新版一輪創(chuàng)新思維文數人教版A版練習：第二章 第十二節(jié)　導數的綜合應用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時規(guī)范練 A組　基礎對點練 1．已知函數f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，則實數m的取值范圍是(　　) A.　　　　　　 B. C．(－∞，2] D．(－∞，2) 解析：f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0. ∴f(x)在(0,4)上單調遞減，在(4，＋∞)上單調遞增， ∴當x∈[0，＋∞)時，f

3、(x)min＝f(4)． ∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥. 答案：A 2．對?x∈R，函數f(x)的導數存在，若f′(x)>f(x)，且a>0，則以下說法正確的是(　　) A．f(a)>ea·f(0) B．f(a)f(0) D．f(a)0，故 g(x)＝為R上的單調遞增函數，因此g(a)>g(0)，即>＝f(0)，所以f(a)>ea·f(0)，選A. 答案：A 3．若存在正數x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞)

4、 B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：∵2x(x－a)<1，∴a>x－. 令f(x)＝x－， ∴f′(x)＝1＋2－xln 2>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增， ∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1， ∴a的取值范圍為(－1，＋∞)，故選D. 答案：D 4．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌新的墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為(　　) A．32米，16米 B．30米，15米 C．40米，20米 D．36米，18米 解析：要求材料最省，則要求新砌的墻壁總長

5、最短，設堆料廠的寬為x米，則長為米，因此新墻總長為L＝2x＋(x>0)，則L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.又x>0，∴x＝16.則當x＝16時，L取得極小值，也是最小值，即用料最省，此時長為＝32(米)．故選A. 答案：A 5．某銀行準備設一種新的定期存款業(yè)務，經預測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,0.048))，則銀行獲得最大收益的存款利率為(　　) A．3.2% B．2.4% C．4% D．3.6% 解析：依題意知，存款量是kx2，銀行應支付的利息是kx3，銀行應獲

6、得的利息是0.048kx2，所以銀行的收益y＝0.048kx2－kx3，故y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0.032或x＝0(舍去)．因為k>0，所以當00；當0.032

7、)－ C．－e0，所以由g′(x)＝0，解得x＝－1， 當x>－1時，g′(x)>0，函數g(x)為增函數；當x<－1時，g′(x)<0，

8、函數g(x)為減函數，所以當x＝－1時函數g(x)有最小值；g(－1)＝－e－1＝－.畫出函數y＝xex的圖象，如圖所示，顯然當－

9、然在[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)單調遞減， 所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，當x∈[－2,0)時， 得a≤－2. 由以上兩種情況得－6≤a≤－2，顯然當x＝0時也成立， 故實數a的取值范圍為[－6，－2]． 答案：C 9．若函數f(x)＝2x＋sin x對任意的m∈[－2,2]，f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍是__________． 解析：f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數， 若x∈R時，f′(x)＝2＋cos x>0恒成立， ∴f(x)在R上為增函數， 又f(x)為奇函數，故 在定義域內為增函數，∴f(mx－

10、3)＋f(x)<0可變形為f(mx－3)0， 且函數f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上為增函數， ∴x0∈[2,

11、3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5. 答案：5 11．已知函數f(x)＝ax＋xln x(a∈R)． (1)若函數f(x)在區(qū)間[e，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍； (2)當a＝1且k∈Z時，不等式k(x－1)

12、a＝1時，f(x)＝x＋xln x， ∵x∈(1，＋∞)， ∴原不等式可化為k<， 即k<對任意x>1恒成立． 令g(x)＝，則g′(x)＝. 令h(x)＝x－ln x－2(x>1)， 則h′(x)＝1－＝>0， ∴h(x)在(1，＋∞)上單調遞增． ∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0， ∴存在x0∈(3,4)使h(x0)＝0，即g′(x0)＝0. 即當1x0時，h(x)>0，即g′(x)>0. ∴g(x)在(1，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增． 由h(x0)＝x0－ln x0

13、－2＝0，得ln x0＝x0－2， g(x)min＝g(x0)＝＝ ＝x0∈(3,4)， ∴k0時，由于函數y＝2mx2－x＋1的圖

14、象的對稱軸x＝>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，解得m<. 故0

15、數g(x)有且只有一個零點x＝1，滿足題意． 當01， 由g′(x)>0，得0； 由g′(x)<0，得10， 故在上，函數g(x)又有一個零點，不滿足題意． 綜上所述，m＝. B組　能力提升練 1．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3對

16、x∈(0，＋∞)恒成立，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：2xln x≥－x2＋ax－3， 則a≤2ln x＋x＋，設h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，則h′(x)＝. 當x∈(0,1)時，h′(x)<0，函數h(x)單調遞減； 當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，函數h(x)單調遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4. 答案：B 2．(20xx·運城模擬)已知函數f(x)＝ln x＋tan α的導函數為f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，則α的取值

17、范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：因為f(x)＝ln x＋tan α，所以f′(x)＝， 令f(x)＝f′(x)，得ln x＋tan α＝， 即tan α＝－ln x．設g(x)＝－ln x，顯然g(x)在(0，＋∞)上單調遞減， 而當x→0時，g(x)→＋∞， 所以要使?jié)M足f′(x)＝f(x)的根x0<1，只需tan α>g(1)＝1， 又因為0<α<，所以α∈. 答案：A 3．(20xx·宜州調研)設f(x)＝|ln x|，若函數g(x)＝f(x)－ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點，則實數a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：令

18、y1＝f(x)＝|ln x|，y2＝ax，若函數g(x)＝f(x)－ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點，則y1＝f(x)＝|ln x|與y2＝ax的圖象(圖略)在區(qū)間(0,4)上有三個交點．由圖象易知，當a≤0時，不符合題意；當a>0時，易知y1＝|ln x|與y2＝ax 的圖象在區(qū)間(0,1)上有一個交點，所以只需要y1＝|ln x|與y2＝ax的圖象在區(qū)間(1,4)上有兩個交點即可，此時|ln x|＝ln x，由ln x＝ax，得a＝.令h(x)＝，x∈(1,4)，則h′(x)＝，故函數h(x)在(1，e)上單調遞增，在(e,4)上單調遞減，h(e)＝＝，h(1)＝0，h(4)＝＝，所以

19、<，故選D. 答案：D 4．已知函數f(x)＝x3＋x2－ax－a(x∈R，其中a>0)．若函數f(x)在區(qū)間(－2,0)內恰有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2) D．(0，＋∞) 解析：f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)． 由f′(x)＝0，得x＝－1或a(a>0)． 當x變化時f′(x)與f(x)的變化情況如表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  故函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－1)，

20、(a，＋∞)；單調遞減區(qū)間是(－1，a)． 可知函數f(x)在區(qū)間(－2，－1)內單調遞增；在區(qū)間(－1,0)內單調遞減． 從而函數f(x)在區(qū)間(－2,0)內恰有兩個零點， 當且僅當解得00)有唯一的零點x0，且m0，x>0)．因為函數f(x)有唯一零點x0，所以函數g(x)，h(x)的圖象

21、有唯一一個交點，即g(x)，h(x)有唯一公切點(x0，y0)，即由得x＋－2ln x0＝0，令φ(x)＝x＋－2ln x0，則φ(1)＝3>0，φ(2)＝5－7ln 2>0，φ(e)＝－e2＋<0，所以x0∈(2，e)，所以m＝2，n＝3，所以m＋n＝5. 答案：C 6．若函數f(x)＝＋1(a<0)沒有零點，則實數a的取值范圍為__________． 解析：f′(x)＝＝. 當a<0時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  若使函數f(x)沒有零點， 當且僅當f(2)

22、＝＋1>0，解得a>－e2， 所以此時－e20； 當－10. 要使f(x)≥g(x)恒成立，即h(x)max≤0， 由上知h(x)的最大值在x＝－1或x＝

23、4處取得， 而h(－1)＝m＋，h(4)＝m－， 所以m＋≤0，即m≤－， 所以實數m的取值范圍為. 答案： 8．(20xx·長沙模擬)已知函數f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，則實數a的取值范圍是__________． 解析：當x∈[1,2]時，f(x)＝|x3－ax|， 由f(x)<2可得－2－5，即a<5；

24、 設h(x)＝－x2＋，導數為h′(x)＝－2x－， 當x∈[1,2]時，h′(x)<0， 即h(x)在[1,2]上單調遞減，可得h(x)max＝－1＋2＝1.即有－a<1，即a>－1. 綜上可得，a的取值范圍是－1

25、φ()＝－＝ ＝<0， 所以φ(e)<φ()．所以φ(x)min＝φ(e)， 如圖可知φ(x)＝a有兩個不等解時，需≤a<.即f(x)＝g(x)在[，e]上有兩個不等解時a的取值范圍為. 10．(20xx·貴陽模擬)已知函數f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x. (1)證明：g(x)≥1. (2)證明：(x－ln x)f(x)>1－. 證明：(1)g′(x)＝，當01時，g′(x)>0， 即g(x)在(0,1)上為減函數，在(1，＋∞)上為增函數． 所以g(x)≥g(1)＝1，得證． (2)f(x)＝1－，f′(x)＝， 所以當02時，f′(x)>0， 即f(x)在(0,2)上為減函數，在(2，＋∞)上為增函數， 所以f(x)≥f(2)＝1－，① 又由(1)知x－ln x≥1，②，且①②等號不同時取得． 所以(x－ln x)f(x)>1－.