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1、
備課資料
一、利用向量解決幾何問題的進一步探討
用平面向量的幾何運算處理平面幾何問題有其獨到之處,特別是處理線段相等,線線平行,垂直,點共線,線共點等問題,往往簡單明了,少走彎路,同時避免了復(fù)雜,煩瑣的運算和推理,可以收到事半功倍的效果.現(xiàn)舉幾例以供教師、學(xué)生進一步探究使用.
1.簡化向量運算
圖11
例1 如圖11所示,O為△ABC的外心,H為垂心,求證:.
證明:如圖11,作直徑BD,連接DA,DC,有=,
且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,
故CH∥DAH∥DC,得四邊形AHCD是平行四邊形.
從而=.
又=
得
即.
2.證明線線平行
2、
例2 如圖12,在梯形ABCD中,E,F分別為腰AB,CD的中點.
求證:EF∥BC,且||=(||+||).
圖12
證明:連接ED,EC,∵AD∥BC,可設(shè)=λ(λ>0),
又E,F是中點,∴+=0,
且=(+).
而+=+++
=+=(1+λ),
∴=,EF與BC無公共點,
∴EF∥BC.又λ>0,
∴||=(||+|λ|)=(||+||).
3.證明線線垂直
圖13
例3 如圖13,在△ABC中,由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE,且AD與BE交于H,連接CH,求證:CH⊥AB.
證明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC,
有
又
故有(
3、+)·=0,
且=0,
兩式相減,得=0,
即·=0,∴⊥.
4.證明線共點或點共線
圖14
例4 求證:三角形三中線共點,且該點到頂點的距離等于各該中線長的.
已知:△ABC的三邊中點分別為D,E,F(如圖14).
求證:AE,BF,CD共點,且.
證明:設(shè)AE,BF相交于點G,=λ1,
由定比分點的向量式有
=,
又F是AC的中點,,
設(shè),
則,
∴
∴
即=.
又==(CA+2CE)
=·(+)=,
∴C,G,D共線,且=.
二、備用習(xí)題
1.有一邊長為1的正方形ABCD,設(shè)=a,=b,=c,則|a-b+c|=_______________
4、.
2.已知|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45°,則使λb-a與a垂直的λ=____________.
3.在等邊△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,則a·b+b·c+c·a=____________.
4.已知三個向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三點共線,則k=_________.
圖15
5.如圖15所示,已知矩形ABCD,AC是對角線,E是AC的中點,過點E作MN交AD于點M,交BC于點N,試運用向量知識證明AM=CN.
6.已知四邊形ABCD滿足||2+||2=||2+||2,M為對角線AC的中點.求證:||=||.
7.求
5、證:如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊,那么這兩個角相等或互補.
參考答案:
1.2 2.2 3.- 4.-2或11
圖16
5.建立如圖16所示的直角坐標系,設(shè)BC=a,BA=b,則C(a,0),A(0,b),E().
又設(shè)M(x2,b),N(x1,0),則
=(x2,0),=(x1-a,0).
∵,
∴(=0.
∴x2=a-x1.
∴||=
而||=
∴||=||,
即AM=CN.
6.設(shè)=a,=b,=c,=d,
∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
∴a2+b2+2a·b=c2+d2+2c·d.
6、 ①
∵||2+||2=||2+||2,
∴a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2. ②
由①②得a·b=c·d.
圖17
∵M是AC的中點,如圖17所示,
則=(d-c),=(b-a).
∴||2=2=(b2+a2-2a·b),
||2=2=(d2+c2-2c·d).
∴||2=||2.
∴||=||.
7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.
求證:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.
證明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′,
∴=λ(λ∈R,λ≠0),=μ(μ∈R,μ≠0).
∴cos∠AOB=.
cos∠A′O′B′=,
當與,與均同向或反向時,取正號,
即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.
∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=∠A′O′B′.
當與,與只有一個反向時,取負號,
即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′).
∵∠AOB,π-∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=π-∠A′O′B′.
∴∠AOB+∠A′O′B′=π.
∴命題成立.
(設(shè)計者：鄭吉星)
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