2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第二章 函數(shù) 第6節(jié)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

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1、 第二章 函數(shù) 第6節(jié) 函數(shù)的圖像及應(yīng)用 題型30 識圖（知式選圖、知圖選式） 1. （2013山東文9） 函數(shù)的圖象大致為（ ）. 1.分析 結(jié)合給出的函數(shù)圖象，代入特殊值，利用排除法求解. 解析 當(dāng)時，，排除C. 當(dāng)時，，排除B；或利用為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱， 排除B. 當(dāng)時，，排除A.故選D. 2．(2013福建文5）函數(shù)（ ）. 2.分析 根據(jù)函數(shù)圖象上的特殊點及奇偶性，利用排除法判斷. 解析 ，當(dāng)時，，即過點，排除B，D. 因為，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故選A. 3. （2013湖北文5）小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途

2、中因交通堵塞停留了一段時間，后 為了趕時間加快速度行駛. 與以上事件吻合得最好的圖象是（ ）. 距學(xué)校的距離 距學(xué)校的距離 距學(xué)校的距離 A． B． C． D． 時間 時間 時間 時間 O O O O 距學(xué)校的距離 3.分析 先分析小明的運動規(guī)律，再結(jié)合圖象作出判斷. 解析 距學(xué)校的距離應(yīng)該逐漸減小，由于小明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時 距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故選C. 4. （2013江西文10） 如圖.已知，圓心在上、半徑為的圓在時與相切于點，圓沿以的速度勻速向上移動，圓被直線所截上方圓弧

3、 長記為，令，則與時間（，單位：）的函數(shù)的圖像大致為（ ）. 4.分析 通過圓心角將弧長與時間聯(lián)系起來. 解析 圓半徑為，設(shè)弧長所對的圓心角為，則，如圖所示，，即，則.其圖象為開口向上，在上的一段拋物線.故選B. 5. (2013浙江文8）已知函數(shù)的圖像是下列四個圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像如右圖所示，則該函數(shù)的圖像是（ ）. 5.分析 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的大小變化情況，確定原函數(shù)的變化情況. 解析 從導(dǎo)函數(shù)的圖像可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小，時最大，所以函數(shù)的圖象的變化率也先增大后減小，在時變化率最大.A項，在時變化率最小，

4、故錯誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤；D項，變化率是越來越小的，故錯誤.B項正確.故選B. 6.（2014浙江文8）在同一直角坐標系中，函數(shù)，的圖像可能是（ ）. 7.（2014福建文8）若函數(shù)的圖像如圖所示，則下列函數(shù)圖像 正確的是（ ）. 1 3 A. B. C. 1 1 3 1 1 1 1 D. -1 -3 8.（2014江西文10）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像不可能的是（ ）. A.

5、 B. C. D. 9.（2014福建文12）在平面直角坐標系中，兩點，間的“距離”定義為則平面內(nèi)與軸上兩個不同的定點的“距離”之和等于定值（大于）的點的軌跡可以是（ ）. A. B. C. D. 10.（2016全國乙文9）函數(shù)在的圖像大致為（ ）. A. B. C. D. 10. D 分析 對于函數(shù)圖像識別題一般是利用函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項

6、. 解析 設(shè)，由，可排除A（小于），B（從趨勢上超過）； 又時，，，所以在上不是單調(diào)函數(shù)，排除C.故選D. 評注 排除B選項的完整論述，設(shè)=，則.由，，可知存在使得且時，所以在是減函數(shù)，即時切線斜率隨的增大而減小，排除B. 11.（2016浙江文3）函數(shù)的圖像是（ ）. A. B. C. D. 11. D 解析 易知為偶函數(shù)，所以它的圖像關(guān)于軸對稱，排除A，C選項；當(dāng)，即時，，排除B選項，故選D. 12.（2017全國1文8

7、）函數(shù)的部分圖像大致為（ ）. 12.解析 由題意知，，所以的圖像關(guān)于直線 對稱，選項C正確，選項D錯誤，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，選項A，B錯誤.故選C. 13.（2017全國3文7）函數(shù)的部分圖像大致為（ ）. A． B． C． D． 13.解析 令，則有，所以排選項A，C；又當(dāng)時， ，，所以排除選項B.故選D. 評注 函數(shù)的解析式與圖形表示問題是高考的一個必考點，此類問題大多圍繞函數(shù)的性質(zhì)來考查，只要方法正確，一般不太會出錯.解題時一般用特例+排除法可以快速求解. 題型31 作函數(shù)的圖像 ——暫無 題型32 函數(shù)圖像的

8、應(yīng)用 一、 求方程根的個數(shù)、函數(shù)零點的個數(shù)、函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題或已知方程根的個數(shù)及函數(shù)零點的個數(shù)、函數(shù)圖像交點的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題. 二、求解函數(shù)的零點所在的區(qū)間或利用函數(shù)圖像特征研究函數(shù)零點的整體性質(zhì) 三、利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍 四、解函數(shù)不等式 五、利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值 1. (2013湖南文6）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（ ）. A. B. C. D. 1.分析 作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解. 解析 ，在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)與的圖象（如圖所示）.由圖可得兩

9、個函數(shù)的圖象有個交點.故選C. 2. （2013湖北文8）為實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)在上為（ ）. A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D． 周期函數(shù) 2.分析 首先理解題意，畫出函數(shù)的圖象. 解析 函數(shù)的圖象（圖象略）在兩個整數(shù)之間都是斜率為的線段（不含終點），故選D. 3. (2013安徽文8）函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到個不 同的數(shù)，使得， 則的取值范圍是（ ）. 1 3 A. B. C. D. 3. 解析 同理科卷8題.

10、答案B. 4. (2013安徽文10）已知函數(shù)有兩個極值點，若關(guān)于 的方程的不同實根個數(shù)是（ ）. A. B. C. D. 4. 分析 先求給定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由極值點的定義及題意，得出或， 再利用數(shù)形結(jié)合確定這兩個方程實數(shù)根的個數(shù). 解析 因為，函數(shù)的兩個極值點為，則，，所以，是方程的兩根，所以解關(guān)于的方程，得或.由上述可知函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，如圖所 示，由數(shù)形結(jié)合可知時有兩個不同實根，有一個實根，所以不同實根 的個數(shù)為.故選A. 5．(2013福建文12

11、）設(shè)函數(shù)的定義域為，的極大值點，以下結(jié) 論一定正確的是（ ）. A． B．是 的極小值點 C．是 的極小值點 D．是 的極小值點 5. 分析 不妨取函數(shù)，則，易判斷為 的極大值點，但顯然不是最大值，故排除A. 解析 因為，易知，為的極大值點，故排除B； 又，易知，為的極大值點，故排除C； 因為的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得應(yīng)為函數(shù)的極小值點.故D正確. 6. （2013四川文10） 設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），若存 在使 成立，則的取值范圍是（ ）. A. B.

12、 C. D. 6.分析 由得，都在的圖象上為突破口解決. 解析 若存在使成立，則，都在的圖象上. 又在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以. 所以在上有解，即在上有解，所以，.令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即， 故選A. 7. (2013安徽文14）定義在上的函數(shù)滿足.若當(dāng)時，，則當(dāng)時， . 7.分析 由于當(dāng)時解析式已知，且已知可設(shè) 則整體代入求解. 解析 設(shè)則所以. 又因為所以. 8. （2013江蘇13）在平面直角坐標系中，設(shè)定點，是函數(shù)（） 圖象上一動點，若點之間的最短距離為，則滿足條件的實數(shù)的所有值為

13、 . 8.分析 設(shè)出點坐標，然后將表示為點坐標的函數(shù)，通過換元求出的最小值，結(jié)合已知條件即可求得的值. 依題意可設(shè)，. 令，則且. 若，則當(dāng)時，取最小值，令，解得 ；若，則當(dāng)時，取最小值，令，解得. 綜上，滿足條件的所有的值為和. 9.（2014新課標Ⅰ文12）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 10.（2014重慶文10）已知函數(shù)內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. A. B. C.

14、 D. 11.（2014湖北文9）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，. 則函數(shù)的零點的集合為（ ）. A. B. C. D. 12.（2014江西文4）已知函數(shù)，若，則（ ）. A. B. C. D. 13. （2014安徽文9）若函數(shù)的最小值，則實數(shù)a的值為（ ） A.或 B.或 C. 或 D.或 13. 分析 本題考查絕對值函數(shù)的最值. 解析 依幾何性質(zhì)得，當(dāng)時，取得最小值

15、， ，解得或.故選D. 14. （2014北京文6）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間 是（ ）. A. B. C. D. 14. 解析 因為，，，，所以包含零點的區(qū)間是，故選C. 15.（2014湖北文9）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，. 則函數(shù)的零點的集合為（ ）. A. B. C. D. 16.（2014新課標Ⅰ文12）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（

16、 ）. A. B. C. D. 17.（2014浙江文10）如圖所示，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓(xùn)練. 已知點到墻面的距離為，某目標點沿墻面上的射線移動，此人為了準確瞄準目標點，需計算由點觀察點的仰角的大小（仰角為直線AP與平面ABC所成角）.若，則的最大值是（ ）. A． B． C． D． 18.（2014江蘇10）已知函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 ． 19.（2014江蘇13）已知是定義在上且周期為的函數(shù)，當(dāng)時，．若函數(shù)在區(qū)間上有個零點（互不相同

17、），則實數(shù)的取值范圍是 ． 20．（2014湖北文15）如圖所示，函數(shù)的圖像由兩條射線和三條線段組成．第15圖 若，，則正實數(shù)的取值范圍為　　　　． 21.（2014新課標Ⅰ文15）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是 . 22.（2014福建文15）函數(shù)的零點個數(shù)是 . 23. （2014天津文14）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為_______. 24.（2014江蘇19）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)． （1）求證：是上的偶函數(shù)； （2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）已知正數(shù)

18、滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結(jié)論． 25.（2014重慶文19）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線. （1）求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值. 26．（2014安徽文20）（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)，其中. （1）討論在其定義域上的單調(diào)性； （2）當(dāng)時，求取得最大值和最小值時的的值. 26. 解析 （1）的定義域為，.令，得，，，所以. 當(dāng)或時，；當(dāng)時，.故在和內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. （2）因為，所以，. （i）當(dāng)時，，由（I）知，在上單調(diào)遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值. （ii）當(dāng)時，.由（I）

19、知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此在處取得最大值.又，，所以當(dāng)時，在處取得最小值；當(dāng)時，在和處取得最小值；當(dāng)時，在處取得最小值； 評注 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大（?。┲?，同時考查分類討論的思想，分類討論的關(guān)鍵是確定分類的標準. 27.（2014江西文18）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中. （1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若在區(qū)間上的最小值為，求的值. 28.（2014四川文19）(本小題滿分12分) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖像上. （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）若，函數(shù)的圖像在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和. 29.

20、 （2014浙江文21）函數(shù)，若在上的最小值記為. （1）求； （2）求證：當(dāng)時，恒有. 30. （2014北京文20）（本小題滿分13分） 已知函數(shù). （1）求在區(qū)間上的最大值； （2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍； （3）問過點分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結(jié)論） 30. 解析 （I）由得.令，得或.因為，，，，所以在區(qū)間上的最大值為. （II）設(shè)過點的直線與曲線相切于點，則，且切線斜率為，所以切線方程為.因此.整理得.設(shè)，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”. 與的變化情況如下表：

21、 所以，是的極大值，是的極小值. 當(dāng)，即，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點. 當(dāng)，即時，此時在區(qū)間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點. 當(dāng)且，即時，因為，，所以分別在區(qū)間，和上恰有1個零點.由于在區(qū)間和上單調(diào)，所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點. 綜上可知，當(dāng)過點存在3條直線與曲線相切時，的取值范圍是. （III）過點存在3條直線與曲線相切；過點存在2條直線與曲線相切；過點存在1條直線與曲線相切. 評注 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)方程問題，考查學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查了函數(shù)與方程，等價轉(zhuǎn)

22、化等思想方法. 31.（2014大綱文21）（本小題滿分12分） 函數(shù). （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）若在區(qū)間是增函數(shù)，求a的取值范圍. 32.（2014福建文22）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為. （1）求的值及函數(shù)的極值； （2）求證：當(dāng)時，; （3）求證：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)時，恒有 33. （2014廣東文21）(本小題滿分14分) 已知函數(shù). （1） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2） 當(dāng)時，試討論是否存在，使得. 34.（2014天津文19）（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間

23、和極值； （2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍. 35．（2014湖北文21）（本小題滿分14分） 為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）求，，，，，這個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù). 36.（2014四川文21）(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù). （1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； （2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求證：. 37.（2014新課標Ⅰ文21）（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為. （1）求； （2）若存在，使得，求的取值范圍. 38. （2014新課標Ⅱ文21）（本小題滿分

24、12分） 已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為. （1）求； （2）求證：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點. 39.（2014陜西文21）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù). （1） 當(dāng)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值； （2） 討論函數(shù)零點的個數(shù)； （3）若對任意，恒成立，求m的取值范圍. 40.（2015天津文8）已知函數(shù)，函數(shù)， 則函數(shù)的零點的個數(shù)為（ ）. A. 2 B. 3 C.4 D.5 40. 解析 當(dāng)時，，此時方程的小于零的零 點為； 當(dāng)時，，方程無零點；

25、 當(dāng)時，，方程大于零點有一個.故選A. 評注 函數(shù)與方程. 41.（2015江蘇13）已知函數(shù)，，則方程 實根的個數(shù)為 ． 41. 解析 解法一（逐步去絕對值）：當(dāng)時， ， 故，（舍）或，即在上有一解為． 當(dāng)時，，故，， ①當(dāng)時，， 不妨設(shè)，對恒成立， 故單調(diào)遞減，，， 根據(jù)絕對值函數(shù)的性質(zhì)分析，在上有一解； ②當(dāng)時，， 不妨設(shè)，則對恒成立， 故單調(diào)遞增，，又， 根據(jù)絕對值函數(shù)的性質(zhì)分析，在上有兩解． 綜上所述：方程實根的個數(shù)為． 解法二（直接去絕對值）：設(shè)， 則，下仿照解法一分析． 或者通過分析的解亦可． 解法三（圖像轉(zhuǎn)化）：因為，

26、所以，從而， 即或． 先分別畫出與的圖形，如圖所示： 得到圖形中彎折、端點部位的具體值，然后分別研究與的圖像，如下圖所示（綠色點表示交點），易見共有個交點． 圖形分析 圖形分析 評注 本題考查函數(shù)的零點，函數(shù)的零點問題一般從函數(shù)的零點、方程的根、圖像的交點角度解決，從方程的角度分析此題側(cè)重去絕對值的步步考查，從函數(shù)的零點分析此題側(cè)重對圖像中部分點的精確取值．同樣的零點求解問題，此題難度明顯高于去年． 42.（2015安徽文14） 在平面直角坐標系中，若直線與函數(shù)的圖 像只有一個交點，則的值為 . 42. 解析 在同一直角坐標系內(nèi)，作出

27、 與的大致圖像，如圖所示. 由題意，可知，所以. 評注 考查函數(shù)與方程. 43.（2015湖南文14）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是 . 43.解析 由函數(shù)有兩個零點， 從而可得函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個 交點，函數(shù)的圖像如圖所示， 結(jié)合函數(shù)的圖像可得，當(dāng)時符合條件. 44.（2016全國甲文12）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則（ ）. A. B. C. D. 44. B 解析 ，其圖像關(guān)于對稱，的根圖像關(guān)于對稱，故，，，，相加得，故.故選B. 45.（2016天津文1

28、4）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是_________. 45. 解析 由在上單調(diào)遞減可知，解得，所以. 又方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，可知，得. 拋物線與直線相切時，得或（舍）. 因此的取值范圍是. 46.（2017天津文8）已知函數(shù)，設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 46.解析 由不等式，得，. 只需要計算在上的最大值和 在上的最小值即可. 當(dāng)時， （當(dāng)時取等號）， （當(dāng)時取等號），所以； 當(dāng)時，=（當(dāng)時取等號）， （當(dāng)時取等號），所以.

29、綜上，，即的取值范圍是.故選A． 47..（2017浙江17）已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，則的取值范圍是 . 47.解析 設(shè)，則，. 解法一：可知的最大值為，即或， 解得或 ，所以．則的取值范圍是. 解法二：如圖所示，當(dāng)時，成立； 當(dāng)時，成立； 當(dāng)時，成立，即. 則的取值范圍是. 函數(shù)的綜合2015年多的章節(jié) 題型 函數(shù)與數(shù)列的綜合 1.（2015福建文16）若是函數(shù)的兩個不同的零點， 且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值 等于________． 2.解析 由韋達定理得，，又，則，. 當(dāng)，適當(dāng)排序后成等比數(shù)

30、列時，必為等比中項，故. 當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，必不是等差中項. 若是等差中項時，，解得； 若是等差中項時，，解得. 綜上所述，，，所以. 題型 函數(shù)與不等式的綜合 1.（2015山東文8）若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍為 （ ）. A. B. C. D. 1.解析 因為為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)的每一個，均有， 即.整理得，所以， 所以.令，得. 所以，所以.故選C. 2.（2015全國II文12）設(shè)函數(shù)，則使得成立 的的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 2.解析

31、由題意知，即為偶函數(shù).因為， 所以在上是增函數(shù)，所以使成立的條件是 .所以，解之得 .故選A. 題型 函數(shù)中的創(chuàng)新題 1.（2015四川文15）已知函數(shù)，（其中）.對于不相等的 實數(shù)，設(shè)，，現(xiàn)有如下命題： ①對于任意不相等的實數(shù)，都有； ②對于任意的及任意不相等的實數(shù)，都有； ③對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得； ④對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得. 其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號). 1.解析 ①由得. 令，則，故不單調(diào). 當(dāng)時，為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意. 當(dāng)時，,由于是值域為的單調(diào)遞增函數(shù)， 故必存在一個，

32、使得.且當(dāng)時，.當(dāng)時，.即不單調(diào).所以①正確. ②由得. 令，則， 即對任意的，不單調(diào).取，則.此時對任意的，都不單調(diào).所以不一定有.②錯誤. ③若，則，即. 令，則不單調(diào). 令，得要有根. 令則，是值域為的增函數(shù).所以存在， 使得. 所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，存在最小值. 因此，對于任意的，不一定有根.所以③錯誤. ④.若，則， 即. 令，則不單調(diào). 令，得要有根.而是值域為 的減函數(shù)，所以一定會有根.所以對任意的，存在不相等的實 數(shù)，使得.④正確.所以真命題為①④. 2.（2016四川文15）在平面直角坐標系中，當(dāng)不是原點時，定義的“伴隨點”為，當(dāng)是原

33、點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點.②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上. ③若兩點關(guān)于軸對稱，則他們的“伴隨點”關(guān)于軸對稱.④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是 . 2. ②③ 解析 對于①，若令則其伴隨點為，而的伴隨點為，而不是，故錯誤； 對于②，令單位圓上點的坐標為，其伴隨點為仍在單位圓上，故②正確； 對于③，設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別為 與的圖像關(guān)于軸對稱，所以③正確；對于④，直線上取點得，其伴隨點消參后軌跡是圓，故④錯誤.所以正確的序號為②③.