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1、
第五章 三角函數(shù)、解三角形
第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)
[最新考綱]
內(nèi)容
要求
A
B
C
三角函數(shù)的概念
√
1.角的概念的推廣
(1)定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.
(2)分類
(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,弧度記作rad.
(2)公式:①角度與弧度的換算:
a.1°= rad;b.1 rad=°.
2、
②弧長公式:l=r|α|.
③扇形面積公式:S=lr=r2α.
3.任意角的三角函數(shù)
三角函數(shù)
正弦
余弦
正切
定義
設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么
y叫作α的正弦,記作sin α
x叫作α的余弦,記作cos α
叫作α的正切,記作tan α
各象限符號
Ⅰ
+
+
+
Ⅱ
+
-
-
Ⅲ
-
-
+
Ⅳ
-
+
-
三角函數(shù)線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為余弦線
有向線段AT為正切線
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)小于90
3、°的角是銳角.( )
(2)銳角是第一象限角,反之亦然.( )
(3)角α的三角函數(shù)值與終邊上點P的位置無關(guān).( )
(4)若α為第一象限角,則sin α+cos α>1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點為M,則sin α=________.
± [由題意知|r|2=2+y2=1,所以y=±.由三角函數(shù)定義知sin α=y(tǒng)=±.]
3.若cos θ>0,且sin 2θ<0,則角θ的終邊在第________象限.
四 [由cos θ>0,sin 2θ=2sin θ cos θ<0得sin θ<0,則角
4、θ的終邊在第四象限.]
4.在單位圓中,200°的圓心角所對的弧長為________.
π [單位圓的半徑r=1,200°的弧度數(shù)是200×=π,由弧度數(shù)的定義得π=,所以l=π.]
5.已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧長是144 mm,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為________rad.
1.2 [由題意知α===1.2 rad.]
角的有關(guān)概念及其集合表示
(1)若角α是第二象限角,則是第________象限角.
【導(dǎo)學(xué)號:62172118】
(2)已知角α的終邊在如圖21-1所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),則角α用集合可表示為________.
5、
圖21-1
(1)一或三 (2)(k∈Z) [(1)∵α是第二象限角,
∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,
∴+kπ<<+kπ,k∈Z.
當(dāng)k為偶數(shù)時,是第一象限角;
當(dāng)k為奇數(shù)時,是第三象限角.
綜上,是第一或第三象限角.
(2)在[0,2π)內(nèi),終邊落在陰影部分角的集合為,
∴所求角的集合為(k∈Z).]
[規(guī)律方法] 1.與角α終邊相同的角可以表示為β=2kπ+α(k∈Z)的形式,α是任意角;相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等;角度制與弧度制不能混用.
2.由α所在象限,判定所在象限,應(yīng)先確定的范圍,并對整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論.
[變式訓(xùn)練1]
6、 已知角α=45°,在區(qū)間[-720°,0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β=________.
-675°或-315° [由終邊相同的角的關(guān)系知β=k·360°+45°,k∈Z,
∴取k=-2,-1,得β=-675°或β=-315°.]
扇形的弧長、面積公式
(1)已知扇形周長為10,面積是4,求扇形的圓心角;
(2)已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時,扇形的面積最大? 【導(dǎo)學(xué)號:62172119】
[解] (1)設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則
解得(舍去)或
∴扇形的圓心角為.
(2)設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則2r+rθ=40.
又S=θr2=r(40-2r
7、)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100.
當(dāng)且僅當(dāng)r=10時,Smax=100,此時2×10+10θ=40,θ=2,∴當(dāng)r=10,θ=2時,扇形的面積最大.
[規(guī)律方法] 1.(1)在弧度制下,計算扇形面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷;(2)從扇形面積出發(fā),在弧度制下把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問題(如本例)或不等式問題來求解.
2.利用公式:(1)l=αR;(2)S=lR;(3)S=αR2.其中R是扇形的半徑,l是弧長,α(0<α<2π)為圓心角,S是扇形面積,知道兩個量,可求其余量.
[變式訓(xùn)練2] 若扇形的圓心角α=120°,弦長AB=12 cm,則弧長l=
8、________cm.
π [設(shè)扇形的半徑為r cm,如圖.
由sin 60°=,得r=4 cm,
∴l(xiāng)=|α|·r=×4=π cm.]
三角函數(shù)的定義
(1)若tan α>0,則下列說法正確的是________.(填序號)
①sin α>0;②cos α>0;③sin 2α>0;④cos 2α>0.
(2)已知角α的終邊經(jīng)過點A(-,a),若點A在拋物線y=-x2的準(zhǔn)線上,則sin α=________.
(1)③ (2)
[(1)由tan α>0知角α是第一或第三象限角,當(dāng)α是第一象限角時,sin 2α=2sin αcos α>0;當(dāng)α是第三象限角時,sin
9、 α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故③正確.
(2)拋物線方程y=-x2可化為x2=-4y,
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y=1.
∵點A在拋物線y=-x2的準(zhǔn)線上,
∴A(-,1),由三角函數(shù)的定義得sin α===.]
[規(guī)律方法] 1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況.
(1)已知角α終邊上一點P的坐標(biāo),則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解;
(2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo),求出此點到原點的距離,然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題.
2.確定三角函數(shù)值的符號,可以從確定角的終邊所在象限入手進(jìn)行判斷
10、.
[變式訓(xùn)練3] (1)設(shè)α是第二象限角,P(x,4)為其終邊上的一點,且cos α=x,則tan 2α=________.
(2)函數(shù)y=的定義域為________.
(1) (2)(k∈Z) [(1)由三角函數(shù)的定義可得cos α=.
∵cos α=x,∴=x,
又α是第二象限角,∴x<0,故可解得x=-3,
∴cos α=-,sin α==,
∴tan α==-,∴tan 2α==.
(2)∵2cos x-1≥0,
∴cos x≥.
由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).
∴x∈(k∈Z).]
[思想與方法]
1.在利用三角函數(shù)定義時,
11、點P(x,y)可取終邊上任意一點,若點P在單位圓上,則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=;若|OP|=r,則sin α=,cos α=,tan α=.
2.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.利用單位圓和三角函數(shù)線是解三角不等式的常用方法.
[易錯與防范]
1.第一象限角、銳角、小于90°的角是三個不同的概念,前者是象限角,后兩者是區(qū)間角.
2.角度制與弧度制可利用180°=π rad進(jìn)行互化,在同一個式子中,采用的度量制必須一致,不可混用.
3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.
課時分層訓(xùn)練(二十一)
12、
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時:30分鐘)
一、填空題
1.給出下列四個命題:
①-是第二象限角;②是第三象限角;
③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.
其中正確的命題是________.(填序號)
②③④ [-是第三象限角,故①錯誤.=π+,從而是第三象限角,②正確.-400°=-360°-40°,從而③正確.-315°=-360°+45°,從而④正確.]
2.已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,則這個圓心角所對的弧長是________.
[由題設(shè)知,圓弧的半徑r=,
∴圓心角所對的弧長l=2r=.]
3.已知點P(cos α,tan α)在第三象限,則角
13、α的終邊在第________象限.
二 [由題意可得則所以角α的終邊在第二象限.]
4.已知點P在角θ的終邊上,且θ∈[0,2π),則θ的值為________.
【導(dǎo)學(xué)號:62172120】
[因為點P在第四象限,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan θ==-,則θ=π.]
5.已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos 2θ=________.
- [取終邊上一點(a,2a)(a≠0),根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,可得cos θ=±,故cos 2θ=2cos2θ-1=-.]
6.已知扇形的圓心角為,面積為,則扇形的弧長等于________.
14、 [設(shè)扇形半徑為r,弧長為l,則
解得]
7.(2017·無錫期中)已知角α的終邊經(jīng)過點P(10,m),且tan α =-,則m的值為________.
-8 [由題意可知tan α==-,∴m=-8.]
8.(2017·鹽城期中)若sin =-,α∈[2π,3π],則α=________.
[∵α∈[2π,3π],∴∈.
由sin =-,可知=,即α=.]
9.若角α的終邊在直線y=-x上,則2sin α+cos a=________.
【導(dǎo)學(xué)號:62172121】
± [設(shè)P(4a,-3a)(a≠0)是角α終邊上任意一點,
則OP=r==5|a|.
當(dāng)a>0時,r
15、=5a,
此時sin α=-,cos α=,
則2sin α+cos α=-+=-.
當(dāng)a<0時,r=-5a,
此時,sin α=,cos α=-,
所以2sin α+cos α=-=.]
10.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ與角α的終邊相同,則y=++的值為________.
-1 [由α=2kπ-(k∈Z)及終邊相同的概念知,角α的終邊在第四象限,又角θ與角α的終邊相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.]
二、解答題
11.一個扇形OAB的面積是1 cm2,它的周長是4 cm,求圓心角的弧度數(shù)
16、和弦長AB.
[解] 設(shè)扇形的半徑為r cm,弧長為l cm,
則解得
∴圓心角α==2.
如圖,過O作OH⊥AB于H,則∠AOH=1 rad.
∴AH=1·sin 1=sin 1(cm),
∴AB=2sin 1(cm).
∴圓心角的弧度數(shù)為2,弦長AB為2sin 1 cm.
12.已知角θ的終邊上有一點P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ.
[解] ∵θ的終邊過點P(x,-1)(x≠0),
∴tan θ=-,
又tan θ=-x,
∴x2=1,即x=±1.
當(dāng)x=1時,sin θ=-,cos θ=,
∴sin θ+cos θ=0;
17、
當(dāng)x=-1時,sin θ=-,cos θ=-,
∴sin θ+cos θ=-.
故sin θ+cos θ的值為0或-.
B組 能力提升
(建議用時:15分鐘)
1.在(0,2π)內(nèi),使sin x>cos x成立的x的取值范圍為________.
[如圖所示,找出在(0,2π)內(nèi),使sin x=cos x的x值,sin =cos =,sin =cos =-.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律找出滿足題中條件的角x∈.]
2.已知圓O:x2+y2=4與y軸正半軸的交點為M,點M沿圓O順時針運動弧長到達(dá)點N,以O(shè)N為終邊的角記為α,則tan α=________.
1 [設(shè)∠MON為β,
18、由弧長公式可知=2β,∴β=,∴α=-=,
∴tan α=tan =1.]
3.已知角α的終邊在直線y=-3x上,求10sin α+的值.
【導(dǎo)學(xué)號:62172122】
[解] 設(shè)α終邊上任一點為P(k,-3k),
則r==|k|.
當(dāng)k>0時,r=k,
∴sin α==-,==,
∴10sin α+=-3+3=0;
當(dāng)k<0時,r=-k,
∴sin α==,
==-,
∴10sin α+=3-3=0.
綜上,10sin α+=0.
4.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求α角的集合;
(2)求終邊所在的象限;
(3)試判斷tan sin cos 的符號.
[解] (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上.
由tan α>0,知α在第一、三象限,故α角在第三象限,
其集合為.
(2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
得kπ+<<kπ+,k∈Z,
故終邊在第二、四象限.
(3)當(dāng)在第二象限時,tan <0,
sin >0,cos <0,
所以tan sin cos 取正號;
當(dāng)在第四象限時,tan <0,
sin <0,cos >0,
所以tan sin cos 也取正號.
因此,tan sin cos 取正號.