 解：由題意有 1、所求概率為 （由獨立性有） 2、