概率論第三章習(xí)題詳解.doc

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第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 習(xí)題八 二維隨機(jī)變量 一、判斷題 1、設(shè)是二維隨機(jī)變量，事件表示事件與的 積事件. （ 是 ） 解：由P86定義2可得. 2、是某個(gè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù). （ 否 ） 解： 二、填空題 Y\X 1 2 3 1 2 1、若二維隨機(jī)變量的概率分布律為 則常數(shù) = 解：顯然，即 于是 2、若二維隨機(jī)變量恒取一定值（a,b），則其分布函數(shù)為 解：顯然當(dāng)時(shí)，由于，則 3、若隨機(jī)變量的概率密度為 則. 解：1、由，有 2、 1 2 1 1 2 3、如圖： 1 x+y=1(y=1-x) 4、 三、將三個(gè)球隨機(jī)放入三個(gè)盒子中，用和分別表示放入第一個(gè)和第二個(gè)盒子中的球的 個(gè)數(shù)，求的聯(lián)合分布律。 解：每個(gè)球有三種放法（放入三個(gè)盒子中的任意一個(gè)），則三個(gè)球共有種放法，于是 ； ； ； ； ； ； 即 X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 四、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 1、求常數(shù)的值；2、求的概率密度函數(shù). 解：1、由 * ； 聯(lián)立三式可解得 而帶回*式得 即 2、 五、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 1、求常數(shù)的值；2、求的聯(lián)合分布函數(shù)； 3、求和. 解：1、 2、 當(dāng)時(shí) 于是 3、① ② ③ 習(xí)題九 邊緣分布、條件分布 一、 判斷題 1、二維均勻分布的邊緣分布不一定是均勻分布. （ 是 ） 解：詳見P101 例題2 2、邊緣分布是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布. （ 否 ） 解：邊緣分布不能確定聯(lián)合分布（P103） 二、填空題 Y\X 1 2 3 1 2 a 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 1、已知隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為 則a= 0.1 ,X的概率分布律為 ,Y的概率分布律為 Y 1 2 P 0.4 0.6 X 1 2 3 P 0.3 0.3 0.4 解：1、 2、 3、 2、設(shè)隨機(jī)變量，則的概率分布為，的概率 分布為 解：P103面例題4的結(jié)論： 若 3、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 則常數(shù) 的邊緣密度為 ,的邊緣密度 為 解：1、由 2、 3、 三、已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 1、求和的邊緣密度函數(shù)；2、求條件密度函數(shù)和； 3、求. 解：由 1、 即 即 2、 3、 四、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)域D上服從均勻分布，其中 ，求. 解：由 于是如圖，D為邊長等于的正方形，則由題意有 x-y= -1 ， 于是對 -1 1 x+y=1 -1 x-y=1 1 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) x+y= -1 其它 即： 五、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，求 和. 解：1），由題意有 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 y= x 2） 如圖有 1 當(dāng)時(shí)， y= -x -1 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 3） 六、設(shè)==求. 解：1）由已知得 y= x 1 令，則D為如圖所示 2）于是對 ，如圖有 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 即 3） 習(xí)題十 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 一、 填空題 Y\X 1 2 3 1 2 b c 1、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，其聯(lián)合分布律為 則a=，b=，c= 解：由獨(dú)立性有 2、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，其概率分布分別為 X 0 1 p Y 0 1 p 則 解：由獨(dú)立性有 3、設(shè)隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 解：P115 定理2 4、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則它們的函數(shù)與 是 （用“是”或“不是” 填空）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. 解：因?yàn)榕c均為連續(xù)函數(shù)，由P116結(jié)論可得. 二、選擇題 1、如下二維隨機(jī)變量的分布律或密度函數(shù)給出，則X與Y不相互獨(dú)立的是（ D ） Y\X -1 0 2 1 2 A、 B、 Y\X 1 2 3 1 2 3 0.01 0.03 0.06 0.02 0.06 0.12 0.07 0.21 0.42 C、聯(lián)合密度 D、聯(lián)合密度 解：對D選項(xiàng)有 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 于是 2、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量服從區(qū)域D上均勻分布，其中 ，則 （ C ） A、落入第一象限的概率為0.5 B、都不服從一維均勻分布 C、相互獨(dú)立 D、不相互獨(dú)立 1 解：D表示的區(qū)域如圖所示，即 -1 -1 1 則由題意有 1）對A選項(xiàng)， 故A錯(cuò) 2）對B選項(xiàng)，由P101 例2可知B錯(cuò) 3） 于是 故C對 三、已知二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 1、判斷X與Y是否相互獨(dú)立； 2、判斷與是否相互獨(dú)立. 解：1、由 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 由 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 于是 ，即X與Y相互獨(dú)立. 2、因?yàn)榕c均為連續(xù)函數(shù)，則由P116結(jié)論可知它們相互獨(dú)立. 四、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為 1、 求X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)； 2、 設(shè)含有a的二次方程，試求a有實(shí)根的概率。 解：1、由題意 而X與Y相互獨(dú)立 則 2、 如圖所示 1 其中 習(xí)題十一 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 一、 判斷題 1、若X和Y都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 ，則. （ 否 ） 解：P125定理2——X和Y需要相互獨(dú)立，結(jié)論才成立. 2、若，且X與Y相互獨(dú)立 ，則. （ 是 ） 解：P125定理3 3、若X與Y相互獨(dú)立且都服從指數(shù)分布，則. （ 否 ） 解：由題意有 令,則由卷積公式 當(dāng)時(shí) 當(dāng)x,z不在該區(qū)域時(shí)， 即，于是不服從指數(shù)分布. 二、填空題 1、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y具有同一分布，且X的分布律為，則的分布律是 解：由題意有 ，且 2、設(shè)X和Y獨(dú)立同分布，密度函數(shù)為，分布函數(shù)為，則的密度函數(shù)為. 解： 于是 三、選擇題 1、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，，則（ B ） A、 B、 C、 D、 解：令，于是 Y\X -2 -1 0 -1 3 0 0 四、若二維隨機(jī)變量的概率分布律為 求下列隨機(jī)變量的概率分布： 1、 ;; 2、 . 解：1、 其中 2、 其中 五、1、已知二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求概率密度函數(shù)； 解： 如圖，當(dāng)時(shí)， 2Z D X+Y=2Z 當(dāng)時(shí)， 即 于是 2、已知二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求概率密度函數(shù)； 解： Y=X 圖1 如圖1， 當(dāng)時(shí)， X-Y=Z 圖2 Y=X 1 Z X-Y=Z Z 如圖2，當(dāng)時(shí)， D 1 當(dāng)時(shí)， 即 Z 于是 六、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為 求隨機(jī)變量概率密度. 解：由卷積公式 而由題可知只有在即的區(qū)域內(nèi)，不為零 于是如圖所示 當(dāng)時(shí)，，則 1 Z=X 1 Z 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， X 即： 七、設(shè)某種商品一周的需求量是一隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 如果各周的需求量是相互獨(dú)立的，試求：兩周的需求量的概率密度； 解：設(shè)分別表示某兩周的需求量 則, 而表示兩周的需求量，由卷積公式 而只有在即的區(qū)域內(nèi)不為零， Z=X Z X 于是如圖 當(dāng)時(shí)，， 則 當(dāng)時(shí)， 即 第三章 復(fù)習(xí)題 一、填空題 1、設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的分布律，且，則 0 . 解：由題意有 X Y -1 0 1 -1 0 1 由 而 于是 且 而 所以 2、設(shè)平面區(qū)域D由曲線及直線圍成，二維隨機(jī)變量 在區(qū)域D上服從均勻分布，則關(guān)于X的邊緣密度在處的值為 Y 解：如圖 1 X 于是 當(dāng)時(shí) 即 3、設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為其中G是區(qū)域，則系數(shù)A =， 條件密度=， = 解：1、 Y 2、 如圖 4 當(dāng)時(shí)， X 2 當(dāng)時(shí)， 即 于是 3、 如上圖 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 于是 4、已知，，，X與Y獨(dú)立，則a=， b=，聯(lián)合分布為 X Y 1 2 3 -1 -2 -3 （可將a,b代入算出具體值） 概率分布為 -2 -1 0 1 2 p . （可將a,b代入算出具體值） 解：1、 2、 3、4、顯然可得 5、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其中，則概率密度函數(shù)為 解：由題意有， 則于是 二、選擇題 1、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量與的聯(lián)合密度分別為和 令，要使函數(shù)是某個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合 密度，則當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足條件（ D ） A、 B、 C、 D、 解：由定義知 于是 又，而 于是時(shí)，有 所以選D. 2、設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，且，則 （ A ） Y A、 B、 C、 D、1 1 -1 解：由于X和Y都服從正態(tài)分布，則X和Y的分布關(guān)于坐標(biāo)軸 1 對稱X ，于是如圖有 -1 3、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且服從同一名稱的概率分布（二者的分布參數(shù)未必相 同），已知與服從同一名稱概率分布，則服從（ D ） A、均勻分布 B、二項(xiàng)分布 C、指數(shù)分布 D、正態(tài)分布 解：由P125定理2可得. 4、設(shè)X和Y是獨(dú)立同分布連續(xù)型隨機(jī)變量，則（ B ） A、 B、 C、 D、 解：由于X和Y是獨(dú)立同分布，則它們的密度函數(shù)為 且X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為，于是 （一條線上二重積分等于0） 5、隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布則（ D ） A、 B、 C、 D、 解： 三、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 1、求常數(shù)k； 2、求落在以為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)的概率； 3、問X與Y是否獨(dú)立？ 解：1、已知，而 Y 于是 1 2、如圖 1 D X 3、 于是，即X與Y獨(dú)立. 四、已知隨機(jī)變量X與Y概率分布分別為 X -1 0 1 p Y 0 1 p 且. 1、 求X和Y的聯(lián)合分布； 2、 問X與Y是否獨(dú)立？并說明原因. 解：1、設(shè) X Y -1 0 1 0 1 由 而 X Y -1 0 1 0 1 又 于是 即： 2、顯然 即X與Y不相互獨(dú)立. 五、設(shè)某儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，X與Y分別是這兩個(gè)部件的壽命（千小時(shí)），已知的聯(lián)合分布函數(shù)為 1、 求邊緣分布函數(shù)，； 2、 求聯(lián)合密度和邊緣密度，； 3、 求兩部件壽命均超過100小時(shí)的概率. 解：1、 2、 3、 （注：X與Y的單位是千小時(shí)） 六、設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，其概率密度為 已知事件和事件相互獨(dú)立，且，求常數(shù)a. 解：由于X和Y獨(dú)立同分布，所以且 于是 而 當(dāng)時(shí)， 七、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求概率密度. 解：由 其中被積函數(shù)只有滿足 Z=1+X 1 Z 時(shí)才不為0，于是如圖 Z=X 1 X 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 八、設(shè)X和Y是兩個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，分別表示兩個(gè)電子元件的壽命（小時(shí)），其密度函數(shù)為 求的概率密度. 解： Z 其中只有滿足 1000 1 X 時(shí)才不為0，于是如圖 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 九、在（0，a）線段上任意拋兩點(diǎn)（拋擲兩點(diǎn)的位置在（0，a）上獨(dú)立地服從均勻分布）.試求兩點(diǎn)間距離的分布函數(shù). 解：設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為X和Y，則顯然X和Y相互獨(dú)立且都服從 則X和Y的聯(lián)合概率密度為 令,則Z為兩點(diǎn)間的距離，于是 當(dāng)時(shí)，顯然 當(dāng)時(shí)，顯然 當(dāng)時(shí)，如圖 X=Y+z X=Y-z Y D a-z a z a S -z -z z X 即 第三章 自測題 一、 填空題 1、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 則常數(shù)k=，又設(shè)，則概率= 解：1、 2、 2、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為 （0,0） （-1,1） （-1,2） （1,0） p 則X的邊緣分布律為 -1 0 1 p Y的邊緣分布律為 0 1 2 p 解：1、 2、 3、設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 則邊緣密度=，=，= 解：1、 2、 3、 4、設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 Y 1 X+Y=1 則 Y=X X 解：如圖 5、若，且X與Y相互獨(dú)立，，則 解：由~ （P77例5） 于是~ （P125定理2） 二、選擇題 1、設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 則（ B ）. A、 B、 1 Y=X Y C、 D、 1 X 解：如圖 X -1 0 1 p 2、設(shè)隨機(jī)變量X和Y有相同的概率分布： 并且滿足：，則=（ A ） A、0 B、0.25 C、0.5 D、1 解：設(shè) X Y -1 0 1 -1 0 1 由 則 而 于是 3、關(guān)于事件和，有（ B ）. A、為對立事件 B、為互斥事件 Y C、為相互獨(dú)立事件 D、 X>a, Y>b b 解：如圖可知 a X 4、設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布的隨機(jī)變量是（ A ）. A、 B、 C、 D、 解：由X與Y都服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，有 ， 又X與Y相互獨(dú)立，則 即服從上的均勻分布 X\Y 1 2 3 1 2 a b 5、隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為 且X與Y相互獨(dú)立，則a,b的值是（ B ）. A、 B、 C、 D、 解：由 而X與Y相互獨(dú)立，即 三、盒子里有3只黑球，2只紅球，2只白球。從中任取4只，以X表示取到黑球的數(shù)目，以Y表示取到紅球的數(shù)目。求隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及其關(guān)于X和Y的邊緣分布律. 解： X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 0 四、已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 1、求常數(shù)c的值； 2、求聯(lián)合分布函數(shù)； 3、求X和Y的邊緣密度函數(shù)； 4、求及； 5、問X與Y是否獨(dú)立. 解：1、由 2、由，有 ① 當(dāng)或時(shí)， ② 當(dāng)時(shí)， ③ 當(dāng)時(shí)， ④ 當(dāng)時(shí)， ⑤當(dāng)時(shí)， 于是 3、①， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 ② 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即 4、 5、由 于是X與Y不獨(dú)立. 五、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為 1、求的聯(lián)合密度函數(shù)； 2、求. 解：1、由獨(dú)立性有 2、由條件概率公式和獨(dú)立性有 X 1 2 p 0.3 0.7 六、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其中X的概率分布為 而Y的概率密度為，求的概率密度. 解： （應(yīng)用全概率公式有） 于是 七、1、設(shè)隨機(jī)變量X和Y概率密度函數(shù)分別為和，且設(shè) 為二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)，證明： 證明：由概率密度的性質(zhì)有 而 于是 2、設(shè)，，且X與Y相互獨(dú)立，試證. 注：代表X服從泊松分布. 解：由題意知 由獨(dú)立性有 （二項(xiàng)式定理） 所以 第三章 考研訓(xùn)練題 一、 填空題 1、設(shè)X與Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且，，則= 解： Y X 2、在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地選取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于”的概率為 解：設(shè)兩數(shù)分別為X，Y，顯然，如圖 1 Y 1 X 3、設(shè)二維隨機(jī)變量在半單位圓域上服從均勻分布，Z表示三次獨(dú)立觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則= y 解：由于服從均勻分布，于是 x 如圖有 則 4、設(shè)變量X與Y獨(dú)立，且， ，令要使X與Z獨(dú)立，則p = 解：由題意，顯然X與Y均服從兩點(diǎn)分布，于是 要使X與Z獨(dú)立，則 二、選擇題 X\Y 0 1 0 1 0.4 a b 0.1 1、若二維隨機(jī)變量的概率分布為 已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則（ B ）. A、 B、 C、 D、 解：由題意 即 且 聯(lián)立兩式可得 2、X和Y是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量：， ，則下列各式中成立的是（ A ）. A、 B、 C、 D、 解： 3、設(shè)X與Y為兩個(gè)隨機(jī)變量具有相同的分布函數(shù)。隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則對任意實(shí)數(shù)x，必有（ C ）. A、 B、 C、 D、 解： 而 顯然A,D錯(cuò)誤 且 都為單調(diào)不減函數(shù) 于是選 C 4、設(shè)和為隨機(jī)變量設(shè)矩陣，， 已知其中分別表示矩陣X和Y的行列式。記，則p的值是（ A ）. A、0.2 B、0.6 C、0.16 D、0.64 Y 解： 如圖 X 三、設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布，在的條件下，隨機(jī)變量 在（0，x）上服從均勻分布，求： 1、和的聯(lián)合密度函數(shù)；2、的概率密度函數(shù)；3、. 解：1、由題意 y=x 于是 Y 2、如圖 Y 1 X y+x=1 y=x 1 3、 如圖 1 X 于是 四、設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布是正方形上均勻分布，求的概率密度. 解：由題意有 于是由分布函數(shù)法有 x-y= -u x-y=u 3 Y D u 3 u 1 1 X 如圖有：當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 于是 五、已知隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 Y 求和的聯(lián)合分布函數(shù). 1 解： 如圖有 1 X ① 當(dāng)或時(shí)， ② 當(dāng)時(shí)， ③ 當(dāng)時(shí)， ④ 當(dāng)時(shí)， ⑤ 當(dāng)時(shí)， 于是 六、已知隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求 的分布函數(shù). 解： 如圖 Y ① 當(dāng)時(shí)， x+2y=z z X ② 當(dāng)時(shí)， 于是 七、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為 求的概率密度. Y 解：（分布函數(shù)法）由獨(dú)立性有: z 如圖 X ① 當(dāng)時(shí)， 1 2x+y=z ② 當(dāng)時(shí)， ③ 當(dāng)時(shí)， 于是 則 八、設(shè)某班車起點(diǎn)站上車乘客人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨(dú)立。以Y表示在中途下車的人數(shù)，求： 1、在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m個(gè)人下車的概率； 2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布. 解：由題意有 1、所求概率為 （由獨(dú)立性有） 2、