高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)第4講橢圓

上傳人:努力****83 文檔編號(hào):65786054 上傳時(shí)間:2022-03-25 格式:DOCX 頁數(shù):8 大?。?05.53KB
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1、 第4講 橢 圓 一、選擇題 1.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若長軸長為18,且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分,則此橢圓的方程是(  ). A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析 依題意知:2a=18,∴a=9,2c=×2a,∴c=3, ∴b2=a2-c2=81-9=72,∴橢圓方程為+=1. 答案 A 2.橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心

2、率為 (  ). A. B. C. D.-2 解析 因?yàn)锳,B為左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c. 又因?yàn)閨AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2. 所以離心率e==,故選B. 答案 B 3.已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (  ). A. B. C.∪ D.∪ 解析 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+=1.當(dāng)m>1時(shí),e2=1-∈,解得m>;當(dāng)0

3、m<,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪. 答案 C 4.設(shè)F1、F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(  ). A.1 B. C.2 D. 解析 由題意知,點(diǎn)P即為圓x2+y2=3與橢圓+y2=1在第一象限的交點(diǎn),解方程組得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為. 答案 D 5.橢圓+=1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0),B(0,b),且左焦點(diǎn)為F,△FAB是以角B為直角的直角三角形,則橢圓的離心率e為(  ) A.

4、 B. C. D. 解析 根據(jù)已知a2+b2+a2=(a+c)2,即c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,解得e=,故所求的橢圓的離心率為. 答案 B 6.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為 (  ). A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析 因?yàn)闄E圓的離心率為,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2

5、=4b2.雙曲線的漸近線方程為y=±x,代入橢圓方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b,則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以四邊形的面積為4×b×b=b2=16,所以b2=5,所以橢圓方程為+=1. 答案 D 二、填空題 7.設(shè)F1、F2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|=3,則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為________. 解析 由題意知|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6.∴|PF1|=2×5-6=4. 答案 4 8.在等差數(shù)列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,則橢圓C

6、:+=1的離心率為________. 解析 由題意,得a4=10,設(shè)公差為d,則a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20-3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16>a5,∴e==. 答案  9. 橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF1|是|PF2|的_____倍. 解析 不妨設(shè)F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)由條件得P(3,±),即|PF2|=,|PF1|=,因此|PF1|=7|PF2|. 答案 7 10.如圖,∠OFB=,△ABF的面積為2-,則以O(shè)A為長半軸,OB為短半軸,F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓方程為_

7、_______. 解析 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0), 由題可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a, ∵∠OFB=,∴=,a=2b. S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b =(2b-b)b=2-, ∴b2=2,∴b=,∴a=2,∴橢圓的方程為+=1. 答案?。? 三、解答題 11.如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|. (1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度. 解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(xP,

8、yP), 由已知得 ∵P在圓上,∴x2+2=25, 即C的方程為+=1. (2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3), 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2), 將直線方程y=(x-3)代入C的方程,得 +=1, 即x2-3x-8=0. ∴x1=,x2=. ∴線段AB的長度為|AB|= = = =. 12.設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過F2的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60°,F(xiàn)1到直線l的距離為2. (1)求橢圓C的焦距; (2)如果=2,求橢圓C的方程. 解 (1)設(shè)橢圓C的焦距為

9、2c,由已知可得F1到直線l的距離c=2,故c=2. 所以橢圓C的焦距為4. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由=2及l(fā)的傾斜角為60°,知y1<0,y2>0, 直線l的方程為y=(x-2). 由消去x, 整理得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0. 解得y1=,y2=. 因?yàn)椋?,所以-y1=2y2, 即=2·,解得a=3. 而a2-b2=4,所以b2=5. 故橢圓C的方程為+=1. 13. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切. (1)求橢圓C的方程

10、; (2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2).設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證:點(diǎn)T在橢圓C上. (1)解 由題意知,b==. 因?yàn)殡x心率e==,所以= =. 所以a=2. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)證明 由題意可設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(-x0,y0), 則直線PM的方程為y=x+1, ① 直線QN的方程為y=x+2. ② 法一 聯(lián)立①②解得x=,y=, 即T.由+=1,可得x=8-4y. 因?yàn)?+2= ====1, 所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.

11、法二 設(shè)T(x,y),聯(lián)立①②解得x0=,y0=. 因?yàn)椋?,所以2+2=1. 整理得+=(2y-3)2, 所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1. 所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上. 14.如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形. (1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程. 解 (1) 如圖,設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F2(c,0).

12、因△AB1B2是直角三角形, 又|AB1|=|AB2|, 故∠B1AB2為直角, 因此|OA|=|OB2|,得b=. 結(jié)合c2=a2-b2得4b2=a2-b2, 故a2=5b2,c2=4b2,所以離心率e==. 在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2, 故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由題設(shè)條件S△AB1B2=4得b2=4,從而a2=5b2=20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+=1. (2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由題意知直線l的傾斜角不為0,故可設(shè)直線l的方程為x=my-2.代入橢圓方程得(m2+5)y2-4my-16=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1,y2是上面方程的兩根, 因此y1+y2=,y1·y2=-, 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 =--+16=-, 由PB2⊥QB2,得·=0, 即16m2-64=0,解得m=±2. 所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為x+2y+2=0和x-2y+2=0.

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