線性代 167;2矩陣運(yùn)算

《線性代 167;2矩陣運(yùn)算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性代 167;2矩陣運(yùn)算（38頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2 矩矩 陣陣 的的 運(yùn)運(yùn) 算算一、矩陣的加法一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘三、矩陣與矩陣乘法三、矩陣與矩陣乘法 四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、方陣的行列式五、方陣的行列式六、伴隨矩陣六、伴隨矩陣、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩陣的加法一、矩陣的加法 設(shè)有兩個設(shè)有兩個 矩陣矩陣 那末那末矩陣矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ),(),(ijijbBaA ABBA )(ijbaBAij (2) 矩陣的加法即為對應(yīng)位置元素相加，矩陣的加法即為對應(yīng)位置元素相加，可推

2、廣至有限個同型矩陣相加可推廣至有限個同型矩陣相加. (1) 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算行加法運(yùn)算.說明說明 :例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律;)1(ABBA . )()()2(CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.)(OAA 顯然顯然),(ija 3 3、 矩陣矩陣 A 的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣 A . )( BABA 4 4、 矩陣矩陣減法減法 1 1、定義、定義.21222211121

3、1 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA. )(ijaA 例如例如: 446222312注意注意矩陣數(shù)乘矩陣數(shù)乘與與行列式行列式運(yùn)算的差異運(yùn)算的差異.例如例如:11318443124462 11314223124462;)()()1(AA ;)()2(AAA .)()3(BABA 2 2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律(設(shè)設(shè) 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)為數(shù)) ,nm BA、矩陣加矩陣加與數(shù)乘矩陣合起來與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣的統(tǒng)稱為矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算. .,531423,531632

4、, )(2)(3CBACBCACBA求求其中其中滿足等式滿足等式、設(shè)矩陣設(shè)矩陣?yán)?131210C三、三、 矩陣與矩陣乘法矩陣與矩陣乘法定義定義 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一個是一個 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中)(ijaA sm )(ijbB ns nm )(ijcC AB例例222263422142 C22 16 32 816設(shè)設(shè) 415003112101A 121113

5、121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解,)(43 ijaA,34)( ijbB.)(33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意(1) 只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如不存在不存在. (2) 乘積矩陣乘積矩陣C的行數(shù)左的行數(shù)左矩陣的行數(shù)，矩陣的行數(shù)，乘積乘積矩陣矩陣C的的列數(shù)右矩陣的列數(shù)列數(shù)右矩陣的列數(shù).例例3 123321 132231 .10 上面左端兩個矩陣交換相乘怎樣上面左端兩個矩陣交換相

6、乘怎樣?.10 321123 321642963cBAss 11 )3(ssssCBA 11 )4( 一個數(shù)一個數(shù) s 階方陣階方陣tstsCBA 11 s t 階矩陣階矩陣3、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律;)()()1(BCACAB ,)()2(ACABCBA ;)(CABAACB )()()()3(BABAAB ( 其中其中 為數(shù)為數(shù) ) ;nmmnAAAEAE 其中其中;)4(nmAAEAAE 其中其中簡寫為簡寫為;例例4 105212131 ,123102BA , 2116367 AB. 無意義無意義BABAAB 例例5. 121121 , 111111 BA 0000000

7、00 AB.2222 BA 與與 均有意義但不同階，故均有意義但不同階，故ABBABAAB , 33 O例例6 設(shè)設(shè) 1111B 1111A則：則：20000OBA ,2222 AB 與與 均有意義且同階，但有均有意義且同階，但有ABBABAAB 則有：則有：, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB ,2002 A,1111 B例例7 設(shè)設(shè)以上幾例可以說明：以上幾例可以說明：(1) 矩陣交換律不滿足，即：矩陣交換律不滿足，即：,BAAB 1) 矩陣乘法需注意順序矩陣乘法需注意順序(有左乘、右乘之分有左乘、右乘之分)：AX 用用 A左左乘乘 X .XA 用用 A右右乘乘 X .2) 定義

8、：若定義：若 AB=BA , 則稱則稱 A 與與 B 可交換可交換.(2) 1) 矩陣乘法有零因子矩陣乘法有零因子.,的右零因子的右零因子為為的左零因子的左零因子為為則稱則稱若若時時當(dāng)當(dāng)ABBAOABOBOA 即：即：兩個非零矩陣之積可以為零矩陣兩個非零矩陣之積可以為零矩陣.2) 矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法不滿足消去律.即矩陣運(yùn)算不象數(shù)的運(yùn)算那樣即矩陣運(yùn)算不象數(shù)的運(yùn)算那樣,可以約去可以約去“非零非零”項或交換乘積項或交換乘積 .a) 由由AB=O 推不出推不出 A=O 或或 B=O ;b) A(X Y)=O , A O 推不出推不出 X=Y .(3) 矩陣沒有除法矩陣沒有除法.1沒有意義沒有

9、意義或或即即ABA4. 方陣的冪方陣的冪 連連乘乘個個為為方方陣陣設(shè)設(shè)AkkAAAAA ,lklkAAA kllkAA )(,BAAB 由于一般有由于一般有 .kkkBAAB ：故故一一般般地地 .kkkBAABBAAB時時，才才有有只只有有當(dāng)當(dāng) 例例8 8.,000000)2(kAcbaA求求設(shè)設(shè) .)(.2)()1(22222BABABABABABA ?定義定義 把矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 A 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作 . A例例,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置

10、轉(zhuǎn)置2、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì);)()1(AATT ;)()2(TTTBABA ;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB TABC)(可推廣可推廣TC TB.TA例例1010 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 3、對稱陣、對稱陣定義定義設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 , 即即那末那末 A 稱為稱為對稱對稱(矩矩)陣陣.TAA n,j , ia

11、ajiij21 .A為對稱陣為對稱陣?yán)缋?6010861612對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.說明說明定義定義.031302120為反對稱陣為反對稱陣?yán)缋?B設(shè)設(shè) B 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 , 即即那末那末 A 稱為稱為反對稱反對稱(矩矩)陣陣.BBT njiaajiij, 2 , 1, 例例1111 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是對稱矩是對稱矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對稱

12、矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 例例1212 證明任一證明任一 n 階矩陣階矩陣 A 都可表示成對稱陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和與反對稱陣之和.證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對稱矩陣為對稱矩陣.,TAAB 設(shè)設(shè) TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.22TTAAAAA ,22BC 命題得證命題得證.五、方陣的行列式五、方陣的行列式1、定義、定義 由由 n 階方陣階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式的元素所構(gòu)成的行列式 ,叫做方陣叫做方陣 A

13、 的行列式的行列式 , 記作記作 |A| 或或 det A .,8632 A例例.28632| A則則2、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì) ( (設(shè)設(shè) A、B 均為均為 n 階方陣階方陣) ); |)1(AAT ; |)2(AAn ._|2|,3| ,3 AAA則則階階方方陣陣為為例例. |,)2BAABBAAB 但但有有注意注意|)1BABA 24; |)3(BAAB 伴隨矩陣伴隨矩陣定義定義 行列式行列式 |A| 的各個元素的代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 稱為矩陣稱為矩陣 A 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.證明證明 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEA .,010301021*AA求求例例 思考題思考題問等式問等式階方陣階方陣為為與與設(shè)設(shè),nBA BABABA 22成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么?思考題解答思考題解答答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要條件為成立的充要條件為 BABABA 22.BAAB