廣西桂林市逸仙中學高二數(shù)學《離散型隨機變量及其概率分布》課件

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1、第一節(jié)第一節(jié) 離散型隨機變量及其概率分布離散型隨機變量及其概率分布基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理隨機試驗的結(jié)果1. 基本概念(1)隨機變量：一般地，如果 ，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.通常用字母X,Y,等表示.（2）離散型隨機變量：隨機變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.（3）一般地，假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是 ，且P(X= )= (i=1,2,n),則稱表 12,.,nx xxixipXP1x2xixnx1p2pipnp概率分布表概率分布為離散型隨機變量X的 ，它和都叫做隨機變量X的 .2. 離散型隨機變量的基本性質(zhì)（1） 0(i=1,2,n

2、);(2) .3. 兩點分布如果隨機變量X的分布列為 則稱X服從0-1分布或兩點分布，并記為 ,或 .ip12.1npppX01P1-PPX0-1分布 X兩點分布4. 超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件X=r發(fā)生的概率為 ,r=0,1,2,l,其中l(wèi)=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*，稱分布列 為 .如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X .記為XH(n,M,N).并將 記為H(r;n,M,N).n rMN MnNC CP XrCX01lP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCln lMN MnNC CC超幾

3、何分布列服從超幾何分布rn rMN MnNC CP XrC題型一題型一 隨機變量的概念隨機變量的概念【例1】寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所表示的意義.（1）一個袋中裝有2個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù);(2)投擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為X，所得點數(shù)的最大值為Y.典例分析典例分析分析 (1)所取三個球中，可能有一個白球，也可能有兩個白球，還可能沒有白球.（2）投擲結(jié)果為（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jN,投擲結(jié)果用X,Y表示.解 (1)可取0,1,2.=0表示所取三球沒有白球;=1表示所取三球是1個白球，2個黑球;=2表示所取三球是2個白球，1個黑球.

4、（2）X的可能取值有2,3,4,5,12,Y的可能取值為1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù),則X=2表示（1，1）;X=3表示（1，2），（2，1）;X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）;X=12表示(6,6);Y=1表示（1，1）;Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）;Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）;Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.學后反思 研究隨機變量的取值關(guān)鍵是準確理解所定義的隨機變量的含義，明確隨機變量所取的值對應(yīng)的試驗結(jié)果是進一步求隨機變量取這個值時的概

5、率的基礎(chǔ).1. 下列幾個結(jié)果:某機場候機室中一天的游客數(shù)量為X；某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X；某水文站觀察到一天中長江的水位為X；某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X.其中不是離散型隨機變量的是 .解析: 、中的隨機變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故X不是離散型隨機變量.答案: 題型二題型二 求離散型隨機變量的分布列求離散型隨機變量的分布列【例2】已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列

6、.分析 本題主要考查互斥事件、獨立事件離散型隨機變量的分布列，考查運用概率的知識解決實際問題的能力.解 可能取的值為0,1,2,3,P(=0)= ,P(=1)= 2234224615C CC C12211343242246715C CC C CC C又P(=3)= ,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)= .的分布列為 132246130CC C1713151530100123p15715310130學后反思 求概率分布（分布列）的一般步驟為：（1）明確隨機變量的取值范圍;（2）搞清楚隨機變量取每個值對應(yīng)的隨機事件，求出隨機變量取每個值對應(yīng)的概率值;（3）列出分布列（一般用表格形

7、式）;（4）檢驗分布列（用它的兩條性質(zhì)驗算）.舉一反三舉一反三2. 盒中裝有大小相同的10個球,編號分別為0,1,2,9,從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”三類情況之一，并求其概率分布.解析： 分別用 表示“小于5”，“等于5”，“大于5”三種情況，設(shè)是隨機變量，其可能取值分別是 則P(= )= ,P(= )= ,P(= )= ,故的概率分布為123,x x x123,x x x1x511022x1103x42105P1x2x3x1211025題型三題型三 超幾何分布超幾何分布【例3】某校高三年級某班的數(shù)學課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學競賽考試

8、，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布.分析 X服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率公式來求解.解 依題意隨機變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）= (k=0,1,2,3,4).P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4)= .464410kkC CC04644101210C CC1364410435C CC226441037C CC3164410821C CC4064410114C CCX的概率分布為X01234P114821374351210學后反思 對于服從某些特殊分布的隨機變量，其概率分布可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣

9、問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).舉一反三舉一反三3. 設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有次品5件，正品95件，現(xiàn)從中隨機抽取20件，求抽得次品件數(shù)的分布列.解析： 由題意知的可能取值為0,1,2,3,4,5,服從超幾何分布，其中M=5,N=100,n=20.所以P(=k)= (k=0,1,2,3,4,5).所以的分布列為2059520100kkC CC012345P0.319 3 0.420 1 0.207 3 0.047 9 0.005 20.000 2題型四題型四 利用隨機變量的分布列解決概率問題利用隨機變量的分布列解決概率問題【例4】（14分）袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球

10、的概率是17.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取,取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù).（1）求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機變量X的概率分布；（3）求甲取到白球的概率.分析 (1)求袋中原有白球的個數(shù)，需列出方程求解.(2)寫出X的可能取值，求出相應(yīng)概率，求出X的分布列.（3）利用所求分布列，甲取到白球的概率為P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5).解 (1)設(shè)袋中原有n個白球，由題意知 ,2所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3個白球.4227

11、11127 677 62nn nn nCC(2)由題意，的可能取值為1,2,3,4,5.P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4)= ,P(X=5)= .6所以取球次數(shù)的分布列為 8374 327 674 3 367 6 535 4 3 2 337 6 5 435 4 3 2 1 317 6 5 4 335 X01234P1353356352737(3)因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為A，則P（A）=P(“X=1”或“X=3”或“X=5”)10因為事件“X=1”、“X=3”、“X=5”兩兩互斥，所以P(A)=P(X=1

12、)+P(X=3)+P(X=5)= 14361227353535學后反思 （1）處理有關(guān)離散型隨機變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實際問題確定恰當?shù)碾S機變量，并明確隨機變量所有可能的取值.（2）離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.（3）注意應(yīng)用概率之和為1這一性質(zhì)檢驗解答是否正確.舉一反三舉一反三4. (2010廣州模擬)某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.(1)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率；（2）求的分布列.X0678910P00.20.30.30.2解析： (1)該運動員兩次都命中7環(huán)的概率

13、為P(7)=0.20.2=0.04.(2)的可能取值,為0,7,8,9,10,則P(=0)=0,P(=7)=0.04,P(=8)=20.20.3+ =0.21,P(=9)=20.20.3+20.30.3+ =0.39,P(=10)=20.20.2+20.30.2+20.30.2+ =0.36.所以的分布列為 20.320.320.2078910P00.040.210.390.36易錯警示易錯警示【例】某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列.錯解 P(=1)=0.9,P(=2)=0.10.9=0.09,P(=3)=0.10.10.

14、9=0.009,P(=4)= 0.9=0.000 9,P(=5)= 0.9=0.000 09,故其分布列為30.140.112345P0.90.090.0090.00090.0001錯解分析 當=5時，應(yīng)包含兩種情形：一是前4發(fā)都沒有命中，恰第5發(fā)命中，概率為 0.9; 二是這5發(fā)子彈均未命中目標，概率為 ,所以P（=5）= 0.9+ =0.000 1或P(=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1. 12345P0.90.090.0090.00090.000140.140.150.150.1正解 錯解中取1,2,3,4時的概率均正確，當=5時，只要前四次射不

15、中，都要射第5發(fā)子彈，不必考慮第5發(fā)子彈射中與否，所以P(=5)= ,從而知耗用子彈數(shù)的分布列為40.110. 設(shè)隨機變量X的概率分布如下表所示： F(x)=P(Xx)，則當x的取值范圍是1,2)時，求F(x).考點演練考點演練X012Pa1316解析: 由分布列的性質(zhì)知a= ,當x1,2)時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)= 1211523611. (2009濟南模擬)設(shè)隨機變量的分布列P= =ak(k=1,2,3,4,5).（1）求常數(shù)a的值；（2）求P ;(3)求P( ).Pa2a3a4a5a5k35110710解析： 的分布列為 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1

16、,得a= .(2)P( )=P(= )+P(= )+P(=1)= 或P( )=1-P( )=1-( + )= .115353545345415151553525115215451525354555(3)因為 ,只有= , , 滿足，故P( )=P(= )+P(= )+P(= )= 1107101525351107101525351232151515512. (2009深圳模擬)一批零件中有10個合格品，2個次品，安裝機器時從這批零件中任選一個，取到合格品才能安裝，若取到的是次品，則不再放回.（1）求最多取2次零件就能安裝的概率；（2）求取得合格品前已取出的次品數(shù)的分布列.解析: 取1次就能安裝的概率為 ; 取2次就能安裝的概率為 所以最多取2次零件就能安裝的概率為 (2)由于隨機變量表示取得合格品前已取出的次品數(shù)，所以的可能取值為0,1,2.P(=0)= ,P(=1)= P(=2)= 的分布列為10512621051211335565633661051262105121133211011211 1066012P16653356