初三數(shù)學(xué)試卷 2009.6（二模）

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1、北京市西城區(qū)2009年抽樣測試 初三數(shù)學(xué)試卷 2009．6 考生須知 1．本試卷共4頁，共五道大題，25道小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘。 2．在試卷和答題卡上認(rèn)真填寫學(xué)校名稱和姓名。 3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。 4．考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題(本題共32分，每小題4分) 1．－5的絕對(duì)值等于 A．5 B．－5 C． D．－ 2．27的平方根等于 A．3 B．3 C．±3 D．±3 3．若兩圓的半徑分別為1cm和5cm，圓心距為4cm，則這兩圓的位置關(guān)系是 A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離

2、 4．用配方法將代數(shù)式a2＋4a－5變形，結(jié)果正確的是 A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9 5．若圓錐的底面半徑為3cm，母線為6cm，則圓錐的側(cè)面積等于 A．36πcm2 B．27πcm2 C．18πcm2 D．9πcm2 6．如圖，⊙O中，弦AB的長為2，OC⊥AB于C，OC＝1．若從⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)恰好分別為A、B，則∠APB的度數(shù)等于 A．120° B．90° C．60° D．45° 7．如圖，菱形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，若菱形FBCE與菱形ABCD關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，則平行線AD與FE

3、間的距離等于 A．2 B．3 C．2 D．4 8．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝(k－)x＋，其中實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜1．當(dāng)自變量x在1≤x≤2的范圍內(nèi)變化時(shí)，此函數(shù)的最大值為 A． B．2 C．k D．2k－ 二、填空題(本題共16分，每小題4分) 9．若分式的值為0，則x的值為________． 10．如圖，矩形ABCD中，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為O，若OA＝5，AB＝6，則AD＝________． 11．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是________． 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2為對(duì)

4、角線作第一個(gè)正方形A1B1C1B2，以B2B3為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A2B2C2B3，以B3B4為對(duì)角線作第三個(gè)正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的對(duì)角線BnBn＋1都在y軸上，且BnBn＋1的長度依次增加1個(gè)單位，頂點(diǎn)An都在第一象限內(nèi)(n≥1，且n為整數(shù))，那么A1的縱坐標(biāo)為________；用n的代數(shù)式表示An的縱坐標(biāo)：________． 三、解答題(本題共30分，每小題5分) 13．先化簡，再求值：，其中x＝－3，y＝2. 14．解二元一次方程組 15．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2－7x＋3m＝0(其中m為實(shí)數(shù))有實(shí)數(shù)根． (1)求m的取值范圍； (2)若m為

5、正整數(shù)，求此方程的根． 16．如圖，矩形ABCD中，E、F點(diǎn)分別在BC、AD邊上，∠DAE＝∠BCF． 求證：△ABE≌△CDF． 17．已知直線y＝mx＋n經(jīng)過拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)P(1，7)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M(0，6)，求直線與拋物線的解析式． 18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2cm，∠A＝60°．將△ABC沿AB邊所在直線向右平移，記平移后它的對(duì)應(yīng)三角形為△DEF． (1)若將△ABC沿直線AB向右平移3cm，求此時(shí)梯形CAEF的面積； (2)若使平移后得到的△CDF是直角三角形，則△ABC平移的距離應(yīng)為________cm．

6、 四、解答題(本題共20分，第19題6分，第20題5分，第21題5分，第22題4分) 19．某地一商場貼出“五一”期間的促銷海報(bào)，內(nèi)容如圖所示．某校一個(gè)課外實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)在商場促銷活動(dòng)期間，在該商場門口隨機(jī)調(diào)查了參與促銷活動(dòng)的部分顧客抽獎(jiǎng)的情況，以下是根據(jù)其中200人次的抽獎(jiǎng)情況畫出的統(tǒng)計(jì)圖的一部分： (1)補(bǔ)全獲獎(jiǎng)情況頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖； (2)求所調(diào)查的200人次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率； (3)如果促銷活動(dòng)期間商場每天約有2 000人次抽獎(jiǎng)，請(qǐng)根據(jù)調(diào)查情況估計(jì)，該商場一天送出的購物券的總金額是多少元? 20．列方程解應(yīng)用題： 某城市在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長為1

7、 500米的管道，為了盡量減少施工對(duì)交通造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，工作效率比原計(jì)劃提高了20％，結(jié)果提前2天完成了任務(wù)．求實(shí)際每天鋪設(shè)了多少米管道． 21．如圖，等腰△ABC中，AC＝BC，⊙O為△ABC的外接圓，D為上一點(diǎn)，CE⊥AD于E． 求證：AE＝BD＋DE． 22．以下兩圖是一個(gè)等腰Rt△ABC和一個(gè)等邊△DEF，要求把它們分別分割成三個(gè)三角形，使分得的三個(gè)三角形互相沒有重疊部分，并且△ABC中分得的三個(gè)小三角形和△DEF中分得的三個(gè)小三角形分別相似．請(qǐng)畫出兩個(gè)三角形中的分割線，標(biāo)出分割得到的小三角形中兩個(gè)角的度數(shù)． 五、解答

8、題(本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分) 23．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合，AF＝a． (1)判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由； (2)若∠BFE＝∠FBC，求tan∠AFB的值； (3)在(2)的條件下，若將“E為CD的中點(diǎn)”改為“CE＝k·DE”，其中k為正整數(shù)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出tan∠AFB的值． (用k的代數(shù)式表示) 24．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為A(0，1)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)．點(diǎn)P在拋物線上，

9、它的橫坐標(biāo)為2n(0＜n＜1)，作PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點(diǎn)D． (1)求拋物線的解析式； (2)用n的代數(shù)式表示CD、PD的長，并通過計(jì)算說明與的大小關(guān)系； (3)若將原題中“0＜n＜1”的條件改為“n＞1”，其它條件不變，請(qǐng)通過計(jì)算說明(2)中的結(jié)論是否仍然成立． 25．△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP＝BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分線上的一點(diǎn)D滿足DB＝DA， (1)當(dāng)BP與BA重合時(shí)(如圖1)，∠BPD＝________°； (2)當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(shí)(如圖2)，求∠BPD的度數(shù)； (3)當(dāng)BP在∠ABC的外部

10、時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠BPD的度數(shù)，并畫出相應(yīng)的圖形． 圖1 圖2 北京市西城2009年抽樣測試 初三數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考 2009．6 閱卷須知： 1．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。 2．若考生的解法與本解法不同，正確者可參照評(píng)分參考給分。 一、選擇題(本題共32分，每小題4分) 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A D C B C C 二、填空題(本題共16分，每小題4分) 題號(hào) 9 10 11 12 答案 －2 8 x≥2

11、 2 三、解答題(本題共30分，每小題5分) 13．解： ……………………………………………………………1分 …………………………………………………………………………2分 …………………………………………………………………………3分 ．…………………………………………………………………………………4分 當(dāng)x＝－3，y＝2時(shí)，x＋y＝－，x－y＝－5，． ……………………………………………………………………………………………5分 14．解： 由①得y＝3x－7．③………………………………………………………………………1分 把③代入②，得5x＋2(3x－7)＝8． 解得

12、x＝2．…………………………………………………………………………………3分 把x＝2代入③，得y＝－1．……………………………………………………………4分 ∴原方程組的解為……………………………………………………………5分 15．解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程2x2－7x＋3m＝0(其中m為實(shí)數(shù))有實(shí)數(shù)根， △＝(－7)2－4×2×3m＝49－24m， ∴49－24m≥0．…………………………………………………………………1分 解得m≤．……………………………………………………………………2分 (2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)，m＝1或m＝2．……………………………………………3分 當(dāng)m

13、＝1時(shí)，原方程化為2x2－7x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3；……………4分 當(dāng)m＝2時(shí)，原方程化為2x2－7x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2．……………5分 16．證明：如圖1． 圖1 ∵矩形ABCD， ∴AB＝CD，………………………………………………………………………………1分 ∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．…………………………………………………2分 ∵∠DAE＝∠BCF， ∴∠BAD－∠DAE＝∠BCD－∠BCF， 即∠BAE＝∠DCF．………………………………………………………………………3分 在△ABE和△CDF中， ……………………………………

14、…………………………………4分 ∴△ABE≌△CDF．………………………………………………………………………5分 17．解：(1)∵直線y＝mx＋n經(jīng)過點(diǎn)P(1，7)、M(0，6)， ……………………………………………………………………1分 解得 ∴直線的解析式為y＝x＋6．…………………………………………………2分 ∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為P(1，7)， ∴ y＝a(x－1)2＋7．…………………………………………………………3分 ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)M(0，6)， ∴a(0－1)2＋7＝6．解得a＝－1．……………………………………………4分 ∴拋物線的解析式為

15、y＝－x2＋2x＋6．………………………………………5分 18．解：(1)如圖2，作CG⊥AB于G．……………………………………………………1分 圖2 ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠A＝60°， ，CG＝AC·sin 60°＝(cm)．…………………2分 ∵△DEF是將△ABC沿AB邊所在直線向右平移3cm得到， ∴AD＝CF＝BE＝3(cm)，AE＝AB＋BE＝7(cm)． .…………………3分 (2)△ABC平移的距離應(yīng)為1或4cm．……………………………………………5分 四、解答題(本題共20分，第19題6分，第20題5分，第21題5分，第22

16、題4分) 19．解：(1)答案見右圖；……………………………………………………………………2分 (2)所調(diào)查的200人次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為．……………………4分 (3) ＝13350(元)．…………………………………………………………………6分 答：根據(jù)調(diào)查情況估計(jì)，該商場一天送出的購物券的總金額是13350元． 20．解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)了x米管道．……………………………………………………1分 則實(shí)際每天鋪設(shè)了(1＋20％)x米管道． 由題意得．…………………………………………………2分 整理，得． 解得x＝125．…………………………………………………………………………

17、3分 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝125是原方程的解．……………………………………………………4分 所以(米)． 答：實(shí)際每天鋪設(shè)了150米管道．………………………………………………………5分 21．證明：如圖3，在AE上截取AF＝BD，連結(jié)CF、CD． 圖3 在△ACF和△BCD中， ………………………………………………………………1分 ∴△ACF≌△BCD．………………………………………………………………2分 ∴CF＝CD．………………………………………………………………………3分 ∵CE⊥AD于E， ∴EF＝DE．………………………………………………………………………4分 ∴

18、AE＝AF＋EF＝BD＋DE．……………………………………………………5分 22．答案不唯一，以下四個(gè)答案供參考： 答案一： 答案二： 答案三： 答案四： 說明：各圖中第一對(duì)相似三角形畫正確得2分，三對(duì)相似三角形全部畫正確得4分 五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分) 23．解：(1)如圖4，S四邊形BCEF＝S正方形ABCD－S△ABF－S△DEF＝ ＝12－a．……………………………………………………1分 圖4 ∵F為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合， ∴0≤a＜4． ∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，a＝0，S四邊形BCEF存在最大

19、值12；…………………2分 S四邊形BCEF不存在最小值．………………………………………………………3分 (2)如圖5，延長BC、FE交于點(diǎn)P．……………………………………………4分 圖5 ∵正方形ABCD， ∴AD∥BC． ∴△DEF∽△CEP． ∵E為CD的中點(diǎn)， ，PE＝2EF． ∵∠BFE＝∠FBC， ∴PB＝PF． ∵AF＝a， ∴PC＝DF＝4－a，PB＝PF＝8－a，． ∵Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2， 整理，得3a2－16a＋16＝0． 解得a1＝，a2＝4．……………………………………………………………5分 ∵F點(diǎn)不與D點(diǎn)重合

20、， ∴a＝4不成立，a＝，．……………………………6分 (3)tan∠AFB＝2k＋1．(k為正整數(shù)) ……………………………………………7分 24．解：(1)如圖6． 圖6 ∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為A(0，1)，經(jīng)過(2，0)點(diǎn)， ∴y＝ax2＋1，……………………………………………………………………1分 又4a＋1＝0． 解得a＝－． ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋1．…………………………………………２分 (2)設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b． ∵A(0，1)，B(2，0)， 解得 ∴直線AB的解析式為y＝－x＋1．………………………………………

21、…3分 ∵點(diǎn)P在拋物線上，它的橫坐標(biāo)為2n(0＜n＜1)， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2n，1－n2)，且點(diǎn)P在第一象限． 又∵PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點(diǎn)D， ∴xD＝OC＝2n，yD＝×2n＋1＝1－n，且點(diǎn)D在第一象限． ∴CD＝1－n．……………………………………………………………………4分 PD＝y(tǒng)P－yD＝(1－n2)－(1－n)＝n－n2＝n(1－n)．………………………5分 ∵0＜n＜1， ． ， ．……………………………………………………………………6分 (3)當(dāng)n＞1時(shí)，P、D兩點(diǎn)在第四象限，且P點(diǎn)在D點(diǎn)下方(如圖7)，yD＞yp． 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2n，

22、1－n2)． 圖7 ∵xD＝OC＝2n， ∴yD＝－×2n＋1＝1－n． ∵D點(diǎn)在第四象限， ∴CD＝－yD＝n－1， PD＝y(tǒng)D－yP＝(1－n)－(1－n2)＝n(n－1)．……………………………………7分 ∵n＞1， ． ， 仍然成立．…………………………………………………………8分 25．解：(1)∠BPD＝30°；……………………………………………………………………1分 (2)如圖8，連結(jié)CD．………………………………………………………………2分 圖8 解一：∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上， ∴∠1＝∠2． ∵△ABC是等邊三角形， ∴BA＝BC

23、＝AC，∠ACB＝60°． ∵BP＝BA， ∴BP＝BC． ∵BD＝BD， ∴△PBD≌△CBD． ∴∠BPD＝∠3．……………………………………………………………3分 ∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD， ∴△BCD≌△ACD． ∴∠3＝∠4＝∠ACB＝30°．……………………………………………4分 ∴∠BPD＝30°．……………………………………………………………5分 解二：∵△ABC是等邊三角形， ∴BA＝BC＝AC． ∵DB＝DA， ∴CD垂直平分AB． ∴∠3＝∠4＝∠ACB＝30°．……………………………………………3分 ∵BP＝BA， ∴BP＝BC． ∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上， ∴△PBD與△CBD關(guān)于BD所在直線對(duì)稱． ∴∠BPD＝∠3．……………………………………………………………4分 ∴∠BPD＝30°．……………………………………………………………5分 (3)∠BPD＝30°或150°． 圖形見圖9、圖10．…………………………………………………………………7分 說明：①兩種情況各得1分； ②圖9中，BD在∠ABC內(nèi)部或外部的情況只需畫出一種即可． 或 圖9 圖10